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含向量的方程作者:日期:

含向量的方程唐登欣在高三的一本数学复习资料中，有一道关于含向量的方程的解的存在性的问题。下面在该题求解的的基础上探讨一下怎样判断和解含向量的方程。题目已知a,b,c为非零向量且a丄b,xeR,x,x方程ax2,bx,c=0的两实根，12求证：x=x。121解法探讨错解因为a丄b则a„b=0b-（ax2+bx+c）=0故，原方程只有唯一解，所以x=x。12错因分析“将原方程两边同点乘b”，不是同解变形。b-(ax2+bx+c)=0成立，除了ax2,bx,c=0外，还有b丄(ax2+bx+c)。b-c所以-不一定是原方程的解。b2正解1由题意知xi,x2是方程的根TOC\o"1-5"\h\z得ax2,bx,c=0 （1）1 1ax2,bx,c=0 （2）2 2（1）-（2）有（x一x）[（x+x）a+b]=0。1212由a丄b，x+xeR，得（x+x）a丄b，于是（x+x）a+b丰0。121212故得x=x。12正解2假设x1丰x2。由已知ax2,bx,c=0，得c=-x2a-xb。由已知1111由ax2,bx,c=0，2 2

因为X€X，所以存在两组实数对(-X2,x),(-X2,x)使c可用两个不共线的向量121122a,b(由a丄b)表示。这与平面向量的的基本定理矛盾！所以x二x。122方程ax2„bx„c=0(a,b,c为非零向量)的解的讨论若a,b,c三个向量共线。不妨设a二…c,b二…c，原方程变为c(…x2十…x„1)=0，即…x2„…x„1=0。121212令a=…2-4…，贝y21A>0时，原方程有两个不等的实根；A=0时，原方程有两个相等的实根；Av0时，原方程无实数解。若a,b,c中有且只有两个共线。不妨设a=Xb，则原方程变为(Xx2„x)b„c=0。因为b,c不共线，所以原方程无解。3)若a,b,c三个向量互不共线。由平面向量基本定理知：存在唯一确定的有序实数对…1,…2,使c=X1a„X2b。因为原方程ax2„bx„c=0可化为c=-x2a-xb。有—…2=X。即…„…2=02112①当…1„®2=0时，方程有唯一解x—J；②当…„…2€0时，则方程无解。12说明：①上述方程中不能用判别式判断根的情况;不能用求根公式求解；韦达定理也不适用。3含向量的方程的解法例1解方程(3,1)x2„(2,-1)x„(-8,-6)=0，其中xeR。解［方法1］原方程可化为(3x2+2x—&x2—x—6)=(0,0)，得„3x2+2x-8-0IX2一X—6=-得原方程的解为x=-2。［方法2］设（一8,-6）=九（3,1）+九（2,-1），12，8=3九+2九12，6=九+九（一1）12九=—41X=22由一4+22=-，得原方程有唯一解x=一九=一2。2例2解方程（2,3）x+（，4,2）y+（6,5）=-，其中xeR,yeR。解（2x一4y+6,3x+

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