高中数学-函数的平均变化率教学设计学情分析教材分析课后反思

课堂设计——2函数的平均变化率一、学习目标：（一）知识方面：1.了解平面上过两点的直线的斜率公式及其几何意义；掌握函数平均变化率的概念与函数单调性之间的关系，体会其几何意义；会用函数的平均变化率证明函数的单调性，并刻画函数值的变化规律.素养与能力方面数学抽象与逻辑推理，数学运算及数形结合二、教学重点、难点教学重点：1.函数平均变化率的概念和几何意义；2.利用函数的平均变化率研究函数的单调性以及求最值.教学难点：函数平均变化率的几何意义及其与函数单调性之间关系.三、教学方法合作探究与启发诱导式教学四、教学工具多媒体课堂、PPT课件和几何画板五、教学过程设计教学环节教学内容师生互动设计意图情景导入课件展示两个问题：（1）高中三年数学成绩与时间的关系；（2）高中三年数学课程难度与时间的关系，让学生选择图象.提问1:你期望三年数学成绩与时间的关系是哪一种趋势?提问2：你期望三年数学课程难度与时间的关系是哪一种趋势？提问3：为什么？学生回答，老师引导，进入课题通过学习中的具体问题进行导入然后过渡到函数的平均变化率上，引入课题.探究一直线的斜率公式；2.斜率的几何意义.师：板书斜率公式，问为什么？幻灯片展示时，直线在坐标系中情况；展示同意坐标系中四条不同直线，让学生探索斜率符号与大小关系.生：小组讨论，形成结论，展示结果.师：补充强调培养学生观察、总结问题的能力.探究二概念形成函数平均变化率的概念；平均变化率的几何意义；函数平均变化率与函数单调性间的关系.提问：斜率是描述了经过这两点的直线的一个性质，对于经过这两点的任意一个函数而言，的意义是什么？先独立思考后小组讨论.学生回答.教师总结，给出函数平均变化率的概念：1.函数的定义域上的某个区间，仍然作为前置条件；2.取值的任意性，从而是动点；3.，从而点不重合.培养学生观察、总结问题的能力.让学生学会合作探究.鼓励学生大胆发言，并及时给予表扬，肯定学生的回答，提升学生的自信心.通过定义解读，加深学生对概念的理解.函数的平均变化率与单调性之间的关系归纳单调函数图象上任意两点间直线斜率特征；从函数平均变化率的角度如何表达？师：分别给出单调递增函数的图象，让学生观察、思考图象上任意两点间直线斜率特征？生：思考，回答。师：几何画板展示动图，明确规律，进一步强调直线斜率的几何意义。生：观察动图，形成知识。师：概括函数平均变化率与单调性之间的逻辑关系.培养学生观察、归纳和逻辑推理能力。典例探究题型一、用平均变化率判断函数的单调性例1判断函数的单调性.学以致用：求证：函数在上都是减函数.题型二、用平均变化率证明函数的单调性例2证明：函数在上是减函数，在上是增函数，并求这个函数的最值.师生共同分析解题思路师：板演解题过程。强调:①一次函数解析式中一次项系数的几何意义；②一次函数的单调性.生：总结解题步骤，师：补充完善。学生板演，老师点评.师：分析解题思路；生：完成证明过程；师：展示学生解题过程，强调不同题型的不同解题方法，引出二次函数单调性，最值的方法——数形结合.生：总结二次函数单调区间，最值.充分体现学生主体，教师主导的课堂模式，培养学生规范答题习惯，提高运算求解能力.1.强调步骤2.提升学生探究概括问题的能力.进一步强化模式化代数证明，提高学生的运算能力，培养学生的数学直观能力。当堂检测函数在区间上单调递，其最大值是，最小值是.2.函数的单调递增区间是，单调递减区间是，最大值是.向右图所示的球形容器中匀速注入某种液体，请在平面直角坐标系中，画出容器中液面的高度随时间的函数图象.生：定时完成.师：展示答案，点评3.当堂检测，及时诊断.课堂小结请总结一下你这节课的收获师：以上就是我们这节课的内容，下面，我们回顾总结一下本节课的收获.生：总结.师：最后加以概括.不只是对课堂内容的简单回顾，还是对所用数学思想方法，素养与能力的总结。强调本节课的重点内容，注重知识体系的形成，培养学生回顾反思的良好习惯。学情分析本节课之前，学生已经学习了函数的概念及其表示方法、函数单调性的定义，对函数有了一定认识，但对于变量间的依存关系和变化趋势认识还不够深入，本节课就是在函数单调性定义基础上引入函数的平均变化率进一步发展学生的思维能力，认识函数值随自变量的变化快慢。学生有函数的概念作基础，可以轻松识别函数关系，结合学习活动中实际问题引入课题，对于学生认识平均变化率还是比较容易的。学生在初中已经学过正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等，在例题的选择上以学生熟知的函数为载体，更容易让学生接受新学习内容，同时体会到数学逻辑的严谨。效果分析考虑到《函数的平均变化率》这节课内容的难易程度，以及学生自身的知识水平，此节课我采用了导引体验和启发示范式的教学模式，让学生在感悟中体会知识的来源，在训练中养成严谨的逻辑推理能力，师生互动、讲练结合，课堂气氛活跃，充分体现了以学生为主体以教师为主导的课堂理念，事实证明，这是一节很成功的课堂。通过学生合作探究培养学生的思维能力，真正实现了让学生完全主导课堂。本节课合作探究的环节，老师先跟学生共同完成例1的证明，演示利用函数平均变化率证明单调性的解题过程，通过比较定义法证明，体会其在证明函数单调性时的简洁性，然后让学生完成变式训练的证明，让学生总结解题步骤，养成严谨的证明习惯，明确学习重点。通过探究三中两个例题的讲解，让学生对函数单调性的证明有了很明确的思路，通过例题2的讲解，让学生进一步体会研究函数单调性对求最值和值域的意义。最后的课堂小结，学生总结的也很到位，知识目标学生清楚明白，但对数学素养还需要老师的提示让学生逐步去感悟体会。应该说本节课的教学效果达到了预期效果。教材分析本节课在教材给出了函数单调性的定义并用定义证明函数单调性之后引入函数的平均变化率，对函数单调性一次深化提高。教材引入平均变化率有三个目的：以时为了借助平均变化率来理解和证明函数的单调性，二是为后面比较函数值变化的快慢引入一个得力工具，三是为将来学习导数奠定基础。教材首先给出了直线斜率的公式，其目的是为进一步引入函数平均变化率做铺垫，这并不是本节课的重点内容，让学生记住公式，并注意直线斜率存在的条件，知道其几何意义即可，无需在此进行过多训练。教材中斜率公式后的“尝试与发现”这一环节的设计是非常好的，有利于学生直观认识函数的单调性与图象上任意两点间直线斜率之间的关系，这是学生本节课学习的一个关键，为后面利用平均变化率证明单调性做好铺垫，起着承上启下的作用，也可以据此培养学生的直观想象能力。函数的平均变化率与斜率公式形式相同，但描述的对象不同，任何函数都有平均变化率，但只有直线才有斜率，二者之间是从属关系，不能简单认为它们是一个公式的两种不同叫法。教材给出平均变化率的概念后，设计了例题3和例题4，以此来强化证明函数平均变化率证明函数单调性的程序化证明，再结合向两个不同形状的容器匀速注水，据此研究水面上升高度与时间的函数图象，以此让学生感悟平均变化率的几何意义，这对学生进一步认识平均变化率是大有裨益的，课本上给出的两个拓展阅读是非常好的，有利于增加学生数学与物理间的学科综合能力很有帮助，实际教学中，还是建议让学有余力的学生认真体会一下。教材最后给出的例5是以二次函数为载体，证明函数的单调性并求最值，其目的有三，一是进一步巩固平均变化率在证明函数单调性中代数证明过程，培养学生的运算能力，二是让学生体会研究函数单调性在求函数最值、值域中的应用价值，三是为进一步归纳二次函数的单调性提供实例。应该跟学生说明平均变化率仅仅是证明函数单调性的方法之一，对于具体函数，尤其是基本初等函数我们还可以通过画函数图象确定其单调性，找出最值点求最值，并非唯一方法，以此提高学生数形结合的意识。函数的平均变化率课堂测评函数在区间上单调递，其最大值是，最小值是.2.函数的单调递增区间是，单调递减区间是，最大值是.向右图所示的球形容器中匀速注入某种液体，请在平面直角坐标系中，画出容器中液面的高度随时间的函数图象.（备用）判断函数的单调性，并证明.参考答案：1.增，；2.；3.4.函数在上单调递增.证明：函数的定义域为，当时，，所以当时，，即，所以函数在上单调递增.课后反思本节课在教学设计上，基于函数概念和单调性的定义，引入函数的平均变化率，力求培养学生数学抽象和逻辑推理能力，养成严谨的代数证明，调动一切积极因素，激发学生的学习兴趣，让学生体会利用函数的平均变化率证明函数单调性的简洁性．本节课以学生最关心的两个问题“三年的数学成绩y与时间t的关系”和“三年中数学课程的难度y与时间t的关系”抽象其函数图象，感悟二者的区别，引入课题，能迅速激发学生学习的兴趣，同时也体现了数学与实际生活的密切联系.在给出直线斜率的前提下，引出函数的平均变化率，结合实际问题让学生体会其几何意义，为以后学习奠定基础。教师的引导启发下，使学生的思维围绕三个“探究”步步深入，最大限度挖掘学生潜能，体现学生学习的主体性．

整堂课中，通过不断地设问，引导学生积极探索，活跃思维，对于学生回答对的给予充分肯定，激发学生学习的积极性，对于不严谨的地方进行了及时的指正，培养学生严密的语言表达能力和严谨的思维能力.本节课教学过程中，除了新知的探究外还引导学生学习了两种题型——利用平均变化率证明函数的单调性和研究单调性基础上求函数的最值，真正做到了学以致用。另外多媒体课件的辅助教学，恰到好处，激发学生的兴趣，有效突破难点，同时也有效提高了课堂教学效率。整堂课下来，仔细回味，仍有不足之处，留给学生巩固整理的时间较少，以后教学中要努力克服，多留点儿时间给学生，更能提高课堂的学习效果。课标分析学业要求：1.能够在具体问题的数学问题中，用归纳的方法抽象概括出函数的单调性、最大值、最小值的概念，并能够用数学符号语言表述函数的单调性、最大值、最小值；2.能够根据的具体的数学问题，利用学过的概念，判断函数的单调性，求出函数的最大值和最小值.二、学业质量水平1.理解函数的单调性，会根据定义判断或证明简单函数的单调性；2.理解函数的最值，能利用函数图象和单调性求简单函数的最值.三、教学建议要让学生经历函数性质的探究过程，掌握研究函数性质的一般方法。函数单调性是学生学习的第一个性质，要让学生经历探究