电子电路正弦曲线向量

电路与模拟电子技术

原理第五章正弦稳态分析7/20/20231第5章正弦稳态分析5.1正弦交流电5.2相量5.3相量分析5.4阻抗与导纳5.5谐振5.6相量分析法5.7交流电路的功率5.8三相电路7/20/202325.1正弦交流电交流电的电压和电流的大小和方向随着时间按正弦规律变化。7/20/20233幅值、周期、频率、角频率振幅：Im是正弦波的幅值或者说是最大值周期：每隔T时间正弦波的变化循环一次频率：单位时间变化多少次角频率：单位时间变化多少角ω＝2πf＝2π/T7/20/20234相位、初相相位：正弦波在t时刻的幅角初相：正弦波在t＝0s时的相位，用θ来表示，通常规定|θ|≤π。7/20/202355.1.1正弦信号的三要素振幅角频率振幅、角频率和初相称为正弦量的的三要素。相位初相波形7/20/20236正弦信号的三要素（续）【例5-1】计算我国工频电源的周期和角频率。【解】我国工频电源的频率为50Hz，所以ω＝2πf＝2×3.14×50＝314（rad/s）

7/20/202375.1.2正弦信号的相位差两个同频率的正弦电流和电压信号i(t)＝Imsin(ωt＋θi)

u(t)＝Umsin(ωt＋θu)

它们的相位差等于初相之差Φiu＝θi－θu

如果θi－θu＝0，则称电流和电压同相；如果θi－θu＝π，则称电流和电压反相；如果θi－θu＝π/2，则称电流和电压正交。7/20/202385.1.3正弦信号的参考方向根据电子运动的瞬间相位差来定义同频率正弦信号的方向。规定某个正弦量的初相为零，并称之为参考正弦量。其余正弦量可以参照它来计算出各自的初相，从而确定每个正弦量的表达式。参考正弦量的作用是确定电路中每个正弦量的初相。7/20/202395.1.4正弦信号的有效值有效值是一个直流量，这个直流量在电阻上所产生的功率与一个周期为T的信号在该电阻上所产生的平均功率相等。有效值也称方均根值电流有效值电压有效值7/20/2023105.1.5正弦信号的运算根据基尔霍夫定律，将得到线性微分方程组，这很难求解。必须另辟蹊径，寻找更加简单的解决办法。但是，根据数学知识可知在同频率的正弦信号激励下，必然存在一组相同频率的正弦稳态电压或电流解，能够满足这一个微分方程组。或者说：在相同频率的正弦激励下，完全由线性元件组成的动态电路中将产生同频率的正弦稳态响应。7/20/202311第5章正弦稳态分析5.1正弦交流电5.2相量5.3相量分析5.4阻抗与导纳5.5谐振5.6相量分析法5.7交流电路的功率5.8三相电路7/20/2023125.2相量正弦函数的运算十分烦琐，求解微分方程也不容易。利用向量法则可以把正弦时间函数映射到复数空间中的复数，用复平面上的向量来代表正弦时间函数，而微分方程则转化成了简单的代数方程，从而简化了正弦稳态电路的分析和求解。7/20/2023135.2.1复数及其运算1．虚数方程x2＋9＝0的解

x1,2＝±j3

其中j称为虚数的单位在数学中一般用i表示复数的虚数单位，在电路理论中，为了避免与电流符号混淆而改用j表示。7/20/2023142．复数复数A＝a＋jb可用复平面上的有向线段来表示。有向线段的长度|A|称为复数A的模，模总是取正值。有向线段与实轴正方向的夹角称为复数A的辐角。7/20/202315复数的代数形式（1）代数形式（直角坐标形式）A＝a＋jb

两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数（用A*表示）A*＝a-jb

7/20/202316复数的指数形式（2）指数形式根据a=|A|cosb=|A|sin得到A＝|A|(cos＋jsin)

依据欧拉公式，ej＝cos＋jsin

得到A＝|A|ej

其中7/20/202317复数的极坐标形式（3）极坐标形式只要知道了模|A|和幅角φ就可以写出一个复数，所以得到了如下的极坐标形式简化记法A＝|A|∠

斯坦因梅茨（CharlesProteusSteinmetz，1865～1923）形式7/20/2023183．复数的运算（1）加减法：使用代数形式A1±A2＝(a1±a2)＋j(b1±b2)

（2）乘除法：使用指数或极坐标形式A1·A2＝|A1|·|A2|ej(1+

2)＝|A1|·|A2|∠(

1+

2)

7/20/2023195.2.2将微分方程转化为代数方程通过把正弦时间函数映射到复数空间，难以求解的微分方程转化成了关于复数的代数方程，利用代数方程求出复数空间的解，再把复数解映射回时间域内的正弦时间函数。（阅读教材）7/20/2023205.2.3正弦信号的相量表示旋转向量与正弦函数的对应7/20/202321正弦信号的相量表示（续）正弦量相量7/20/2023225.2.4正弦量的微分、积分的相量表示7/20/2023235.2.5总结：从时域表示到频域表示代数型三角函数型指数型极坐标型复数表示形式的转化7/20/2023247/20/202325相量变换例5-2【例5-2】已知i1＝40sin(ωt＋50˚)，i2＝20sin(ωt－30˚)，用相量法计算这两个正弦电流叠加的结果i＝i1＋i2，写出它的幅值相量和有效值相量。

【解】首先写出两个正弦量的相量形式＝40∠

50˚＝40(cos50˚＋jsin50˚)

＝25.71＋j30.64

7/20/202326相量变换例5-2（续）相量相加得i的幅值相量i＝47.72sin(ωt＋25.63˚)电流有效值相量＝20∠

－30˚＝20[cos(－30˚)＋jsin(－30˚)]＝17.32－j10

＝43.03+j20.64=47.72∠

25.63˚

7/20/202327第5章正弦稳态分析5.1正弦交流电5.2相量5.3相量分析5.4阻抗与导纳5.5谐振5.6相量分析法5.7交流电路的功率5.8三相电路7/20/2023285.3相量分析用相量法求解正弦激励下的动态电路，可以将微分方程转化成代数方程。电路分析的基础是电路元件的伏安特性和基尔霍夫定律，为此必须解决如下问题电路元件的伏安特性的相量形式基尔霍夫定律的相量形式7/20/2023295.3.1电路元件伏安特性的相量形式在正弦稳态电路中，电阻电压与电阻电流同相

7/20/202330电阻伏安特性的相量形式电阻伏安特性的相量形式7/20/2023312．电感在正弦稳态电路中，电感电压的幅值等于电感电流的ωL倍，电感电压的相位超前于电感电流π/2（90˚）7/20/202332电感伏安特性的相量形式电感伏安特性的相量形式7/20/2023333．电容在正弦稳态电路中，电容电流的幅值等于电容电压的ωC倍，电容电流在相位上比电容电压超前π/2（90˚）7/20/202334电容伏安特性的相量形式电容伏安特性的相量形式7/20/2023355.3.2基尔霍夫定律的相量形式KCLKVL7/20/2023365.4阻抗与导纳交流电路中，电阻、电容、电感伏安特性的相量表达式在形式上一致7/20/2023375.4.1欧姆定律的相量形式用统一形式表达个元件伏安特性Z为阻抗，显然 ZR＝R ZL＝jωL7/20/202338欧姆定律的相量形式（续）阻抗的倒数称为导纳欧姆定律的相量形式也可以写成7/20/2023395.4.2阻抗的串并联阻抗的串联Z＝Z1＋Z2

阻抗的并联7/20/2023405.4.3阻抗的意义Z＝R＋jX

阻抗的实部R仍称为电阻，虚部X则称为电抗。任何的无源网络总可以等效成电阻、电感、电容的串联形式，阻抗Z的实部等于电路中的等效电阻虚部等于等效感抗与等效容抗之差。7/20/202341阻抗的意义（续）如果电路中的等效感抗大于等效容抗，则虚部为正，此时电路称为电感性的；如果电路中的等效容抗大于等效感抗，则虚部为负，此时称电路为电容性的。根据容抗和感抗的定义可知，电路呈现电容性或电感性，与正弦稳态电路的工作频率密切相关，在某一频率下呈现电感性的电路，在另一个频率下可能呈现电容性。7/20/202342斯坦因梅茨形式阻抗也可以写成极坐标的形式Z＝|Z|∠θ

其中因为电抗X与电源角频率有关，所以阻抗Z也与电源角频率有关。7/20/202343阻抗的意义（续）任意网络，在正弦激励下，其端口上的电压、电流相量符合相量形式的欧姆定律7/20/202344阻抗的意义（续）导纳的复数形式Y＝G＋jB

电感引起的电纳部分称为感纳，电容引起的电纳称为容纳。导纳的极坐标形式Y＝|Y|∠θ′7/20/202345阻抗计算举例【例5-3】已知电路中某元件上的电压和电流为u(t)＝100sin(314t＋π/2)V，i(t)＝70sin(314t＋π/2)A，求该元件的阻抗Z？【解】首先写出元件电压和电流的相量形式该元件是电感性的元件。7/20/202346阻抗计算举例（续）【例5-4】在图5-17所示的电路中，已知输入电压ui＝20sin(4t＋π/2)，求输出电压uo和输入电压ui之比，并求出输出电压uo的时域表达式。7/20/202347阻抗计算举例（续）【解】要进行频域分析，首先必须写出电路元件的频域形式，因为电源的角频率ω＝4，所以电阻、电感、电容的阻抗分别为 ZR＝