专升本-微积分证明专题教学课件2

第十讲:证明专题问题():函数性质的证明问题(二):方程根的存在性证明问题(三):不等式的证明问题(四):有关中值ξ的证明问题()函数性质的证明卫函数奇偶性的证叨一定义、性质、图形例设数f(x)-+∞)读续,且F(x)=(x-2f()dt,证明:(1)若f(x激,则F(x)也是偶数;(2)若f(x)非增,则F(x)为减证明:(1)F(-x)=[(-x-2f(t)d令t=(x-2n)f(-)d(-)=(x-2a)f(l)l=(x-2)f()d=F(x),∴F(x)为偶欧徵数(2)要证F(x)非减即证F(x)≥0F(x)=xof(dt-2tf(dt,F'(r)=f()dt+xf(x)-2xf(x)「n∫Mt-xf(x积分中值定理/(5)-xf(x)xf()-f(x)]≥0(f(x)非增)∈(0,x)2函数的单调性的证哄转化为证明F'(x)>0<0并结合用微分与积分中傧理及函数的性态对不能求导的函数可根据单调性定义例2设f(0)=0,f(x)0,+∞)内单调增加,试证函数g(x)=(x)在区间(0+∞)内单调加.分析:即证g(xs'(x)-f(x)>0,只要证xf(x)-f(x)>0由于∫'(x)与∫(x)不能直接比较大小于是想到用微分中值定理里,再利用f'(x)的单调性来证明分子大于零证:对x>0,在区间[0,xl上对∫(t)应用拉格眀日中值定理,有f(x)-∫(0)=xf'(4)→f(x)=xf(5),5∈(0,x)于是g(x)=(x)-f(x)=x(x)-xf()_f(x)-f(2)又∵∫(x)在0,+∞)上单增,故当x>0时,∫'(x)>∫()从而g'(x)>0,即g(x)在区间(0,+∞)内单调增加3°周期性证明例设f(x)=[2simM,证明f(x)是以z为周期的周期独数证明:f(x+z)=2lsmt令t=+sinuWtx+丌=f(x),可见∫(x)以兀为周期例4设数y=f(x),x∈(-0+的图形关于x=a,x=b均对称(a<b),求证y=f(x)是周期函数,并求其周期证明:由题设:∫(x)的图形关于直线=a,x=b对称分∫(a+x)=∫(a-x),∫(b+x)=∫(b-x)→f(x)=∫[a+(x-a)]=∫[a-(x-a)]=∫(2a-x)=∫[b+(2a-x-b)]=∫[b-(2a-x-b)=∫x+2(b-a)故∫(x)是周期函数其周期T=2(b-a)4°有界性的证明证题依据:(1),定义一一将函数取绝对值然后用不等式放缩法;或利用导数求最大(小)值(2)闭区间上的连续函数是有界的(3),有极限的变量是有界的例求证f(x)=xeed-+∞)|有界分析:若函数f(x)在闭区间a,b上连续,则f(x)在a,b上有界,而f(x)在(-∞+∞)内连续就不能保证(x)在(-a+∞内有界只要再有limf(x)和limf(x)存在,x→+x→-0就能保证f(x)在(-∞+∞内有界现在∫(x)在(-a+o)内连续,又是偶函数故只要证明limf(x)存在即可x→+0edt诩明::lim∫(x)=li/1n+2)=lime故f(x)在(-a+∞)内有界问题(二)方程根的存在性证明证题依据:零点存在定理、微分与积分中值定理、函数的性态(增减、极值、凹向、图形)★要证函数(x)(a,b至少有一个实根可从两方面考虑:(1)证明f(a)与f(b)异号,应用零点存在定玛(2)构造一个辅助函数(x,使得q(x)=f(x),再在给定区间上用罗尔定理2要证明r(x)在(a,b有唯一实根一般要证明两点:(1)f(x)在(a,b)上单调即f(x)>0或f(x)<0(2)f(a)与f(b)异号有时也用反证法3要证明函数(x)在(a,b内有k个实根必须根据题旧给定条件适当选取-1分点:x1,x2,…x,构造k个闭区间且满(a)=f(x1)=f(x2)=…=f(xk1∫(b),然后在这个个子区间上应用零点在定理,或罗尔定理例1若f(x)在a,b连续Hf(a)<a,f(b)>b,则在(a2b内至少有方程(x)=x的一个根分析:要证(a,b方程(x)=x至少有一个根证在(a,b至少存在一点,使f(2)=5,即∫(4)-5=0,因此想到零点存在定理证:令F(x)=f(x)-x,显然F(x)在[a,b上连续,因