江西省赣州市桃江中学高三数学理测试题含解析

江西省赣州市桃江中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，取DE的中点F，则的值为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意画出图形，把、用、表示，再代入数量积公式计算即可．【解答】解：如图所示，∵D、E分别是边AB、BC的中点，F是DE的中点，∴==（﹣），∴=+=+=+（﹣）=﹣；∴?=（﹣）?=﹣?=×12﹣×1×1×cos=﹣．故选：B．2.两次抛掷一枚骰子，则向上的点数之差的绝对值等于2的概率是（）A．

B．

C.

D．参考答案：B连续两次抛掷一枚骰子，记录向上的点数，基本事件的总数为，向上的点数之差的绝对值为包含的基本事件有：共8个，所以向上的点数之差的绝对值为的概率为，故选B.

3.若复数的实部与虚部相等，则实数（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：A略4.已知A＝{x||x－1|≤1，x∈R}，B＝{x|log2x≤1，x∈R}，则“x∈A”是“x∈B”的

()A．充分必要条件

B．必要不充分条件C．充分不必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：B5.已知直线和平面，那么的一个充分条件是（

）

A．存在一条直线，且

B．存在一条直线，且

C．存在一个平面，且

D．存在一个平面，且参考答案：C略6.已知某函数图象如图所示，则图象所对应的函数可能是（

）A. B.C. D.参考答案：D【分析】对给出的四个选项分别进行分析、讨论后可得结果．【详解】对于A，函数，当时，；当时，，所以不满足题意．对于B，当时，单调递增，不满足题意．对于C，当时，，不满足题意．对于D，函数为偶函数，且当时，函数有两个零点，满足题意．故选D．【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．7.已知实数构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为（

）

参考答案：C因成等比，则当时圆锥曲线为椭圆其离心率为；当时圆锥曲线为双曲线其离心率为

故选8.设等差数列{an}前n项和为Sn，若S9=72，则a2+a4+a9=（）A．12 B．18 C．24 D．36参考答案：C【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和．【专题】计算题．【分析】由条件可得=9a5，故有a5=8，故a2+a4+a9=3a1+12d=3a5．【解答】解：∵等差数列{an}前n项和为Sn，S9=72==9a5，∴a5=8．故a2+a4+a9=3a1+12d=3a5=24，故选C．【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的通项公式，前n项和公式的应用，属于中档题．9.在中，，则

的值是

（

）

参考答案：B略10.设，则

A.

B.

C.

D.

参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（4分）（2015?上海模拟）（理）若平面向量满足||=1（i=1，2，3，4）且=0（i=1，2，3），则||可能的值有个．参考答案：3【考点】：平面向量数量积的运算；向量的模．【专题】：平面向量及应用．【分析】：由=0可得，分类作图可得结论．解：由=0可得，若四向量首尾相连构成正方形时（图1），||=0，当四向量如图2所示时，||=2，当四向量如图3所示时，||=2，故答案为：3【点评】：本题考查平面向量的模长，涉及分类讨论的思想，属中档题．12.对于大于或等于2的正整数m的n次方幂有如下分解方式：

根据上述分解规律．若m3（m∈N*）的分解中最小的数是91，则m的值为

。参考答案：13.已知函数在区间内任取两个实数，不等式恒成立，则实数a的取值范围为___________.参考答案：14.中心在坐标原点，一个焦点为（5，0），且以直线为渐近线的双曲线方程为______________________________________。参考答案：

15.一个房间的地面是由12个正方形所组成，如图所示.今想用长方形瓷砖铺满地面，已知每一块长方形瓷砖可以覆盖两块相邻的正方形，即或，则用6块瓷砖铺满房间地面的方法有_______种.参考答案：11【分析】将图形中左侧的两列瓷砖的形状先确定，再由此进行分类，在每一类里面又分按两种形状的瓷砖的数量进行分类，在其中会有相同元素的排列问题，需用到“缩倍法”.采用分类计数原理，求得总的方法数.【详解】（1）先贴如图这块瓷砖，然后再贴剩下的部分，按如下分类：5个：，3个，2个：，1个，4个：，（2）左侧两列如图贴砖，然后贴剩下的部分：3个：，1个，2个：，综上，一共有（种）.故答案为：11.【点睛】本题考查了分类计数原理，排列问题，其中涉及到相同元素的排列，用到了“缩倍法”的思想.属于中档题.16.向量的夹角为120°，=

．参考答案：7，所以，所以。17.抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，且P不在直线AF上，则周长的最小值为

．参考答案：13由抛物线定义，抛物线上的点到焦点的距离PF等于这点到准线的距离d,即FP=d.所以周长，填13.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知数列{an}满足.（1）证明:数列是等差数列，并求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足，求数列{bn}的前n项和Sn.参考答案：（1）∵，∴，∴是等差数列，∴，即；（2）∵，∴，则，两式相减得，∴.19.已知命题对，不等式恒成立；命题,使不等式成立;若是真命题，是假命题，求的取值范围.参考答案：解：若是真命题，则；若Q是真命题则所以若是真命题，Q是假命题，20.（本题满分10分）选修4－1：几何证明选讲 如图，在△ABC中，BC边上的点D满足BD=2DC，以BD为直径作圆O恰与CA相切于点A，过点B作BE⊥CA于点E，BE交圆D于点F．

（I）求∠ABC的度数：

（II）求证：BD=4EF．参考答案：（Ⅰ）连结OA、AD．∵AC是圆O的切线，OA＝OB，∴OA⊥AC，∠OAB＝∠OBA＝∠DAC， ---------2分又AD是Rt△OAC斜边上的中线，∴AD＝OD＝DC＝OA，∴△AOD是等边三角形，∴∠AOD＝60?，故∠ABC＝∠AOD＝30?． ---------5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，在Rt△AEB中，∠EAB＝∠ADB＝60?，21.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2，PE=2BE．（I）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（I）由PC⊥底面ABCD，可得PC⊥AC．由AB=2，AD=CD=1，利用勾股定理的逆定理可得：AC⊥BC，因此AC⊥平面PBC，即可证明平面EAC⊥平面PBC．（II）取AB的中点F，两角CF，则CF⊥AB，以点C为原点，建立空间直角坐标系，可得设P（0，0，a）（a＞0），可取=（1，﹣1，0），利用向量垂直与数量积的关系可得：为平面PAC的法向量．设=（x，y，z）为平面EAC的法向量，则，可得，由于二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，可得==，解得a=4．设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sinθ=||=即可得出．【解答】（I）证明：∵PC⊥底面ABCD，AC?平面ABCD，∴PC⊥AC．∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC，又AC?平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．（II）解：取AB的中点F，两角CF，则CF⊥AB，以点C为原点，建立空间直角坐标系，可得：C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，﹣1，0），设P（0，0，a）（a＞0），则E，=（1，1，0），=（0，0，a），=，取=（1，﹣1，0），则=0，∴为平面PAC的法向量．设=（x，y，z）为平面EAC的法向量，则，即，取=（a，﹣a，﹣4），∵二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，∴===，解得a=4，∴=（4，﹣4，﹣4），=（1，1，﹣4）．设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sinθ=||===，∴直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．22.为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30min从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm）.下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：抽取次序12345678零件尺寸9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04抽取次序910111213141516零件尺寸10.269.9110.1310.029.2210.0410.049.95

经计算得，，，，，其中为抽取的第i个零件的尺寸，抽取次序，样本的相关系数.（1）求的相关系数r，并回答是否可以认为这一年生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小，（若，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.①从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？②在之外的数据成为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差（精确到0.01）.参考答案：（1）认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小；（2）①需对当天的生产过程进行检查；②0.09.【分析】（1）代入数据计算，比较|r|与0.25的大小作出结论；（2）（i）计算合格零件尺寸范围，得出结论；（ii）代入公式计算即可．【详解】(1)因为1，2，3，…，16的平均数为8.5，所以样本(xi，i)(i＝1，2，…，16)的相关系数r＝＝≈－0.17