2022年湖南省郴州市禾市中学高三数学理期末试题含解析

2022年湖南省郴州市禾市中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数f（x）=x+lnx的零点所在的区间是(

) A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）参考答案：A考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：由函数f（x）=x+lnx在（0，+∞）上为连续的增函数，结合f（）=﹣1＜0，f（1）=＞0，可得：函数f（x）=x+lnx的在（，1）上有一个零点，进而得到答案．解答： 解：函数f（x）=x+lnx在（0，+∞）上为连续的增函数，∵f（）=﹣1＜0，f（1）=＞0，故函数f（x）=x+lnx的在（，1）上有一个零点，即函数f（x）=x+lnx的零点所在的区间是（0，1），故选：A点评：本题考查的知识点是函数的零点的判定定理，找到满足f（a）?f（b）＜0的区间（a，b）是解答的关键．2.已知集合,则A.

B.

C.

D.

参考答案：D3.已知集合A＝{1，2，3，4}，集合B＝{2，3，4，5，6}，则A∪B＝A、{1，2，3，4}C、{1，2，3，4，5，6}C、{2，3，4，5，6}D、{3，4}参考答案：B4.已知函数，若函数（，）在区间[－1,1]上有4个不同的零点，则实数a的取值范围是（

）A. B.(2,+∞)C. D.参考答案：B【分析】求得函数为偶函数，利用导数得到函数的单调性，把函数在区间上有4个不同的零点，转化为与的图象在上有4个不同的交点，结合图象，即可求解.【详解】由题意，函数，可得，所以函数为上的偶函数，当时，，可得，所以函数在上单调递增，所以在单调递减，又由，所以函数的图象，如图所示，要使得函数在区间上有4个不同的零点，即函数与的图象在上有4个不同的交点，则满足，解得，即实数的取值范围是.故选：B.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，以及利用导数研究函数的性质的应用，其中解答中熟练应用导数和函数的基本性质，把方程的零点的个数转化为两个函数的图象的交点个数，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.5.给出右侧的程序框图，输出的数是（

）A．2450

B．2550

C．5050

D．4900

参考答案：A略6.“”是“”的（

）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：A【分析】先考虑充分性，再考虑必要性得解.【详解】先考虑充分性.,=，因为，所以，所以“”是“”的充分条件.再考虑必要性.,=，不能推出.如：a=-3,b=-1.所以“”是“”的非必要条件.所以“”是“”的充分不必要条件.故选A【点睛】本题主要考查充分必要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7.椭圆+=1的左焦点为F，直线x=a与椭圆相交于点M、N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】设右焦点为F′，连接MF′，NF′，由于|MF′|+|NF′|≥|MN|，可得当直线x=a过右焦点时，△FMN的周长最大．c==1．把c=1代入椭圆标准方程可得：=1，解得y，即可得出此时△FMN的面积S．【解答】解：设右焦点为F′，连接MF′，NF′，∵|MF′|+|NF′|≥|MN|，∴当直线x=a过右焦点时，△FMN的周长最大．由椭圆的定义可得：△FMN的周长的最大值=4a=4．c==1．把c=1代入椭圆标准方程可得：=1，解得y=±．∴此时△FMN的面积S==．故选：C．8.函数的图象大致是参考答案：C9.已知A、B、C是球O的球面上三点，三棱锥O﹣ABC的高为2且∠ABC=60°，AB=2，BC=4，则球O的表面积为（）A．

B.

C.

D.参考答案：C10.在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，若△ABC的面积，∠A的弧度数为

(

)A.

B.

C.

D.参考答案：D【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.【知识内容】函数与分析/三角比/正弦定理和余弦定理.【试题分析】因为的面积,所以,.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知向量与共线，则实数x的值为．参考答案：1略12.以椭圆的焦点为焦点，离心率为2的双曲线方程为

。参考答案：略13.在三棱锥中，平面，，，，，则该三棱锥的外接球表面积为________．参考答案：14π在△ABC中，由余弦定理得所以底面三角形的外接圆的半径为故填14π.

14.正三角形的边长为2，将它沿高翻折，使点与点间的距离为1，此时四面体外接球表面积为

▲

．参考答案：

15.若函数的反函数为，则．参考答案：16.在党中央的正确指导下，通过全国人民的齐心协力，特别是全体一线医护人员的奋力救治，二月份“新冠肺炎”疫情得到了控制.下图是国家卫健委给出的全国疫情通报，甲、乙两个省份从2月7日到2月13日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数的折线图如下：根据图中甲、乙两省的数字特征进行比对，通过比较把你得到最重要的两个结论写在答案纸指定的空白处.①_________________________________________________.②_________________________________________________.参考答案：①甲省比乙省的新增人数的平均数低

②甲省比乙省的方差要大【分析】直接根据折线图得到答案.【详解】根据折线图知：①甲省比乙省的新增人数的平均数低；②甲省比乙省的方差要大.故答案为：甲省比乙省的新增人数的平均数低；甲省比乙省的方差要大.【点睛】本题考查了折线图，意在考查学生的理解能力和应用能力.17.某商人将彩电先按原价提高40%，然后“八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚144元，那么每台彩电原价是1200元．参考答案：【考点】一次函数的性质与图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】设每台彩电原价是x元，由题意可得（1+40%）x?0.8﹣x=144，解方程求得x的值，即为所求．【解答】解：设每台彩电原价是x元，由题意可得（1+40%）x?0.8﹣x=144，解得x=1200，故答案为1200．【点评】本题主要考查一次函数的性质应用，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，设抛物线：的焦点为，准线为，过准线上一点且斜率为的直线交抛物线于，两点，线段的中点为，直线交抛物线于，两点．（1）求抛物线的方程及的取值范围；（2）是否存在值，使点是线段的中点？若存在，求出值，若不存在，请说明理由．参考答案：解：（1）由已知得，∴．∴抛物线方程为．设的方程为，，，，，由得．

，解得，注意到不符合题意，所以．

（2）不存在值，使点是线段的中点．理由如下：

由（1）得，所以，所以，，直线的方程为．

由得，．当点为线段的中点时，有，即，因为，所以此方程无实数根．因此不存在值，使点是线段的中点．略19.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，．（1）求证：平面PBD⊥平面PAC；（2）若，M为线段PC的中点，求三棱锥C-MBD的体积。参考答案：（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴.又∵平面ABCD，平面ABCD，∴．又，平面，平面，∴平面，∵平面，∴平面平面.（Ⅱ）解：20.已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点到焦点的距离为5.（1）求该抛物线C的方程；（2）已知抛物线上一点，过点M作抛物线的两条弦MD和ME，且MD⊥ME，判断直线DE是否过定点？并说明理由.参考答案：（1）由题意设抛物线方程为，其准线方程为.∵到焦点的距离等于到其准线的距离，∴，∴.∴抛物线的方程为.（2）由（1）可得点，可得直线的斜率不为0，设直线的方程为，联立，得，则①.设，，则，.∵.即.∴，即或，代入①式检验均满足，∴直线的方程为：或.∴直线过定点（定点不满足题意，故舍去）.

21.（本题12分）已知椭圆：（）过点，且椭圆的离心率为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若动点在直线上，过作直线交椭圆于两点，且为线段中点，再过作直线.求直线是否恒过定点，如果是则求出该定点的坐标，不是请说明理由。参考答案：（Ⅰ）因为点在椭圆上，所以，所以，

-------

1分因为椭圆的离心率为，所以，即，-------2分解得，

所以椭圆的方程为.

-------

4分（Ⅱ）设，，①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，由得，所以，

因为为中点，所以，即.所以，

-------

8分因为直线，所以，所以直线的方程为，即，显然直线恒过定点.-------10分②当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时直线为轴，也过点.

综上所述直线恒过定点.-------12分22.（本小题满分12分）某校高一年级开设研究性学习课程，（1）班和（2）班报名参加的人数分别是18和27。现用分层抽样的方法，从中抽取若干名学生组成研究性学习小组，已知从（2）班抽取了3名同学。

（I）求研究性学习小组的人数；

（Ⅱ）规划在研究性学习的中、后期各安排1次交流活动，每次随机抽取小组中1名同学发言，求2次发言的学生恰好来自不同班级的概率参考答案：（Ⅰ）解：设从（）班抽取的人数为，依