第十章-向量与空间解析几何课件

第十章向量与空间解析几何§10.1向量及其运算1º向量向量:一个既有大小又有方向的量称为向量

,记为,其大小称为向量的模

.向量的例子(1)位移:

一点A沿着一个方向移动到B,则A点产生一个位移.特征:1)移动的方向AB2)移动的距离AB可知位移是一个既有大小又有方向的量,所以是一向量,我们用有向线段表示

(这里表示大小为,方向为AB的有向线段),A称为起点

,B称为终点

.(2)力:力是一既有大小又有方向的量,所以力是一个向量,记为.说明:(1)对于向量,我们只考虑其大小与方向.我们把长度相等,方向相同的向量认为是相等的向量

(这样理解的向量称为自由向量)所以,有向线段是一向量

.(2)按自由向量来理解向量是合理的例如:

刚体平行移动时,各点所产生的位移是相同的又如,是大小相同,方向相同的两个力,则在各点处的作用效果是相同的.今后我们把向量(除非特作说明)都认为是自由向量.(3)自由向量可在空间中作任意的平行移动而不变.(4)有向线段表示一向量,反之,任一向量都可用有向线段表示.

所以得知:向量与有向线段之间是可以相互表示的,从而研究向量只需研究有向线段说明:空间中向量的全体所成的集合与有向线段全体所成的集合构成11对应这只需让,AB与同向即可2º向量的运算(1)加法:向量的和,记作,满足三角形定律,即把的起点移到的终点后,由的起点到的终点形成的向量.说明:(1)(2)

向量加法也可用平行四边形定理来进行向量加法的运算性质(1)交换律:(2)结合律:(3)多个向量的和可以用折线一次完成(4)长度为零的向量称为零向量,记为0,零向量的方向为任意.(5)(6)对于任意的向量长度与相同,方向与相反的向量.(7)(8)向量的减法:向量的减法的几何解释:总结以上性质可知:向量加法可以象实数加法一样运算(2)数乘向量向量共线:

若平行于同一条直线,则称向量共线

.向量共面:若一组向量平行于同一平面,则称此组向量共面

.可以看到:(a)零向量与任意向量共线(b)共线的向量是共面的,任意两向量总是共面的.如何描述两向量的平行关系?数与向量的乘法:实数与向量的乘积方向当>0时与相同,当<0时与相反.是一个向量,它的长度是,的数与向量的乘法简称向量的数乘运算定理

(向量共线的条件)非零向量共线(或平行)存在实数,使证明:“”设共线,则与的方向相同或相反.令=与同向与反向构造“”此时与同向,且由数乘运算的定义知与平行所以与平行(共线)数乘运算的性质:(1)数关于向量的分配律:(2)数向量关于十的分配律:(3)与数的结合律:(4)单位向量:的向量称为单位向量

.对于任意,定义,则是与同方向的单位向量,我们称为的单位化向量

.此时有例已知平行四边形ABCD

的边BC

和CD的中点分别为K和L,且求解因为又因为用消元法解得例设AD,BE,CF

是三角形ABC的中线,求解因为例设O是点A,B联线以外的点,证明:三点A,B,C共线存在,,+=1,使解“”设A,B,C共线则存在使由代入上式得“”如果存在,,+=1使则(3)位置向量我们知道:任一向量都可用有向线段表示.若在空间中取一定点O(原点),把有向线段的起点平移到O点,则唯一确定空间中的一点P使从而可知:空间中的每一向量都可相对于O点唯一确定一点P,使所以,

在取定原点O之后,空间中的向量全体所成的集合与空间中的点的集合11对应我们把向量称为点P相对于原点O的位置向量

(或矢径

),用表示.有向线段,从而唯一确定一向量.反之,任一点,相对于O点唯一确定一例设M点是三角形ABC的重心,证明:对任意一点O,M点相对于O的位置向量解由于将三式相加得又因所以证得(4)内积,投影内积:对任意给定的两个向量,与的内积定义为其中是与的夹角,并约定内积的物理背景:力所作的功说明:(1)如果(2)如果或内积的运算性质:(1)交换律:(2)分配律:(3)与数乘的结合律:说明:(1)内积可以象多项式的乘法那样运算(2)由例当c为何值时,与相互垂直?其中是两两垂直的单位向量.解而故当时,与垂直.因为投影:向量在上的投影量定义为说明:(1)几何意义:(2)当时,

当时,

当时,(3)由(4)向量称为在上的投影向量

.在上的投影向量:(5)(6)(5)外积与混合积外积:两个向量与的外积是一个向量,它的长度为的方向与垂直,并且形成右手系.若中有一是零向量,则外积规定为零向量.外积的物理背景:一根棍子固定在O点,有一力作用在P点使它转动.转动的轴线垂直于和,现问如何描述这一物理过程?根据杠杆定律知:转动效用的大小等于力臂与力的大小的乘积.由于转动具有方向,所以力对于转动的总效用就表现为一个向量(力矩),其大小为方向:

形成右手系于是力矩可表示为:的几何意义:以为邻边的平行四边形的面积.内积的运算性质:(1)(无交换律)(2)一般外积运算无结合律,即反例:设是两两垂直的单位向量则(3)无交换的分配律(4)如果,则(5)所以,外积基本上可以象多项式那样运算,只要注意交换因子时变号.混合积:对于