5.4.2正弦函数、余弦函数的性质（第2课时）教学设计-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第五章三角函数5.4.2正弦函数、余弦函数的性质（第2课时）教学设计一、教学目标1.理解正弦函数、余弦函数的单调性具有周期性变化规律，通过一个周期内的单调性进而研究在整个定义域上的性质.2.能够利用单调性解决一些问题，比如比较大小，求最值等.二、教学重难点1、教学重点正弦函数、余弦函数的单调性、最值，研究函数的思想方法2、教学难点利用正弦函数、余弦函数的周期性来研究它们的单调性、最值三、教学过程1、新课导入前面研究了正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性，根据我们之前学习指数函数和对数函数的经验，三角函数还有哪些性质有待于我们去研究呢？继续观察正弦曲线和余弦曲线，它们的定义域、值域、单调性有何规律？2、探索新知单调性由于正弦函数是周期函数，我们可以先在它一个周期区间（如）上讨论它的单调性，再利用它的周期性，将单调性扩展到整个定义域.教师：观察正弦函数的图像.问题1：函数值的变化有什么特点？学生：观察函数图像.思考函数图像的变化趋势，总结函数的单调性.当时，曲线逐渐上升，是增函数，的值由-1增大到1；当时，曲线逐渐下降，是减函数，的值由1减小到-1.用表格表示为：问题2：推广到整个定义域呢？学生：观察图像，讨论交流.当时，正弦函数y=是增函数，函数值由-1增大到1.当时，正弦函数y=是减函数，函数值由1减小到-1.同理，观察余弦函数的图像.问题3：余弦函数在上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？教师引导学生发现余弦函数的图像特点，并与正弦函数的图像特点进行比较，学生分组探讨，教师巡视.当时，曲线逐渐上升，是增函数，的值由-1增大到1.当时，曲线逐渐下降，是减函数，的值由1减小到-1.用表格表示为：推广到整个定义域：

当时，余弦函数是增函数，的值由-1增大到1.当时，余弦函数是减函数，函数值由1减小到-1.问题4：正弦函数、余弦函数的单调区间分别是什么？正弦函数的增区间为，减区间为.余弦函数的增区间为，减区间为最大值与最小值问题5：继续观察图像，当正弦函数、余弦函数取最值时，x的取值有何规律？对于正弦函数，有当且仅当时，取得最大值1；当且仅当时，取得最小值-1对于余弦函数有当且仅当时，取得最大值1；当且仅当时，取得最小值-1.例3下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出最大值、最小值时自变量x的集合，并求出最大值、最小值.（1）（2）解：容易知道，这两个函数都有最大值、最小值（1）使函数取得最大值的x的集合，就是使函数取得最大值的x的集合；使函数取得最小值的x的集合，就是使函数取得最小值的x的集合.函数的最大值是；最小值是.（2）令，使函数取得最大值的z的集合，就是使取得最小值的z的集合.由，得.所以，使函数取得最大值的x的集合是.同理，使函数取得最小值的x的集合是.函数的最大值是3，最小值是-3.方法总结：（1）求解例题的基本依据是正弦函数、余弦函数的最大（小）值.（2）对于形如的函数，一般通过变量代换（如设）化归为的形式，然后利用正弦函数的最大（小）值求解.（3）余弦函数类似.例4不通过求值，比较下列各组数的大小：（1）与；（2）与.分析：可利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小.为此，先用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角，然后再比较大小.解：（1）因为，正弦函数在区间上单调递增，所以.（2），.因为，且函数在区间上单调递减，所以，即.方法技巧：比较三角函数值的大小时，先化三角函数为同名三角函数，再将角转化到同一个单调区间内，利用单调性比较大小.若α，β不在同一个单调区间内，则要通过诱导公式等工具先把α，β转化到同一个单调区间内再比较函数值的大小，有时可先大致判断函数值的符号，若符号不同，则大小易判.提问：你能借助单位圆直观地比较上述两对函数值的大小吗？试一试上图中由图可知即.类似地，可以比较出.例5求函数的单调递增区间.分析：令，当自变量x的值增大时，z的值也随之增大，因此若函数在某个区间上单调递增，则函数在相应的区间上也一定单调递增.解：令，则.因为的单调区间是，且由，得.所以，函数的单调区间是思考：你能求出函数的单调区间吗？分析：本例的求解是转化与化归思想的应用，即利用正弦函数的单调性，将问题转化为一个关于x的不等式问题，然后解不等式得所求区间.解：令.由于是的减函数，因此函数的减区间就是原函数的增区间.函数的单调递减区间是由于得设，,.的单调递增区间是.方法技巧：求函数的单调区间的的一般步骤：当时，把“”看成一个整体，由得出x的取值范围，即可得出函数的单调递增区间；由得出x的取值范围，即可得出函数的单调递增区间.【注意】单调区间之间只能用“，”或“和”连接，不能用“”.3、课堂练习1.函数，的单调递增区间是()A. B. C. D.【答案】B【解析】本题考查正弦型函数的单调区间.令，解得，当时，，即函数的单调递增区间是.2.函数的一个单调递增区间是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根据题意，作出函数的图像如下：

由图知，函数在区间和单调递增；在区间和上单调递减.所以选项ABC错误，选项D正确.故选：D.3.已知函数在上单调递增，在上单调递减，则的最小正周期为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可知时,取得最大值,则,解得,由于T2⩾π,

则,故,最小正周期,故选B.4.已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）求函数在区间上的最小值和最大值.【答案】（1）令，得；

令，得.故函数的单调递增区间为；单调递减区间为.

（2）当时，，当，即时，取得最大值，；当，即时，取得最小值，.函数在区间上的最小值和最大值分