7.3.1复数的三角表示式+教案-2021-2022学年高一下学期数学+人教A版（2019）必修第二册

第七章复数7.3.1复数的三角表示式教学设计教学目标1.掌握复数的三角表示式及相关概念.2.掌握复数的三角形式与代数形式的互化.3.了解复数的代数形式，掌握实数、虚数、纯虚数之间的关系.二、教学重难点1.教学重点复数三角形式的有关概念，复数的代数形式与三角形式的互化.2.教学难点根据需要把复数的代数形式表示成三角形式及其反向应用.三、教学过程（一）探索新知探究一：复数的三角形式一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cosθ＋isinθ)的形式，其中，r是复数z的模；θ是以x的非负半轴为始边，向量eq\o(OZ,\s\up6(→))所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角，r(cosθ＋isinθ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式，为了与三角形式区分开来，a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式.复数三角式的特征：有三个特征：(1)r≥0；(2)相同角θ，θ为辐角但不一定是辐角主值；(3)cosθ与isinθ之间用“＋”号连接.探究二：辐角与辐角主值任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差的整数倍.复数0的辐角也是任意的，不讨论它的辐角主值.我们规定在范围内的辐角的值为辐角的主值.通常记作，即.辐角和辐角主值的区别与联系：（1）区别：辐角θ是指以x轴的非负半轴为始边，以复数z所对应的向量eq\o(OZ,\s\up6(→))所在射线(射线OZ)为终边的角，显然辐角有无数个.而辐角主值是指在0≤θ<2π范围内的辐角，因而一个复数的辐角主值只有一个.（2）联系：θ＝2kπ＋argz，k∈Z.探究三：复数三角形式的乘法两个复数相乘，积的模等于各复数模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和.r1(cosθ1＋isinθ1)·r2(cosθ2＋isinθ2)＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)].复数乘法运算三角表示的几何意义：复数z1，z2对应的向量为eq\o(OZ1,\s\up6(→))，eq\o(OZ2,\s\up6(→))，把向量eq\o(OZ1,\s\up6(→))绕点O按逆时针方向旋转θ2(如果θ2<0，就要把eq\o(OZ1,\s\up6(→))绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量eq\o(OZ,\s\up6(→))，eq\o(OZ,\s\up6(→))表示的复数就是积z1z2．探究四：复数三角形式的除法两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.eq\f(r1cosθ1＋isinθ1,r2cosθ2＋isinθ2)＝eq\f(r1,r2)[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)].复数除法运算三角表示的几何意义：复数z1，z2对应的向量为eq\o(OZ1,\s\up6(→))，eq\o(OZ2,\s\up6(→))，把向量eq\o(OZ1,\s\up6(→))绕点O按顺时针方向旋转θ2，再把它的模变为原来的eq\f(1,r2)，得到向量eq\o(OZ,\s\up6(→))，eq\o(OZ,\s\up6(→))表示的复数就是商eq\f(z1,z2).（二）课堂练习1.将复数化成代数形式，正确的是()A.4 B.-4 C. D.答案：D解析：.故选D.2.复数的辐角的主值是()A.45° B.135° C.225° D.315°答案：D解析：，，，辐角的主值.故选D.3.()

A. B. C. D.答案：C解析：.故选C.（三）小结作业小结：本节课我们主要学习了哪些内容?1.复数三角形式的表示式；2.复数的辐角主值与辐角；3.复数三角形式的乘法；4