2022-2023学年江苏省扬州市江都大桥镇中学高三数学理月考试题含解析

2022-2023学年江苏省扬州市江都大桥镇中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设是集合A到集合B的映射，若A={l，2，4}，则对应的集合B等于

A．{0，1}

B．{0，2}

C．{0，1，2}

D．{1，2}参考答案：C略2.设，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的（

）A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充分必要条件

D.

既不充分也不必要条件参考答案：B.

或，而复数是纯虚数，是纯虚数，故选B.3.已知实数表示的平面区域：，则的最大值为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D略4.（x++1）4展开式中常数项为（）A．18 B．19 C．20 D．21参考答案：B【考点】二项式系数的性质．【分析】（x++1）4展开式的Tr+1=，（r=0，1，…，4）．的通项公式：Tk+1==xr﹣2k，令r=2k，进而得出．【解答】解：（x++1）4展开式的Tr+1=，（r=0，1，…，4）．的通项公式：Tk+1==xr﹣2k，令r=2k，可得：k=0时，r=0；k=1时，r=2，k=2时，r=4．∴（x++1）4展开式中常数项=1++=19．故选：B．【点评】本题考查了二项式定理的通项公式及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.已知二次函数的导数，且的值域为，则的最小值为（

）

A.3

B.

C.2

D.参考答案：C，，函数的值域为，所以，且，即，所以。所以，所以，所以最小值为2，选C.6.某工厂生产的A，B，C三种不同型号的产品数量之比为2∶3∶5，为研究这三种产品的质量，现用分层抽样的方法从该工厂生产的A，B，C三种产品中抽出样本容量为n的样本，若样本中A型产品有10件，则n的值为(

)A．15

B．25

C．50

D．60参考答案：C7.设，二次函数的图像可能是参考答案：D8.已知函数为奇函数，且当时，，则(A)2

(B)1

(C)0

(D)-2参考答案：D9.下列图形中可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是()参考答案：C10.设函数，则函数

（

）

A.在区间，内均有零点

B.在区间，内均没有零点

C.在区间内有零点，区间内没有零点D.在区间内没有零点，区间内有零点参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C＝，，若△ABC的面积为

，则=

．参考答案：略12.从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是

．参考答案：13.已知向量，向量，且，则

;参考答案：614.口袋中装有大小质地都相同、编号为1，2，3，4，5，6的球各一只．现从中一次性随机地取出两个球，设取出的两球中较小的编号为，则随机变量的数学期望是

▲

．参考答案：略15.已知圆的方程为．设该圆过点(3，5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为

．参考答案：16.设，的所有非空子集中的最小元素的和为，则=

．参考答案：17.如果

；不等式的解集是

。参考答案：1，[0，1]三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知.（1）讨论函数的单调区间；（2）若存在极值且，求实数a的取值范围；（3）求证：当时，.参考答案：（1）见解析；（2）；（3）见解析【分析】（1）对求导，判断何时大于0，何时小于0.（2）由≥0在恒成立，所以，利用（1）确定的最小值，建立关于a的不等式.（3）要证不等式在x>1成立，即证在x>1成立，即证，对F（x）求导，求F(x)的极小值，再确定F(x)的最小值.【详解】（1），若时，恒成立，∴函数的单调增区间为，无单调减区间.若时，令，得，∴函数的单调增区间为，减区间为.（2）∵存在极值，由（1）知,又，∴，∴.（3）设，故，∴.∵，∴.∴在上为增函数.又在上连续，，∴在上恒成立.∴.故当时，.【点睛】判断函数的单调性可利用导数，对求导，判断在=0的解的左右两侧的导数的正负，确定函数的单调区间.不等式恒成立问题一般先考虑转化为函数的最值问题，先求相应函数的最值，得所求参数的范围或不等式.19.（本小题满分14分）设函数.（Ⅰ）当时，判断函数的单调性，并加以证明；（Ⅱ）当时，求证：对一切恒成立；（Ⅲ）若，且为常数，求证：的极小值是一个与无关的常数.参考答案：【知识点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．B12答案（Ⅰ）函数在上是单调减函数，证明见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析.

解析：（Ⅰ）当时，，所以函数在上是单调减函数（Ⅱ）当时，，令，则所以函数在上是单调减函数，在上是单调增函数所以当时，函数取得最小值，最小值为所以恒成立（Ⅲ）

，令，得，，所以函数在上是单调减函数，在上是单调增函数所以，而是与无关的常数，所以的极小值是一个与无关的常数.【思路点拨】（Ⅰ）求出函数的导函数，判断出导函数小于等于0，判断出函数单调性．（Ⅱ）求出导函数，令导函数为0，求出根，判断出根左右两边的符号，求出极小值，判断出极小值的符号得证．（Ⅲ）

求出导函数，令导函数为0，求出根，判断根左右两边的符号，求出极小值，判断出极小值是与a无关的常数．20.选修4﹣1：几何证明选讲如图，已知PA是⊙O的切线，A是切点，直线PO交⊙O于B、C两点，D是OC的中点，连接AD并延长交⊙O于点E，若PA=2，∠APB=30°．（Ⅰ）求∠AEC的大小；（Ⅱ）求AE的长．参考答案：【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）先连接AB，根据切线的性质以及已知条件得到：∠AOB=60°；再结合OA=OB以及∠ABC=∠AEC即可得到结论；（Ⅱ）分两段，先根据直角三角形中的有关性质求出AD，再结合相交弦定理求出DE，二者相加即可．【解答】解：（Ⅰ）连接AB，因为：∠APO=30°，且PA是⊙O的切线，所以：∠AOB=60°；∵OA=OB∴∠AB0=60°；∵∠ABC=∠AEC∴∠AEC=60°．（Ⅱ）由条件知AO=2，过A作AH⊥BC于H，则AH=，在RT△AHD中，HD=2，∴AD==．∵BD?DC=AD?DE，∴DE=．∴AE=DE+AD=．21.已知函数的定义域为，设，.（Ⅰ）试确定t的取值范围，使得函数f(x)在上为单调函数；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）求证：对于任意的，总存在，满足，又若方程在上有唯一解，请确定t的取值范围.参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析【分析】（Ⅰ）求导得，从而可得在，上递增，在上递减，从而确定的取值范围；（Ⅱ）借助（Ⅰ）可知，在处取得极小值，求出，则在，上的最小值为，从而得证；（Ⅲ）化简，从而将化为，令，则证明方程在上有解，并讨论解的个数；由二次函数的性质讨论即可．【详解】（Ⅰ）因为，令，得：或；令，得：

所以在上单调递增，在上单调递减，要使在为单调函数，则所以的取值范围为

（Ⅱ）证：因为在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极小值.又，所以在的最小值为，从而当时，，即.（Ⅲ）证：因为，所以，即为令，从而问题转化为证明方程在上有解，并讨论解的个数，因为，当或时，，所以在上有解，且只有一解.②当时，且，但由于，所以在上有解，且有两解③当时，由得：或，在上有且只有一解；

当时，由得：或，所以在上也只有一解

综上所述，对任意的，总存在，满足当方程在上有唯一解，取值范围为【点睛】本题考查了导数的综合应用，同时考查了分类讨论的数学思想应用，属于难题．22.甲、乙两位篮球运动员进行定点投蓝，每人各投4个球，甲投篮