第一模块考试要点与习题课

第一模块考试要点1.求数列极限，函数极限（1）四则运算（无穷小分离，消零因子，有理化，通分等）（2）单侧极限与极限的关系（3）夹逼定理（4）两个重要极限（5）等价无穷小代换常用等价无穷小：2当x

fi

0时:sin

x～

x,

tan

x～x,

arcsin

x～

x,

arctan

x～x,x21-

cos

x～

,

ln(1+

x)～x,

ex

-1～

x.21

+

x

-

1

1

x2.无穷小及其运算法则，无穷小的比较；3.函数在一点连续的定义以及判定其连续的方法，特别是分段函数在分段点处的连续性判断；4.间断点及其分类；5.闭区间上连续函数的性质：最大最小值定理，介值定理，零点定理。考试题型选择，填空，基本计算，计算，证明共15个题考试时间10月12日8:00---8:50

计算机专业8:55---9:45

电子信息、统计专业重修的同学可以任意选择考试时间段。第一章

函数与极限习

题课1/29极限的计算方法:函数的恒等变形（通分、约分、分子或分母有理化、无穷小分离...）；利用左右极限求分段函数的极限；有理函数在无穷远的极限；极限的四则运算；无穷小与有界量相乘；等价无穷小替换；极限存在性的两个准则；

两个重要极限；极限符号与连续函数符号的可交换性；初等函数在一点的连续性（代入法）。几个常用的极限lim

1

=

0,(a

>

0).lim

qn

=

0,(|

q

|<

1).nfi

¥nfi

¥

nalim

n

a

=

1,(a

>

0).nfi

¥lim

n

n

=

1.nfi

¥m

-1+

a1

x

+

+

am01

klim

a0

xmx

fi

¥b x

k

+

b x

k

-1

+

+

b0b0,¥

,=

e,

limx

fi

01sin

xlim(1

+x

fi

¥=

1.x1)x

=

e,

lim(1

+

x)

xxfi

0xa0

,

k

=

m;k

>

m;k

<

m

.=xlim

sin

x

=xfi

0xxfi

¥lim

sin

x

=xxfi

0lim

x

sin

1

=

0,xxfi

¥lim

x

sin

1

=

1,xfi

0lim

x

sin

x

=

0,xfi

¥lim

x

sin

x

=不存在,sin1

1xlimxfi

0

x=

0.xfi

¥

xsin1

1x=

不存在,

lim1,0,（o(1)•O(1)）常用等价无穷小2当x

fi

0时:sin

x～x, tan

x

～x, arcsin

x～

x, arctan

x～x,x21-

cos

x

～

,

ln(1+

x)～x,

ex

-1～

x.21

+

x

-

1

1

x连续：一点处的连续性与单侧连续性——局部性质;区间上的连续性;初等函数的连续性;间断点的分类：…;闭区间上连续函数的性质——整体性质.例1下列数列是否存在极限，若存在，求出其值。12nn(1)

lim[

+

(-1)

].nfi

¥(2)

limn+1

n+1

.nfi

¥

5-4n

+

6n+

6(3)

lim

n

.nfi

¥

3n答（1）发散。（2）

1/6。（3）

0。 （4）

1/2。n2n(3) 0

<

<3n

3n2n=(

)

.

由夹逼准则即得。3n2

+

12(4)

limnfi

¥.2n

-

7n例2

证明数列

x

=

2

,

x

=

3

+

2

x1

n+1

nnfi

¥的极限存在并求lim

xn

.证<

3,3

+

2

xk0

<

x10

<

xk

+1

=设0

<

xk

<

3,则<

3

+

6

=

3,由归纳法知：

0

<

xn

<

3.n又xn+1

-

xn

=

3

+

2

xn

-

x=

(3

-

xn

)(1

+

xn)n

n

n

n

3

+

2

x

+

x3

+

2

x

-

x2=3

+

2

xn

+

xn>

0.>xn

.

所以{xn

}单调有界，从而有极限。故xn+13

+2

xn，两边取极限，得由

xn+1

=nfi

¥设

lim

xn

=

a,a

=

3

+

2a,解之得

a

=

3,

a

=

-（1

舍）.解计算例3(1)

limxfi

-81

+

x

-

1(2) lim

arctan

2

x1

-

x

-

3

,xfi

0(4) lim(sin

x

+

1

-

sin

x

).xfi

+¥(1)

分子分母同时有理化，可得极限-2。2

+

3

xx

+

x

+

x

，x

+

1(3)

limxfi

+¥x

,可得极限1。(3)

分子分母同除(2)

arctan

2x

2x,21

+x

-1

1x,得极限4.例42的连续性.

x

-

1,

x

>

1讨论f

(x)=

pxcos

,

x

£

1解将f

(x

)改写成

x

-

1,

x

>

1px1

-

x

,

x

<

-1f

(

x

)

=

cos

2

,

-

1

£

x

£

1由连续的局部性可知f

(x

)在(-¥

,-1)、[-1,1]、(1,+¥

)内连续.当x

=-1时,f

(-1

-

0)

=

2,

f

(-1)

=

0.

f

(-1

-

0)

„

f

(-1)，

故f

(

x

)在x

=

-1间断

.当x

=

1时,

f

(1

+

0)

=

0

=

f

(1),

故f

(

x

)在x

=

1连续

.\f

(x)在(-¥

,-1)

(-1,+¥

)连续.13/29

x2

-

1x

„

0，10,x

=

0，11.求f

(x)=

x(x

-1),的间断点。答：x=1可去；x=0无穷。2.

求f

(x)=tan

xx的间断点。2答：x

=0可去，x

=kp

+p

可去，x

=kp无穷。例52

2证明

令F(x)

=

f

(x

+

1

-

f

(x),则

F

(

x)

˛

C[0,

1

].)1

F

(0)

=

f

( )

-

f

(0),21212若F(0)=0,F

( )

=

f

(1)

-

f

( )

=

f

(0)

-

f

(则可取x=0,1f

(0

+

2)

=

f

(0);若F

(1)

=

0,

则可取

x

=

1

,2

2f

(1

+

1)

=

f

(1);2

2

2若F

(0)

„

0,

F

(1)

„

0,

则

F

(0)

F

(1)

=

-[

f

(1)

-

f

(0)]22

2

2<

0,2由零点定理知,$x

˛

(0,

1

),使F

(x)=0，即f

(x

+1)=f

(x)成立.12综上,

$x

˛

[0,

2]

[0,1],1使

f

(x

+

2)

=

f

(x)

成立.

证毕)，12例62试证:

$x

˛

[0,

1]

,

’

f

(x

+

1

)

=

f

(x).设f

(x)˛

C[0,1]，且f

(0)=f

(1).14/29上连续,且a

<c

<d

<b

,证明:例7.

设必有一点f

(x)在使证:故即由介值定理,即例8.

求的间断点,并判别其类型.