等边三角形综合探究 全国获奖

专题讲座等边三角形综合探究1．(青山区期末)已知△ABC是等边三角形，过点C作CD∥AB，且CD＝AB，连接BD交AC于点O.

(1)如图①，求证：AC垂直平分BD；

(2)点M在BC的延长线上，点N在线段AC上，且ND＝NM，连接BN，DM.

①如图②，点N在线段CO上，求∠NMD的度数；

②如图③，点N在线段AO上，求证：NA＝MC.【解析】(1)证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠CAB＝60°.∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠A＝60°＝∠ACB，又∵CD＝AB＝BC,∴BO＝DO，CO⊥BD,∴AC垂直平分BD.(2)①由(1)知AC垂直平分BD，∴NB＝ND，∠CBD＝∠ABC＝30°.∴∠1＝∠2，∴∠BND＝180°－2∠2.∵ND＝NM，∴NB＝NM，∴∠3＝∠4，∠BNM＝180°－2∠4，∴∠DNM＝360°－(180°－2∠2)－(180°－2∠4)＝2(∠2＋∠4)＝60°，又∵ND＝NM，∴△NMD为等边三角形，∴∠NMD＝60°.②证明：连接AD.由题意知，△ACD是等边三角形，∴∠ADC＝60°，AD＝CD.与①同理可证∠1＝∠2，∠3＝∠NBM,∠BND＝180°－2∠2，∠BNM＝180°－2∠NBM,∴∠MND＝∠BND－∠BNM＝2(∠NBM－∠2)＝60°.∵ND＝NM,∴△MND是等边三角形．∴DN＝DM，∠NDM＝60°，∠ADC＝∠NDM,∴∠NDA＝∠MDC.在△AND与△CMD中，DN＝DM，∠NDA＝∠MDC，AD＝DC，∴△AND≌△CMD(SAS),∴NA＝MC.2．(东湖高新区期末模拟)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，△CDE是等边三角形，点D在边AB上．

(1)如图①，当点E在边BC上时，求证：DE＝EB；

(2)如图②，当点E在△ABC内部时，猜想ED和EB的数量关系，并加以证明；

(3)如图③，当点E在△ABC外部时，EH⊥AB于点H，过点E作GE∥AB，交线段AC的延长线于点G，AG＝5CG，BH＝3.求CG的长．【解析】(1)证明：∵△CDE是等边三角形，∴∠CED＝60°.∴∠EDB＝60°－∠B＝30°，∴∠EDB＝∠B，∴DE＝EB.(2)ED＝EB.证明：取AB的中点O，连接CO，EO.∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∴∠A＝60°，OC＝OA＝OB,∴△ACO为等边三角形，∴CA＝CO.∵△CDE是等边三角形，∴∠ACO＝∠DCE＝60°，∴∠ACD＝∠OCE.在△ACD和△OCE中，CA＝CO，∠ACD＝∠OCE，CD＝CE,∴△ACD≌△OCE(SAS),∴∠COE＝∠A＝60°，∴∠BOE＝60°.在△COE和△BOE中，OC＝OB，∠COE＝∠BOE，OE＝OE,∴△COE≌△BOE(SAS),∴EC＝EB,∴ED＝EB.(3)取AB的中点O，连接CO，EO，EB，由(2)得△ACD≌△OCE,∴∠COE＝∠A＝60°，∴∠BOE＝60°.易证△COE≌△BOE(SAS),∴EC＝EB,∴ED＝EB.∵EH⊥AB,∴DH＝BH＝3.∵GE∥AB,∴∠G＝180°－∠A＝120°.在△CEG和△DCO中，∠G＝∠COD，∠GEC＝∠OCD(易证)，CE＝CD,∴△CEG≌△DCO(