第十一章-直线课件

在平面直角坐标系中，点用坐标表示，直线如何表示呢？问题引入xyOlP（x，y）为了用代数方法研究直线的有关问题，首先探索确定直线位置的几何要素，然后在坐标系中用代数方法把这些几何要素表示出来．问题7/21/20231对于平面直角坐标系内的一条直线l，它的位置由哪些条件确定？问题引入问题xyOl7/21/20232

我们知道，两点确定一条直线．一点能确定一条直线的位置吗？已知直线l经过点P，直线l的位置能够确定吗？问题引入问题xyOll’l’’P7/21/20233

过一点P可以作无数条直线l1，l2，l3，…它们都经过点P（组成一个直线束），这些直线区别在哪里呢？问题引入问题xyOll’l’’P7/21/20234

容易看出，它们的倾斜程度不同．怎样描述直线的倾斜程度呢？问题引入问题xyOll’l’’P7/21/20235当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角（angleofinclination）．xyOl当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为.直线的倾斜角的取值范围为：直线的倾斜角7/21/20236零度角锐角

直角

钝角

α

的范围:7/21/20237直线的倾斜程度与倾斜角有什么关系？平面直角坐标系中每一条直线都有确定的倾斜角，倾斜程度不同的直线有不同的倾斜角，度相同的直线其倾斜角相同．倾斜程xyOl

已知直线上的一个点不能确定一条直线的位置；同样已知直线的倾斜角α．也不能确定一条直线的位置．但是，直线上的一个点和这条直线的倾斜角可以唯一确定一条直线．直线的倾斜角7/21/20238

确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：

直线上的一个定点以及它的倾斜角，

二者缺一不可．确定直线的要素xyOlP7/21/20239通常用小写字母k表示，即

一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率（slope）.倾斜角是的直线有斜率吗？倾斜角是的直线的斜率不存在．直线的斜率如果使用“倾斜角”这个概念，那么这里的“坡度（比）”实际就是“倾斜角α的正切”．7/21/202310理解：1、斜率可看成关于倾斜角的函数k=tanα2、直线的斜率可取一切实数3、任何直线都有倾斜角,但是不一定有斜率!所以要注意垂直于x轴和不垂直于x轴两种情况讨论.4、倾斜角侧重于几何直观来刻画直线的方向;而斜率侧重于代数表示来刻画直线的方向.7/21/202311如：倾斜角时，直线的斜率当为锐角时，如：倾斜角为时，由即这条直线的斜率为直线的斜率倾斜角α不是90°的直线都有斜率，并且倾斜角不同，直线的斜率也不同．因此，可以用斜率表示直线的倾斜程度．7/21/202312Oxy7/21/202313Oxy例2、如图，直线的倾斜角=300，直线l2⊥l1，求l1，l2的斜率。7/21/202314例3、已知直线的斜率K的变化范围为（–1，1]，求直线的倾斜角的取值范围7/21/202315已知直线上两点的坐标，如何计算直线的斜率？两点的斜率公式问题给定两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），并且x1≠x2，如何计算直线P1P2的斜率k．7/21/202316当为锐角时，在直角中设直线P1P2的倾斜角为α（α≠90°），当直线P1P2的方向（即从P1指向P2的方向）向上时，过点P1作x轴的平行线，过点P2作y轴的平行线，两线相交于点Q，于是点Q的坐标为（x2，y1）．两点的斜率公式7/21/202317当为钝角时，在直角中两点的斜率公式7/21/2023183、斜率公式公式的特点:(1)与两点的顺序无关;(2)公式表明,直线对于x轴的倾斜度,可以通过直线上任意两点的坐标来表示,而不需要求出直线的倾斜角;(3)当x1=x2时,公式不适用,此时直线与x轴垂直,α=900，K不存在7/21/2023191．已知直线上两点，运用上述公式计算直线斜率时，与两点坐标的顺序有关吗？无关两点的斜率公式思考2．当直线平行于y轴，或与y轴重合时，上述斜率公式还适用吗？为什么？不适用7/21/202320当直线与轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？经过两点的直线的斜率公式为：两点的斜率公式思考成立7/21/202321例1如图，已知，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．解：直线AB的斜率直线BC的斜率直线CA的斜率由及知，直线AB与CA的倾斜角均为锐角；由知，直线BC的倾斜角为钝角．典型例题7/21/202322例2在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，-1，2及-3的直线及．即解：取上某一点为的坐标是，根据斜率公式有:设，则，于是的坐标是．过原点及的直线即为．xy是过原点及的直线，是过原点及的直线，是过原点及的直线．典型例题7/21/202323两点间斜率公式知识小结倾斜角斜率7/21/2023242.直线的方程大连市第十一中学数学组7/21/202325O而满足方程(2)，因此，点P1不在方程(1)表示的图形上而在方程(2)表示的图形上，方程(1)不能称作直线的方程．显然,点P1的坐标不满足方程(1)7/21/202326O特征:7/21/202327特殊情况:OO7/21/202328例1解:代入点斜式,得7/21/202329练习解:7/21/202330解:由直线的点斜式,得斜---斜率截---y轴上的截距7/21/202331例2解:为所求7/21/202332练习解:解:7/21/202333三.直线的两点式解:代入点斜式,得7/21/202334练习7/21/202335四.直线的截距式方程解:7/21/202336例3解:7/21/202337例3解:另解:7/21/202338五.直线方程的一般式

证明:7/21/202339叫做直线方程的一般式(A,B不同时为0)

解:7/21/202340例5:解:7/21/202341小结

1.点斜式方程:2.斜截式方程:3.两点式方程:4.截距式方程:5.一般式方程:7/21/2023423.两条直线的位置关系7/21/202343一．两条直线相交和平行与重合条件1．已知两条直线的方程为l1：A1x+B1y+C1=0与l2：A2x+B2y+C2=0，它们相交的条件是A1B2－A2B1≠0；l1与l2平行的条件是A1B2－A2B1=0且C1B2－C2B1≠0；或.或7/21/202344l1与l2重合的条件是A1=λA2，B1=λB2，C1=λC2，或.2．判定两直线相交、平行、重合的步骤:已知两条直线的方程为l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，则判断l1、l2是否平行相交与重合的步骤如下：（1）给A1、A2、B1，B2、C1、C2赋值;7/21/202345（2）计算D1=A1B2－A2B1，D2=B1C2－B2C1；（3）若D1≠0，则l1与l2相交；（4）若D1=0，D2≠0，则l1与l2平行；（5）若D1=0，D2=0，则l1与l2重合.7/21/202346例1．求通过下列各点且与已知直线平行的直线方程：（1）(－1，2)，y=x+1；（2）(1，－4),2x+3y+5=0.答案：（1）x－2y+5=0.（2）2x+3y+10=0.7/21/202347二．两条直线垂直的条件已知两条直线l1：A1x+B1y+C1=0与直线l2：A2x+B2y+C2=0，由于直线l1与直线A1x+B1y=0平行或重合，直线l2与直线A2x+B2y=0平行或重合，因此我们研究l1与l2垂直的条件时，可以转化为研究直线l1’：A1x+B1y=0与直线l2’：A2x+B2y=0垂直的条件。7/21/202348当l1⊥l2时，通过坐标原点作直线l1’//l1，l2’//l2，则l1’⊥l2’，在直线l1’，l2’上分别取两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，(都不是原点).由勾股定理得化简得x1x2+y1y2=0.7/21/202349由假定可知B1≠0，B2≠0，因此y1=y2=，代入上式得因为A，B都不在y轴上，所以x1x2≠0，因此即A1A2+B1B2=0.由于上面推导的每一步都是可逆的，因此可以证明两条直线l1’，l1垂直，从而也就证明了l1与l2垂直。7/21/202350假定l1，l2中有一条直线与坐标轴平行或重合，当l1⊥l2时，可以推出l1，l2中的另一条也与坐标轴平行或重合，因此同样有A1A2+B1B2=0.反过来，由条件A1A2+B1B2=0也可以推出l1⊥l2。7/21/202351例2．判断下列各组中的两条直线是否垂直（1）2x－4y－7=0与2x+y－5=0；（2）y=3x+1与y=－x+5；（3）2x=7与3y－5=0.解：（1）因为A1=2，B1=－4，A2=2，B2=1，得A1A2+B1B2=0.所以这两条直线垂直。7/21/202352（2）y=3x+1与y=－x+5；解：（2）由k1=3，k2=－，得k1k2=－1,所以两条直线垂直。（3）2x=7与3y－5=0.解：（3）因为A1=2，B1=0，A2=0，B2=3，得A1A2+B1B2=0.所以两条直线垂直.7/21/202353例3．求证：直线Ax+By+C1=0与直线Bx－Ay+C2=0垂直。证明：因为AB+B×(－A)=0，所以这两条直线垂直。一般地，我们可以把与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程表示为Bx－Ay+D=0.7/21/202354例4．求通过下列各点且与已知直线垂直的直线方程。（1）(－1，3)，y=2x－3；（2）(1，2)，2x+y－10=0.解：（1）设所求的直线方程为y=－x+b

因为直线过点(－1，3)，代入方程，得b=即x+2y－5=0.所以所求的直线方程为y=－x+，7/21/202355（2）(1，2)，2x+y－10=0.解：（2）设所求的直线方程为

x－2y+C=0，因为直线过点(1，2)，代入方程，解得C=3，所以所求的直线方程为x－2y+3=0.7/21/202356练习题：1．如果直线ax+2y+2=0与直线3x－y－2=0平行，那么系数a的值为（）（A）－（B）－6（C）－3（D）B7/21/2023572．若直线(2a+5)x+(a－2)y+4=0与直线(2－a)x+(a+3)y－1=0互相垂直，则（）（A）a=2（B）a=－2（C）a=2或a=－2（D）a=2，0，－2C7/21/2023583．如果直线ax+y－4=0与直线x－y－2=0相交于第一象限，则实数a的取值范围是（）（A）－1<a<2（B）a>－1（C）a<2（D）a<－2或a>2A7/21/2023594．直线Ax+4y－1=0与直线3x－y－C=0重合的条