6.2.1向量的加法运算教学设计-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

人教版必修二6.2.1向量的加法运算教学设计一、单元教学内容和内容解析本单元的教学内容是平面向量的加法运算、减法运算和数乘运算，平面向量的数量积，平面向量投影和投影向量.具体要研究的是每一种运算的运算规则、几何意义及运算律，会利用向量运算判断两个向量的平行与垂直、求两个向量的夹角.向量既是代数研究对象又是几何研究对象，所以向量的运算从代数、几何两个角度进行研究，其研究路径是“背景——定义——法则——性质——应用“每一种向量的运算都有明确的物理背景.高中阶段学习的向量运算分为线性运算和非线性运算，线性运算是封闭的，结果是向量；非线性运算是不封闭的，向量的数量积运算结果是数量.线性运算中向量的加法运算是基础，向量的减法运算是加法运算的逆运算，向量的数乘运算实质是研究共线向量的加法运算；向量的数量积运算结果是实数，刻画了向量的夹角和长度，是判断两个向量位置关系的重要工具，在解决平面几何问题中具有重要作用.首先，平面向量运算的研究内容、研究过程和研究方法完全类比数的运算研究，用到了类比的方法；其次，向量集数形于一身，向量的运算都是从代数和几何两个角度进行研究，蕴含着数形结合的思想方法；第三，根据学生的认知基础和特点，向量的运算都是从特例入手，然后推广到一般情况，遵循了从特殊到一般的思想方法.本单元的内容蕴含了数形结合、类比、归纳、抽象等数学思想方法，是培养学生数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等数学学科核心素养的极好载体。在学习本章知识之前，学生已经学习了关于数、式、集合、函数等对象的运算，本单元是将运算对象进一步扩展到向量，建立向量运算体系，向量的运算是用向量方法解决几何问题、物理问题的基础；在选择性必修课程中，空间向量的运算体系是完全类比平面向量的运算体系建立的，因此，平面向量的运算是向量的核心内容.向量是学生学习的一种不同于实数的运算对象，所以向量运算的学习可以拓展学生对运算对象的理解，形成对运算的新认识；通过探究向量运算的法则、性质及其几何意义，可以培养学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力；向量运算中的物理背景及蕴含的数形结合思想，能够帮助学生树立联系的观点，促进对数学整体性的理解，因此，本单元的学习对提升学生的数学运算、逻辑推理、直观想象等素养具有重要的作用.二、单元教学目标和目标解析以及重难点1.单元教学目标(1)借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加、减运算及运算规则，并理解其几何意义.(2)借助实例，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义，理解两个平面向量共线的含义.(3)了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.(4)通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积.(5)通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.(6)会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.2.目标解析达成上述目标的标志是：(1)能借助物理中位移、力的合成和向量的几何表示，作图表示向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能说明两个法则的一致性；能借助向量加法的几何意义，通过类比数的加法运算律，提出向量加法的运算律，并作图证明；能类比数的减法和向量的加法，作图并说出向量减法的运算规则及几何意义；能作图表示两个向量的和或差.(2)能按照向量加、减法的研究路径，类比数的乘法，通过作图分析3a与-3a这样的向量，定义平面向量数乘运算及运算规则，说明其几何意义；能类比数的乘法提出并作图证明向量数乘运算的运算律；能从研究向量数乘运算的结果人手，从向量共线的概念出发，提出并解释两个向量共线的充要条件.(3)能按照研究向量运算的一般路径，以物理中的功为背景，提出并解释平面向量数量积的概念，会计算平面向量的数量积；能类比平面向量的线性运算提出并作图证明数量积运算的性质；会用数量积判断两个平面向量的垂直关系，解决向量的模、夹角等问题.(4)能作图说明向量a向向量b的投影变换，并结合图形直观解释向量a在向量b方向上的投影向量，得出向量a在向量b方向上的投影向量的表达式.(5)能通过向量运算的研究过程，体会研究向量运算的路径，即“背景——概念——运算法则——运算性质—应用”，提升逻辑推理、直观想象和数学运算等素养。3.教学重点及难点重点：向量的运算、运算性质及其几何意义，向量投影的概念以及投影向量的意义，利用向量运算判断两个向量的位置关系.难点：向量运算定义的建构，运算性质的发现与证明，投影向量表达式的推导.三.单元教学问题诊断分析1.问题诊断从向量运算研究的路径看，学生有了数的运算的研究经验，对数的运算路径有一定的认识，但理解不够深入，从物理背景引出数学内容的经验更是相对欠缺，导致从具体的物理实例引出向量运算，学生会存在一定困难，所以教师要加强一般观念的引领，如研究向量运算的一般路径是“背景——定义——法则——性质——应用“、运算性质从哪些方面想等，从而获得研究问题的方法.从向量运算研究的内容看，向量既有大小，也有方向，对于方向如何参与运算，学生没有直接的经验.学生能类比数的运算，从形式上提出向量的相关运算问题，但对用图形语言表示向量加法、两个向量的数量积是实数等，还是会出现理解上的困惑.因此，教学中一方面要引导学生加强对向量运算的物理背景的观察，注重向量运算法则和几何意义、运算性质的形成过程；另一方面要加强对定义的辨析训练，分析向量运算和数的运算的异同.尽管平面几何中学过线段向投影面的正投影，但向量的投影变换需要考虑投影向量与其所在直线的方向，要在分类讨论的基础上进行抽象，这个过程需要较强的几何直观和归纳抽象能力，对数学抽象、逻辑推理的要求也较高，所以向量的投影和投影向量是本单元的另一个难点.教学时应根据投影变换的定义，在“如何确定投影向量的大小和方向”“影响投影向量大小和方向的因素有哪些”“如何根据这些影响因素对投影向量进行分类”等问题上加强引导.四、本节内容及内容解析本节教学内容为向量的加法及其几何意义，向量加法的运算律及其几何意义，向量的三角不等式，向量加法的应用。平面向量的加法运算是平面向量的线性运算的第一课时。学生之前已经学习了向量的概念和表示方法等有关内容，知道了向量区别实数的最大特征，是向量不仅有大小还有方向。向量是近代数学中重要的数学概念，它是沟通代数、几何、三角的一种工具，其工具性主要体现在运算方面，如果没有运算，向量只是一个“路标”，因为有了运算，向量才能显示其巨大的威力。通过类比实数的运算及以位移的合成、力的合力两个物理模型的数学抽象为背景引人向量加法运算。向量加法运算是学习向量减法、数乘和数量积等数学运算的基础，因此向量加法运算起着承上启下的作用。向量加法的运算律是通过画图验证得到的，这种利用画图来证明等式成立的方法是学生思维上的一种突破。通过利用与实数进行类比的研究方法，培养了学生的逻辑推理能力。本节课的教学重点：向量加法运算的定义及其几何意义、向量加法的三角形法则与平行四边形法则；培育学生数学抽象、逻辑推理、数学建模和直观想象等核心素养，同时欣赏平面向量加法的和谐美与结构美。五、本节教学目标及教学重难点1.理解向量的加法定义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和向量；掌握向量加法的运算律，并会用它们进行向量计算。2.经历向量加法概念、法则的建构过程，通过观察、类比、归纳等步骤在动手探究、合作交流中自主学习，体会数形结合、分类讨论等数学思想方法。3.通过运用数形结合的思想方法让学生体会数学图形结构之美;培育学生数学抽象、逻辑推理、数学建模和直观想象等核心素养。4.本节重点：向量加法的运算法则和运算律；难点：对向量加法运算法则的理解．六、本节教学问题诊断分析1．教学问题一：向量与学生在物理中学习的矢量非常类似，物理中许多有关矢量的合成、分解、力做的功等实例可以作为向量有关运算的模型，但这个从物理背景引出向量运算的过程对学生来说仍然存在困难．特别是向量既有大小，也有方向，在向量的线性运算中，对于方向如何参与运算，学生没有直接的经验．解决方案：在类比中抽象出共性，通过图形体现其相同点.2．教学问题二：向量的运算性质的探究过程是类比实数的运算性质、类比数的运算，学生能够想到向量的线性运算可能会有一些类似的运算性质，虽然名称相同，但运算的原理、方法、运算规律都有较大的区别，学生很容易带着实数运算的思维定势来理解平面向量运算，导致学生对向量的运算偏于形式化记忆，对于平面向量的线性运算概念、算理的理解不深刻．解决方案：紧扣向量概念中的两个要素，大小和方向来研究向量的加法．3．教学问题三：向量的加法的定义是用作图语言来刻画的，对直接通过作图定义向量运算的这种处理方法，学生是第一次接触，在理解上会有一定的困难．解决方案：通过数和形两个角度进行刻画，类比物理中位移、力的合成等辅助理解．七、本节教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示.为了让学生通过观察、类比从物理、几何、代数三个角度理解平面向量的运算，引导学生类比数的运算研究向量的运算.通过直观形象→具体→抽象→再具体的反复过程，正向思考与逆向思考相结合，使学生逐步理解概念，克服思维的负迁移.在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，让学生体会用联系的观点、类比的方法研究向量，通过类比“数及其运算”而获得研究的内容与方法的启发,再一次体会研究一类新的数学问题的基本思路.因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试.八、本节教学过程设计1.创设情境提出问题情景1：在PPT封面上展示小船过河动态图.教师：展示PPT，引起学生兴趣。情景2：回顾旧知，让学生回忆前一节学了向量的哪些概念.教师：上课，同学们好.前面学习平面向量的基本概念，有人说，没有运算的向量只是一个路标，有了运算，向量才力量无限.学生：上一节课学了平面向量的概念，以及向量的模，两个特殊向量零向量和单位向量，还有共线向量和相等向量。情景3：类比数的加法运算来研究向量的加法运算.教师：这节课我们将类比实数运算的研究路径来研究向量的运算，本节将学习向量的加法运算.设计意图：创设情境，激发学生学习兴趣，引导学生思考。“数学是充满联系的，不要教孤立的片段，应该教联系的材料”。数的研究程序：概念、运算、运算律、应用举例。与研究数的结构类比，数有加减乘除；式也有加减乘除；函数也有加减乘除，平面向量呢？结构是什么？首先要定义加法，它是一切运算的基础，让一切都顺理成章，从而使学生体会平面向量的结构之美。2.探寻规律形成概念[问题1]物理中有没有与向量加法相关的背景？教师：提出问题1．学生：位移、力是向量，它们可以合成．我们可以从位移的合成、力的合成中得到启发．追问1：小华同学从北大门口的A点出发，经过北大图书馆B点,到达北大食堂C点，小明同学从北大门口的A点出发，直接到北大食堂C点，这两位同学的位移相同吗？图1学生：学生思考。位移等于与的和.去掉物理背景，对于任意两非零向量，，做，，则向量叫做与的和，即+=.教师：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.请问三角形法则求和的关键是什么？我们总结为：首尾相连，首尾连.我们马上练一练设计意图：让学生发现向量的加法运算与数的加法运算的区别，建构向量加法的三角形法则。利用位移合成创设的情境，把各种可能的情况整合明在同一背景下，使法则的建构具有完备性，从而培养学生思维的严谨性和深刻性。练习：求下列向量的和向量学生：思考并完成练习，再作图验证。教师：可以将三角形法则进行推广至多边形，向量加法的多边形法则：首尾相连，首尾连。设计意图：巩固并推广三角形法则.追问2：在光滑的平面上，物体同时受到两个外力,的作用，如何作出这个物体所受的合力F呢？教师：在光滑的平面上，小车同时受到两个外力,的作用，如何作出这个物体所受的合力F呢？学生：对了，我们以为邻边作平行四边形OACB，合力就是对角线.从运算的角度看，F可以看作的和，即力的合成可以看作向量的加法.教师：由此启发我们，如图，对于共起点的非零向量，，，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则+=,我们把这种求向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.设计意图：问题引入,提出问题，启发学生从力的合成的例子出发结合图形思考问题，从中发现向量加法的运算平行四边形法则.教师：接下来，我们总结一下三角形法则，平行四边形法则，以及他们的区别与联系。规定：设计意图：概念同化是利用学习者认知结构中原有的概念，以定义的方式直接给学习者提示概念的关键特征，从而使学习者获得概念的方式。在物理学科中，位移的合成及速度、力的合成都是向量加法的物理模型，在矢量的合成中学生对三角形法则与平行四边形法则都了然于心。在数学学科中为什么还要学习向量加法呢？相比矢量，向量更具有一般性和普适性，向量的起点是随意的，只要方向和长度确定，可以自由平行移动，向量加法教学需在原有矢量合成概念的同化中寻找差异和对知识的迁移。3.自主探究合作交流任务1：同学们尝试作例题1例1：如图，已知向量，不共线时，求作，并让学生展示。学生：展示。总结：对于非零，，用三角形法则和平行四边形法则都可以作出和向量.教师：如果，，中存在零向量呢？变式：当，是共线向量时，又如何作出？设计意图：考查学生对平面向量加法法则、几何意义及与数的加法的不同的掌握情况及将实际问题抽象为向量加法的情况．借助特例，研究向量加法与实数加法的联系与区别，这样，更容易与数的加法进行类比，加强数形结合意识的培养．通过该问题的探讨，进一步帮助学生理解向量加法的定义和两个加法法则，明确两个法则在本质上是一致的.[问题2]你们能发现，的模，的模之间的关系吗？学生：学生展示教师：后两种情况可以总结为，同学们再看这个图形，结合三角形两边之和对于第三边，两边之差小于第三边又可以得到什么？，这个不等式叫做向量的三角不等式.[问题3]定义了运算，就要研究它有什么运算律.类比实数加法的交换律和结合律，你能猜想出向量加法的运算律吗？追问：你能验证吗？学生：作图验证，并证明练习：化简学生：完成练习设计意图：明确研究向量加法运算律的途径，并通过寻找结论成立的依据，使学生获得研究运算律的经验，提升逻辑推理素养.4.数学建模学以致用例3：长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输。如图6.2-8，一艘船从长江A地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为15km/h,同时江水的速度为向东6km/h.（1）用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；（2）求船实际航行速度的大小与方向（用与江水速度间的夹角表示）学生：思考并回答思路。教师：规范解答解：（1）解：（