人教版九年级上册2一元二次方程的根与系数的关系

21.2.4一元二次方程的根与系数的关系学习目标1.探索一元二次方程的根与系数的关系.

2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.1.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式是什么？【想一想】方程的两根x1和x2与系数a、b、c还有其他关系吗？2.如何用判别式b2－4ac来判断一元二次方程根的情况？对一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0)b2－4ac>0时,方程有两个不相等的实数根.b2－4ac=0时,方程有两个相等的实数根.b2－4ac<0时,方程无实数根.回顾旧知填表，观察、猜想

方程x1,x2

x1+x2

x1x2

x2－2x＋1=0

x2＋3x－10=0x2＋5x

＋4=0【思考】你发现什么规律？探究新知1,12,－5－1,－42－3－51－104

规律：上述一元二次方程的二次项系数是1，两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。知识点一一元二次方程的根与系数的关系(x－1)2=0(x－2)(x＋5)=0(x＋1)(x＋4)=0

从因式分解法可知，方程（x－x1)(x－x2)=0(x1,x2为已知数）的两根为x1和x2，将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1,x2与p,q之间的关系吗？(x－x1)(x－x2)=0.x2－(x1+x2)x+x1x2=0，x2+px+q=0，x1+x2=－p,x1

x2=q.【思考】

如果关于x的方程x2＋px＋q＝0的两根是x1和x2，则：如果方程二次项系数不为1呢?x1+x2=－p，x1x2=q【结论】探究新知

一般地，对于关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，根据求根公式知，方程的两根为_________-2b_________探究新知一元二次方程的根与系数的关系：如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1,x2,那么x1+x2=,x1x2=（韦达定理）【提示】能用根与系数的关系的前提条件为b2－4ac≥0常数项一次项系数二次项系数注意系数符号。【结论】即：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比。探究新知知识点二一元二次方程的根与系数的关系应用例1根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两根x1，x2的和与积.（1）x2－6x－15＝0；（2）3x2＋7x－9＝0；（3）5x－1＝4x2.

∴x1+x2=,

＝6,＝-15.＝-3.解:（1）a=1，b=－6，c=－15，∴x1+x2＝

∴x1+x2＝，（2）a=3，b=7，c=－9，

(3)方程化为4x2－5x＋1=0，a=4，b=－5，c=1,素养考点1新知应用x1x2=

x1x2=x1x2＝练练一1、不解方程，求下列方程两根x1，x2的和与积.(1)x2－3x＝15(2)3x2+1＝2－4x

解:(1)方程化为x2－3x－15=0(2)方程化为3x2+4x－1=0

a=1,b=－3,c=－15.

∴x1+x2=＝3,－15

∴x1+x2=，

a=3,b=4,c=－1.－新知应用

x1x2=.

x1x2=例2

若x1，x2是方程2x2+3x－1=0的两根，求下列各式的值：(1)x12＋x22;(2).解：根据根与系数的关系可知：

利用根与系数的关系求两根的平方和、倒数和素养考点2新知应用（1）x1+x2=

,(2)x1x2=

,(3)

,(4)(x1－3)

(x2－3)＝

.4112－22.设x1,x2为方程x2－4x+1=0的两个根，则:练练一解:

a=1,b=－4,c=1.

∴x1+x2=＝，x1x2=＝。41(3)(x1－x2)2＝x12－2x1x2＋x22＝x12＋2x1x2＋x22－4x1x2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝42－4×1＝12(4)(x1－3)

(x2－3)＝＝x1x2－3(x1＋x2)＋9＝1－3×4＋9＝－2新知应用x1x2－3x1－3x2＋9

求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.【归纳】要熟练掌握以下变形4.(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x26.(x1＋a)

(x2＋a)＝x1x2＋a(x1＋x2)＋a27.x12x2＋x1x22＝x1x2(x1＋x2)例3已知方程5x2＋kx－6＝0的一个根为2，求它的另一个根及k的值。∴k=-7利用根与系数的关系求字母的值或取值范围素养考点3解：设方程的另一个根是x1，那么∴x1=

∵x1+2=答：方程的另一个根是

，k=－7.新知应用3.已知方程x2－(k+1)x+3k=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值.解：设方程的另一个根为x1.把x=2代入方程，得4－2(k+1)+3k=0解这方程，得k=－2由根与系数关系，得2x1＝3k

即2x1

＝－6∴x1

＝－3答：方程的另一个根是－3,k的值是－2.练练一新知应用例4

设x1，x2是方程x2－2(k－1)x+k2=0的两个实数根，且x12+x22=4，求k的值.解：由方程有两个实数根，得Δ

≥0，

∴－8k+4≥0.

由根与系数的关系得x1+x2=2(k－1),x1x2=k2.∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k－1)2－2k2=2k2－8k+4.由x12+x22=4，得2k2－8k+4=4,

解得

k1=0,k2=4.根与系数关系的综合题目素养考点4新知应用∴

k=0而Δ=b2－4ac＝4(k－1)2-4k2＝－8k+4

知识点二以两数x1,x2为根的一元二次方程如果方程x2＋px＋q＝0的两根是x1，x2，那么x1＋x2＝

，x1x2＝

．可得：p＝

，q＝

，∴方程x2＋px＋q＝0，即x2－(

)x＋x1x2＝0．这就是说，以两个数x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是

x2－(x1＋x2)x＋x1x2=0．－pq－(x1＋x2)x1x2x1＋x2继续探究练练一1、以3和—2为根的一元二次方程是________________________

2、关于x的方程x2+px+q=0的两根为x1=2，x2=1,则p=______，q=______.x2－x－6＝0-