中考专题复习全等三角形(含答案)

中考专题复习全等三角形(含答案)

中考专题复习：全等三角形知识点总结：一、全等图形和全等三角形1.全等图形：两个图形完全相等即为全等图形。2.全等图形的性质：全等多边形的对应边和对应角分别相等。3.全等三角形：对应边和对应角分别相等的三角形为全等三角形。全等三角形的对应元素包括高、中线和平分线，周长和面积也相等。注意：（1）周长相等的三角形不一定全等；（2）面积相等的三角形也不一定全等。二、全等三角形的判定1.一般三角形全等的判定：（1）边边边（BBB）或边角边（BAC）：三边或两边和夹角分别相等的两个三角形全等。（2）角边角（AAS）或角角边（ASA）：两个角和它们的夹边或有两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等。2.直角三角形全等的判定：利用一般三角形全等的判定证明直角三角形全等。斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。注意：两边一对角（SSA）和三角（AAA）对应相等的两个三角形不一定全等。3.全等三角形的性质：全等三角形的对应元素包括对应角、对应边上的高、中线和平分线，面积和周长也相等。三、角平分线的性质及判定性质定理：角平分线上的点到该角两边的距离相等。判定定理：到角的两边距离相等的点在该角的角平分线上。四、证明两三角形全等或利用它证明线段或角相等的基本方法步骤：1.确定已知条件，包括隐含条件。2.回顾三角形判定公理，搞清还需要什么。3.正确地书写证明格式，顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题。综合复习：例1.如图，A、F、E、B四点共线，AC⊥CE，BD⊥DF，AE=BF，AC=BD。求证：△ACF≅△BDE。（删除明显有问题的段落）由题意可知，AC=BD，AE=BF，因此△ACE≅△BDF（边角边）。又因为AC⊥CE，BD⊥DF，所以∠ACE=∠BDF=90°。因此，△ACF和△BDE的两个对应角分别为∠ACF和∠BDE，由于∠ACE=∠BDF，所以它们的第三个对应角分别为∠CAF和∠EBD。因此，△ACF≅△BDE（角边角）。1.在三角形ABC中，BE是角ABC的平分线，AD垂直于BE，垂足为D。证明：角2等于角1加角C。2.在三角形ABC中，AB等于BC，且角ABC等于90度。点F在AB的延长线上，点E在BC上，且BE等于BF。连接AE、EF和CF。证明：AE等于CF。3.在四边形ABCD中，AB平行于CD，AD平行于BC。证明：AB等于CD。4.在三角形ABC中，AP和CP分别是角MAC和角NCA的外角平分线，它们交于点P。证明：BP是角MBN的平分线。5.在三角形ABD中，D是边BC上的点，且CD等于AB，角ADB等于角BAD。AE是线段BD的中线。证明：AC等于2AE。6.在三角形ABC中，AB大于AC，角1等于角2，P为线段AD上的任意一点。证明：AB减去AC大于PB减去PC。7.选择题：1.A。两个直角三角形全等，必须有一个锐角对应相等，而不是两个直角边对应相等。2.A。已知三边能唯一确定一个三角形，而且其他条件都不足以唯一确定三角形。3.C。根据相等的角和相等的边可以确定全等三角形。4.D。根据相等的角和相等的边可以确定全等三角形，而且根据角度和边的关系可以推出选项D不正确。5.A。根据等腰直角三角形的性质，可以推出角D等于67度。6.点D到AB的距离等于4cm。7.角BCF等于70度。8.角CBD的大小为45度。9.AD平分角BAC，证明：角BAD等于角DAC。例1.思路分析：根据题目条件，可以得到AE=BF、AC=BD和CF=DE。由于题目要求证明两个三角形全等，因此需要找到它们的全等条件。根据三角形全等的性质，可以知道两个三角形全等需要满足SSS、SAS、ASA、AAS或HL五个条件中的一个。因此，需要找到两个三角形中的三个对应的元素相等，才能使用其中一个全等条件来证明它们全等。在本题中，可以利用AE=BF、AC=BD和CF=DE这三个条件来得到三个对应的元素相等，因此可以使用SAS全等条件来证明两个三角形全等。解答过程：首先，根据条件AC⊥CE和BD⊥DF，可以得到∠ACE=∠BDF=90°。由于AE=BF，AC=BD和CF=DE，因此可以得到△ACE≅△BDF（HL条件）。因此，可以得到∠A=∠B。接下来，可以利用AE=BF和AC=BD这两个条件，来得到AF=BE。由于AE=AF+EF和BF=BE+EF，因此可以得到AF-BE=AE-BF=0，即AF=BE。因此，可以得到△ACF≅△BDE（SAS条件）。因此，可以得到EF=CF-CE=DE-AC=10-10=0。综上所述，可以得到△ACF≅△BDE，因此可以得到∠A=∠B和EF=0。解题后的思考：本题的解题思路是从题目条件入手，找到两个三角形中的三个对应的元素相等，然后使用SAS全等条件来证明它们全等。这种解题思路可以应用于其他三角形全等的题目中，尤其是当题目中给出的条件较多时，可以先找到两个三角形中的三个对应的元素相等，然后再使用全等条件来证明它们全等。小结：本题告诉我们如何利用三角形全等的条件来解决问题，以及如何从题目条件入手，找到两个三角形中的三个对应的元素相等。同时，本题也告诉我们如何在解题过程中思考，如何找到解题的思路。例2.思路分析：本题要求证明∠2=∠1+∠C，但直接证明比较困难。因此，可以通过构造一个新的三角形来简化证明过程。具体地，可以将AD延长交BC于F，然后构造△FBD，并证明△ABD≅△FBD，从而得到∠2=∠DFB。然后，再利用三角形内角和定理，得到∠1+∠C=∠DFB，从而证明∠2=∠1+∠C。解答过程：首先，延长AD交BC于F，然后构造△FBD。由于AC=BC，因此可以得到△ABC为等边三角形。由于BM=CN，因此可以得到△ABM≅△ACN（SAS条件）。因此，可以得到∠1=∠C。接下来，可以利用△ABD≅△FBD来证明∠2=∠DFB。由于BD=BD和∠ADB=∠FDB=90°，因此可以得到△ABD≅△FBD（ASA条件）。因此，可以得到∠2=∠DFB。最后，利用三角形内角和定理，可以得到∠1+∠C=∠DFB。因此，可以得到∠2=∠1+∠C。综上所述，可以得到∠2=∠1+∠C。解题后的思考：本题的解题思路是通过构造一个新的三角形来简化证明过程。这种解题思路可以应用于其他证明题目中，尤其是当直接证明比较困难时，可以通过构造一个新的三角形或者引入一个新的概念来简化证明过程。小结：本题告诉我们如何通过构造一个新的三角形来简化证明过程，以及如何利用三角形全等的条件来解决问题。同时，本题也告诉我们如何在解题过程中思考，如何找到解题的思路。由于三角形是轴对称图形，我们可以利用翻折来构造或发现全等三角形，以证明线段或角相等。在例3中，我们以线段AE为边的三角形ABE绕点B顺时针旋转90度到三角形CBF的位置，而线段CF正好是三角形CBF的边，故只要证明它们全等即可。利用旋转的观点，不但有利于寻找全等三角形，而且有利于找对应边和对应角。在例4中，连接四边形的对角线是构造全等三角形的常用方法。在例5中，我们过点P向BM,BN作垂线，利用角平分线的性质或判定来解答问题。在例6中，我们可以构造出一条等于2AE的线段EF，然后证明其等于AC，从而证明AC等于2AE。解答过程：延长AB至点M，使BM=BC，连接CM在三角形ABC和三角形BCM中：-AB=BC(given)-BC=BM(construction)-angleABC=angleCMB(verticalangles)Thus,bySAS,triangleABCiscongruenttotriangleBCM.Therefore,angleBAC=angleBCM.SinceangleBCM=60degrees,wehaveangleBAC=60degrees.改写后的解答：我们可以延长AB至点M，使得BM=BC，然后连接CM。在三角形ABC和三角形BCM中，我们可以发现AB=BC（已知），BC=BM（构造），以及角ABC=角CMB（对顶角）。因此，根据SAS准则，我们可以得出三角形ABC和三角形BCM全等。因此，角BAC=角BCM。由于角BCM=60度，我们可以得出角BAC=60度。证明：已知AB=BC，AC=2BD，且∠ABC=90°，