江苏省常州市金坛汤庄中学2022-2023学年高三数学理期末试卷含解析

江苏省常州市金坛汤庄中学2022-2023学年高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于(

) A．m B．m C．m D．m参考答案：B考点：解三角形的实际应用．专题：应用题；解三角形．分析：由题意画出图形，由两角差的正切求出15°的正切值，然后通过求解两个直角三角形得到DC和DB的长度，作差后可得答案．解答： 解：如图，∠DAB=15°，∵tan15°=tan（45°﹣30°）==2﹣．在Rt△ADB中，又AD=60，∴DB=AD?tan15°=60×（2﹣）=120﹣60．在Rt△ADC中，∠DAC=60°，AD=60，∴DC=AD?tan60°=60．∴BC=DC﹣DB=60﹣（120﹣60）=120（﹣1）（m）．∴河流的宽度BC等于120（﹣1）m．故选：B．点评：本题给出实际应用问题，求河流在B、C两地的宽度，着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识，属于中档题．2.已知函数,则的值是（）A． B．

C．

D．参考答案：B略3.不等式成立的充分不必要条件是(A)

(B)

(C)或

(D)或参考答案：A4.在△ABC中，AC=

，BC=2，B=60°，则BC边上的高等于A．

B.

C.

D.参考答案：B设，在△ABC中，由余弦定理知，即，又设BC边上的高等于，由三角形面积公式，知，解得.【点评】本题考查余弦定理、三角形面积公式，考查方程思想、运算能力，是历年常考内容.

5.已知是的一个零点，，则(

)

A.

B.

C.

D.参考答案：C略6.“1gx,1gy,1gz成等差数列”是“y2=x·z”成立的（

）A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：A7.如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，BC=1，BB1=1，P是AB的中点，则异面直线BC1与PD所成角等于（）A．30° B．45° C．60° D．90°参考答案：C【考点】异面直线及其所成的角．【分析】根据题意，取CD的中点Q，连接BQ，C1Q，得出BQ∥PD，∠C1BQ是异面直线BC1与PD所成角，利用等边三角形求出∠C1BQ的值即可．【解答】解：长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，BC=1，BB1=1，取CD的中点Q，连接BQ，C1Q，∵P是AB的中点，∴BQ∥PD，∴∠C1BQ是异面直线BC1与PD所成角，如图所示；△C1BQ中，C1B=BQ=C1Q=，∴∠C1BQ=60°，即异面直线BC1与PD所成角等于60°．故选：C．【点评】本题考查了异面直线所成的角的作法与计算问题，是基础题目．8.已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为（）Ａ．

Ｂ．Ｃ．

Ｄ．参考答案：C9.已知是所在平面内一点，，现将一粒黄豆随机撒在内，则黄豆落在内的概率是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：【知识点】几何概型K3D由得，设BC边中点为D，则,P为AD中点，所以黄豆落在内的概率是，故选D.【思路点拨】：由得P为BC边中线AD的中点，由此可得黄豆落在内的概率.10.函数的图象的对称轴方程可能是（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】先利用y＝cosx的对称轴方程以及整体代入思想求出y＝cos（2x）的所有对称轴方程的表达式，然后看哪个答案符合要求即可．【详解】∵y＝cosx的对称轴方程为x＝kπ，∴函数y＝cos（2x）中，令2xkπ?x，k∈Z即为其对称轴方程．上面四个选项中只有符合．故选：B．【点睛】本题主要考查余弦函数的对称性以及整体代入思想的应用．解决这类问题的关键在于牢记常见函数的性质并加以应用．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.不等式的解集是

．参考答案：{x|0＜x＜1}考点：其他不等式的解法．专题：计算题．分析：将不等式＞1移项后通分，即可求得不等式的解集．解答： 解：∵＞1，∴﹣1=＞0，∴＞0，∴0＜x＜1．∴不等式的解集为{x|0＜x＜1}．故答案为：{x|0＜x＜1}．点评：本题考查不等式的解法，移项后通分是关键，属于基础题．12.已知圆的圆心与抛物线的焦点关于轴对称,又直线与圆相切,则圆的标准方程为

_第11题图

参考答案：13.若函数f（x）=xln（x+）为偶函数，则a=．参考答案：1【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由题意可得，f（﹣x）=f（x），代入根据对数的运算性质即可求解．【解答】解：∵f（x）=xln（x+）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴（﹣x）ln（﹣x+）=xln（x+），∴﹣ln（﹣x+）=ln（x+），∴ln（﹣x+）+ln（x+）=0，∴ln（+x）（﹣x）=0，∴lna=0，∴a=1．故答案为：1．【点评】本题主要考查了偶函数的定义及对数的运算性质的简单应用，属于基础试题．14.椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右顶点为A，P是椭圆C上一点，O为坐标原点．已知∠POA=60°，且OP⊥AP，则椭圆C的离心率为．参考答案：【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】由题意得|OP|=|OA|cos60°=，从而P（），代入椭圆方程得a=，由此能求出离心率．【解答】解：∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右顶点为A，P是椭圆C上一点，O为坐标原点．∠POA=60°，且OP⊥AP，∴由题意得|OP|=|OA|cos60°=，∴由题意得P（），代入椭圆方程得：，∴a2=5b2=5（a2﹣c2），∴a=，∴离心率e=．故答案为：．15.已知函数f（x）=x3+2ax2+1在x=1处的切线的斜率为1，则实数a=，此时函数y=f（x）在[0，1]最小值为．参考答案：，

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求导数，利用函数f（x）=x3+2ax2+1在x=1处的切线的斜率为1，求出a的值，确定函数的单调性，即可求出函数y=f（x）在[0，1]最小值．【解答】解：由f（x）=x3+2ax2+1，得到f′（x）=3x2+4ax，因为函数f（x）=x3+2ax2+1在x=1处的切线的斜率为1，所以f′（1）=1，即3+4a=1，解得a=．f′（x）=3x2﹣2x，x∈（0，），f′（x）＜0，函数单调递减，x∈（，1），f′（x）＞0，函数单调递增，∴函数y=f（x）在[0，1]最小值为f（）=．故答案为，．【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查了导数的几何意义，考查函数的最小值，是个基础题．16.二项式展开式中，有理项系数之和为24，则a的值为

。参考答案：17.________．参考答案：2【分析】先将原式展开，再由得到与之间关系，进而可得出结果.【详解】因为，又，所以，所以.故答案为2【点睛】本题主要考查两角和的正切公式，熟记公式即可，属于基础题型.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）在中，已知角A、B、C所对的边分别为a、b、c，直线与直线互相平行（其中）.（I）求角A的值，（II）若的取值范围.参考答案：

略19.(14分)(1)若任意直线过点,且与函数的图象交于两个不同的点A,B，分别过点A,B作C的切线，两切线交于点M，证明：点M的纵坐标是一个定值，并求出这个定值；(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围；(3)求证：，（其中为无理数，约为）.参考答案：证明：(1)设，由题意知的斜率必存在

设，代入得

,，化简得：

同理：,

解得：

(2)令：

，

令

得：

所以当

，时

在上单调递减；所以当

，时

在上单调递增；

在时取得最小值，

要恒成立，只要即

，解得(3)由(2)得，取有

化简得：

变形得：

即

20.（本小题满分12分）某学校为准备参加市运动会，对本校甲、乙两个田径队中30名跳高运动员进行了测试，并用茎叶图表示出本次测试30人的跳高成绩（单位：cm）．跳高成绩在175cm以上（包括175cm）定义为“合格”，成绩在175cm以下（不包括175cm）定义为“不合格”．鉴于乙队组队晚，跳高成绩相对较弱，为激励乙队队员，学校决定只有乙队中“合格”者才能参加市运动会开幕式旗林队．（Ⅰ）求甲队队员跳高成绩的中位数；（Ⅱ）如果用分层抽样的方法从甲、乙两队所有的运动员中共抽取5分，则5人中“合格”与“不合格”的人数各为多少．（Ⅲ）若从所有“合格”运动员中选取2名，用X表示所选运动员中能参加市运动会开幕式旗林队的认输，试写出X的分布列，并求X的数学期望．参考答案：（Ⅰ）中位数cm.

………..2分（Ⅱ）根据茎叶图，有“合格”12人，“不合格”18人，用分层抽样的方法，每个运动员被抽中的概率是，所以选中的“合格”有人，

………..4分“不合格”有人．

………..6分（Ⅲ）依题意，X的取值为．则，，．因此，X的分布列如下：XP

………..10分．

………..12分备注：一个概率1分，表格1分，共4分

21.已知函数（其中a∈R,且a为常数）.(1)若对于任意的，都有成立，求a的取值范围；(2)在(Ⅰ)的条件下，若方程在x∈(0,2]上有且只有一个实根，求a的取值范围.参考答案：解(1)当时，∵对于恒成立，∴在上单调递增∴，此时命题成立；当时，∵在上单调递减,在上单调递增，∴当时，有.这与题设矛盾.故的取值范围是(2)依题意，设.原题即为若在上有且只有一个零点,求的取值范围.显然函数与的单调性是一致的.①当时,因为函数在区间上递减，上递增，所以在上的最小值为，由于，要使在上有且只有一个零点,需满足或，解得或；②当时，因为函数在上单调递增，0

且，所以此时在上有且只有一个零点；③当时,因为函数在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,又因为，所以