破解难点优质课(二)导数与方程 全市获奖

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破解难点二

破解难点三

教师备用例题第三单元一元函数的导数及其应用破解难点优质课(二)导数与方程破解难点一判断、证明或讨论函数零点个数

两类零点问题的不同处理方法:利用零点存在性定理的条件为函数图像在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)<0.①直接法:判断一个零点时,若函数为单调函数,则只需取值证明f(a)·f(b)<0;②分类讨论法:判断几个零点时,需要先结合单调性,确定分类讨论的标准,再利用零点存在性定理,在每个单调区间内取值证明f(a)·f(b)<0.案例方法与思维……(2)f(x)的定义域为(-1,+∞).(i)当x∈(-1,0]时,由(1)知,f'(x)在(-1,0)单调递增,而f'(0)=0,所以当x∈(-1,0)时,f'(x)<0,故f(x)在(-1,0)单调递减.又f(0)=0,从而x=0是f(x)在(-1,0]的唯一零点.【关键1:对x的取值分类讨论,判断f(x)的单调性】.案例方法与思维（续表）案例方法与思维（续表）案例方法与思维（续表）案例方法与思维（续表）案例方法与思维（续表）案例方法与思维（续表）案例方法与思维（续表）案例方法与思维（续表）案例方法与思维（续表）案例方法与思维（续表）案例方法与思维（续表）

例1[2019·安阳二模]

已知函数f(x)=lnx-x2+ax,a∈R.(1)证明:lnx≤x-1;

(2)若a≥1,讨论函数f(x)的零点个数.

(2)若a≥1,讨论函数f(x)的零点个数.[总结反思]根据参数确定函数的零点个数有两种解决方法:一种是利用单调性与零点存在性定理求解,另一种是化原函数为两个函数,利用两个函数图像的交点来求解.

变式题

函数f(x)=2x2-ax+1+lnx(a∈R).(1)若a=0,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;

(2)若3<a≤4,证明:f(x)在x∈[1,e]时有唯一零点.破解难点二根据零点个数确定参数

已知函数有零点求参数范围常用的方法:(1)分离参数法:一般命题情境为给出区间,求满足函数零点个数的参数范围,通常解法为从f(x)中分离出参数,然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值,根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围;(2)分类讨论法:一般命题情境为没有固定区间,求满足函数零点个数的参数范围,通常解法为结合单调性,先确定参数分类的标准,在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意,将满足题意的参数的各小范围并在一起,即为所求参数范围.案例方法与思维【由导数特点分类讨论】[2018·全国卷Ⅱ]

已知函数f(x)=ex-ax2.(1)若a=1,证明:当x≥0时,f(x)≥1;(2)若f(x)在(0,+∞)只有一个零点,求a.……(2)设函数h(x)=1-ax2e-x.f(x)在(0,+∞)只有一个零点当且仅当h(x)在(0,+∞)只有一个零点.【关键1:构造函数h(x),将f(x)的零点情况转化为h(x)的零点情况】(i)当a≤0时,h(x)>0,h(x)没有零点.【关键2:对参数a分类讨论,结合函数值判断函数零点情况】案例方法与思维【由导数特点分类讨论】[2018·全国卷Ⅱ]

已知函数f(x)=ex-ax2.(1)若a=1,证明:当x≥0时,f(x)≥1;(2)若f(x)在(0,+∞)只有一个零点,求a.（续表）案例方法与思维【由导数特点分类讨论】[2018·全国卷Ⅱ]

已知函数f(x)=ex-ax2.(1)若a=1,证明:当x≥0时,f(x)≥1;(2)若f(x)在(0,+∞)只有一个零点,求a.（续表）案例方法与思维【由导数特点分类讨论】[2018·全国卷Ⅱ]

已知函数f(x)=ex-ax2.(1)若a=1,证明:当x≥0时,f(x)≥1;(2)若f(x)在(0,+∞)只有一个零点,求a.（续表）案例方法与思维【直接分类讨论】[2017·全国卷Ⅰ]

已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.（续表）案例方法与思维【直接分类讨论】[2017·全国卷Ⅰ]

已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.（续表）案例方法与思维【直接分类讨论】[2017·全国卷Ⅰ]

已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.（续表）

例2[2019·宁德期末]

已知函数f(x)=ex(ax+1),曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=bx-e.(1)求a,b的值;[思路点拨]方法一:由g(x)=0,得出m=ex(x-2),将问题转化为直线y=m与函数u(x)=ex(x-2)的图像有两个交点,求出实数m的取值范围.方法二:利用导数得出函数g(x)的极小值为g(1),并利用极限思想分析x趋于正无穷大和负无穷大的情况,从而得出实数m的取值范围.(2)若函数g(x)=f(x)-3ex-m有两个零点,求实数m的取值范围.解:方法一:g(x)=f(x)-3ex-m=ex(x-2)-m,函数g(x)=ex(x-2)-m有两个零点,相当于函数u(x)=ex·(x-2)的图像与直线y=m有两个交点.u'(x)=ex·(x-2)+ex=ex(x-1),当x∈(-∞,1)时,u'(x)<0,∴u(x)在(-∞,1)上单调递减,当x∈(1,+∞)时,u'(x)>0,∴u(x)在(1,+∞)上单调递增,∴当x=1时,u(x)取得极小值u(1)=-e.又当x→+∞时,u(x)→+∞,当x<2时,u(x)<0,∴-e<m<0.(2)若函数g(x)=f(x)-3ex-m有两个零点,求实数m的取值范围.

(2)若函数g(x)=f(x)-3ex-m有两个零点,求实数m的取值范围.[总结反思]根据函数零点个数确定参数取值范围的核心思想是“数形结合”,即通过函数的单调性确定函数图像与x轴的交点个数,或者通过两个相关函数图像的交点个数确定参数满足的条件,进而求得参数的取值范围,解决问题的步骤是“先形后数”.

变式题[2019·衡水二中期中]

已知函数f(x)=x3+ax.(1)讨论f(x)的单调性;

破解难点三可化为函数零点的函数问题(与函数零点性质研究)本探究点包括两个方向:一是与函数零点性质有关的问题(更多涉及构造函数法);二是可以转化为函数零点的函数问题(更多涉及整体转化、数形结合等方法技巧).能够利用等价转换构造函数法求解的问题常涉及参数的最值、曲线交点、零点的大小关系等.求解时一般先通过等价转换,将已知转化为函数零点问题,再构造函数,然后利用导数研究函数的单调性、极值、最值等,并结合分类讨论,通过确定函数的零点达到解决问题的目的.案例方法与思维【可化为函数零点的函数问题】[2019·全国卷Ⅱ]

已知函数f(x)=(x-1)lnx-x-1.证明:(1)f(x)存在唯一的极值点;(2)f(x)=0有且仅有两个实根,且两个实根互为倒数.案例方法与思维【可化为函数零点的函数问题】[2014·全国卷Ⅱ]

已知函数f(x)=x3-3x2+ax+2.曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为-2.(1)求a;(2)证明:当k<1时,曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点.……(2)证明:由(1)知,f(x)=x3-3x2+x+2.设g(x)=f(x)-kx+2=x3-3x2+(1-k)x+4.【关键1:等价转换,构造函数】由题设知1-k>0.当x≤0时,g'(x)=3x2-6x+1-k>0,g(x)单调递增,g(-1)=k-1<0,g(0)=4,（续表）案例方法与思维【可化为函数零点的函数问题】[2014·全国卷Ⅱ]

已知函数f(x)=x3-3x2+ax+2.曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为-2.(1)求a;(2)证明:当k<1时,曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点.所以g(x)=0在(-∞,0]上有唯一实根.【关键2:利用导数判断函数单调性,判断实根情况】当x>0时,令h(x)=x3-3x2+4,则g(x)=h(x)+(1-k)x>h(x).h'(x)=3x2-6x=3x(x-2),h(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,所以g(x)>h(x)≥h(2)=0,所以g(x)=0在(0,+∞)上没有实根.（续表）案例方法与思维【可化为函数零点的函数问题】[2014·全国卷Ⅱ]

已知函数f(x)=x3-3x2+ax+2.曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为-2.(1)求a;(2)证明:当k<1时,曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点.综上,g(x)=0在R上有唯一实根,【关键3:利用导数判断函数单调性,结合零点存在性定理判断实根情况】即曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点.（续表）案例方法与思维【函数零点性质研究】[2016·全国卷Ⅰ]

已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点.(1)求a的取值范围;(2)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明:x1+x2<2.……(2)证明:不妨设x1<x2.由(1)知,x1∈(-∞,1),x2∈(1,+∞),2-x2∈(-∞,1),f(x)在(-∞,1)单调递减,所以x1+x2<2等价于f(x1)>f(2-x2),即f(2-x2)<0.【关键1:利用分析法转化要证明的不等式】（续表）案例方法与思维【函数零点性质研究】[2016·全国卷Ⅰ]

已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点.(1)求a的取值范围;(2)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明:x1+x2<2.（续表）案例方法与思维【函数零点性质研究】[2016·全国卷Ⅰ]

已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点.(1)求a的取值范围;(2)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明:x1+x2<2.所以当x>1时,g'(x)<0,而g(1)=0,故当x>1时,g(x)<0,从而g(x2)=f(2-x2)<0,故x1+x2<2.【关键4:利用导数判断函数单调性、用最值证明不等式】（续表）

[总结反思]曲线的切线条数、两曲线的交点个数、方程根的个数等问题解决的关键是转化为对应函数的零点个数问题,通过数形结合的方式,通过研究函数的零点个数确定相应的数量关系.

变式题

[2019·天津七校期末]

已知函数f(x)=ln(x+a)-x2-x在x=0处取得极值.(1)求函数f(x)的图像在点(1,f(1))处的切线方程;

【备选理由】例1考查导数与函数综合,导数与函数的单调性,函数零点问题,分类讨论思想,熟练运用零点存在性定理是关键;例2主要考查导数在函数中的综合应用,着重考查转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力;例3主要是将方程f(x)=g(x)的根的个数问题转化为函数h(x)=f(x)-g(x)的零点问题.例1[配合例1使用][2019·北京清华大学附属中学一模]

已知函数f(x)=ax2+(a-2)x-lnx.(1)若函数f(x)在x=1处取得极值,求实数a的值;

(2)当0<a<1时,求f(x)零点的个数.

(2)当0<a<1时,求f(x)零点的个数.

(2)当0<a<1时,求f(x)零点的个数.

例2[配合例2使用][2