湖南省衡阳市兰江中学高三数学理知识点试题含解析

湖南省衡阳市兰江中学高三数学理知识点试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设函数是定义在上的以为周期的奇函数，若，，则的取值范围是（

）

参考答案：B2.下面式子中，①=3﹣π；②无理数e是自然对数的底数，可以得logπ1+lne=1；③若a＞b，则a2＞b2；④若a＞b，则（）a＜（）b正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个参考答案：B【考点】不等关系与不等式．【分析】①根据根式的性质进行化简即可；②根据对数的运算性质进行化简即可；③举反例即可判断命题真假；④考查指数函数y=的单调性即可．【解答】解：对于①，∵3＜π，∴=|3﹣π|=π﹣3，命题错误；对于②，∵无理数e是自然对数的底数，∴logπ1+lne=0+1=1，命题正确；对于③，∵0＞a＞b时，a2＜b2，∴命题错误；对于④，y=是R上的减函数，∴a＞b时，（）a＜（）b，命题正确．综上，以上正确的命题有②④两个．故选：B．3.函数的图象大致是参考答案：C4.已知变量满足条件则的最大值是(

)A．2

B．5 C．6 D．8参考答案：C略5.下列函数中是偶函数，并且最小正周期为的（

）A．B．C．D．参考答案：B略6.在△ABC中，“”是“”的（

）A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：B由，不一定得到，如，，充分性不成立；由，一定得，必要性也成立，故选择B。7.在各项均为实数的等比数列中，，则

（

）

A.2

B.

8

C.16

D.32参考答案：B略8.已知、是平面，、是直线，给出下列命题①若，，则．

②如果、n是异面直线，那么不与相交．③若，∥，且，则∥且∥．其中真命题的个数是A、0

B、3

C、2

D、1参考答案：答案：C9.已知函数，连续抛掷两颗骰子得到的点数分别是，则函数在处取得最值的概率是、

、

、

、参考答案：连续抛掷两颗骰子得到的基本事件总数是，同时，是开口向上的抛物线，且有最小值，此时对称轴为，此时有种情况满足条件分别是，所以概率10.已知集合，，则（

）A．(－3,－2)

B．(－∞,1)

C．(－3,1)

D．(－∞,1)∪(2,+∞)参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知过点P（1，0）且倾斜角为60°的直线l与抛物线交于A，B两点，则弦长|AB|=____________.参考答案：略12.如图，圆是的外接圆，过点的切线交的延长线于点，，则的长为

．参考答案：略13.双曲线的离心率为

，渐近线方程为

．参考答案：由题得所以双曲线的离心率为渐近线方程为

14.已知函数，若关于x的方程有且只有四个不相等的实数根，则实数k的取值范围是__ __．参考答案：（，）略15.若双曲线的渐近线方程为，则实数的值为_________.参考答案：答案

：16.如图，已知双曲线的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的一条渐近线交于两点P，Q，若，且，则双曲线C的离心率为

.

参考答案：17.若抛物线上的点P到焦点的距离为8，到x轴的距离为6，则抛物线C的方程是_________.参考答案：【分析】根据抛物线的定义，可得结果.【详解】根据抛物线定义，，解得，故抛物线C的方程是.故答案为：【点睛】本题考查抛物线的定义，一般来讲，抛物线中焦点和准线伴随出现，属基础题.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在等比数列{an}中，a1=1，且a2是a1与a3﹣1的等差中项．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足．求数列{bn}的前n项和．参考答案：【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【专题】方程思想；作差法；等差数列与等比数列．【分析】（1）设等比数列{an}的公比为q，运用等差数列的性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比q，即可得到所求通项公式；（2）化简bn=2n﹣1+（﹣），运用分组求和和裂项相消求和，化简即可得到所求和．【解答】解：（1）设等比数列{an}的公比为q，a2是a1与a3﹣1的等差中项，即有a1+a3﹣1=2a2，即为1+q2﹣1=2q，解得q=2，即有an=a1qn﹣1=2n﹣1；（2）=an+=2n﹣1+（﹣），数列{bn}的前n项和=（1+2+22+…+2n﹣1）+（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）=+1﹣=2n﹣．【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项和求和公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和和裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．19.某公司生产的某批产品的销售量P万件（生产量与销售量相等）与促销费用x万元满足P=（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该产品还需投入成本6（P+）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为（4+）元/件．（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？参考答案：【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）根据产品的利润=销售额﹣产品的成本建立函数关系；（2）利用导数基本不等式可求出该函数的最值，注意等号成立的条件．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，y=（4+）p﹣x﹣6（p+），将p=代入化简得：y=19﹣﹣x（0≤x≤a）；（Ⅱ）y=22﹣（+x+2）≤22﹣3=10，当且仅当=x+2，即x=2时，上式取等号；当a≥2时，促销费用投入2万元时，该公司的利润最大；y=19﹣﹣x，y′=﹣，∴a＜2时，函数在[0，a]上单调递增，∴x=a时，函数有最大值．即促销费用投入a万元时，该公司的利润最大．20.如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥AC，AB=2，AC=4，AA1=3．D是线段BC的中点．（1）求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值；（2）求二面角B1﹣A1D﹣C1的大小的余弦值．参考答案：【考点】MT：二面角的平面角及求法；MI：直线与平面所成的角．【分析】（1）分别以AB、AC、AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值．（2）求出平面B1A1D的法向量和平面B1A1D的法向量，利用向量法能求出二面角B1﹣A1D﹣C1的大小的余弦值．【解答】解：（1）因为在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC所以分别以AB、AC、AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），A1（0，0，3），B1（2，0，3），C1（0，4，3），因为D是BC的中点，所以D（1，2，0），…因为，设平面A1C1D的法向量，则，即，取，所以平面A1C1D的法向量，而，所以，所以直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值为；…（2），，设平面B1A1D的法向量，则，即，取，平面B1A1D的法向量，所以，二面角B1﹣A1D﹣C1的大小的余弦值．…21.（本题满分14分）已知焦点在轴上的椭圆，焦距为，长轴长为.（I）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过点作两条互相垂直的射线，与椭圆交于两点.证明：点到直线的距离为定值，并求出这个定值；

（ii）求.参考答案：【知识点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．H5H8（Ⅰ）;（Ⅱ）

（ⅰ）见解析；（ⅱ）解析：（Ⅰ）

..............（2分）

所以椭圆的标准方程为

................（4分）（Ⅱ）（ⅰ）设,

①当直线AB的斜率不存在时，则为等腰直角三角形，不妨设直线OA：

将代入，解得

所以点O到直线AB的距离为；

..............（6分）

②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为，代入椭圆

联立消去得：

，

..........（7分）因为，所以，即

所以，整理得，

所以点O到直线AB的距离

综上可知点O到直线AB的距离为定值

.......（10分）

（ⅱ）在Rt中，因为又因为≤，所以≥所以≥，当时取等号，即的最小值是…（14分）【思路点拨】（Ⅰ）首先根据条件求出椭圆的方程，（Ⅱ）（1）用分类讨论的方法先设直线的特殊形式，再设一般式，建立直线和椭圆的方程组，再利用韦达定理的应用求出关系量，（2）用三角形的面积相等，则利用点到直线的距离求出定值，最后利用不等式求出最小值．22.已知集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，C＝{x|x<a}．(1