交大上课老师课件

yn=xnynM Mbkz-NHz= N1-akz-

数学上的

Hs)wp；②用一个稳定的因果的离散线性移不变系统)hn )Hz)网络w1

1+1-

p1-d£H(ejw)£1+d,w£ wc:半功率截止频率，w £wc Dw＝ws-wp

apH(eH(ej0)pH(ej0H(ejwpap

ss=H(z)H(z-1)-0p0p于折叠频率p。 =WsT=2pfsT=

fs =fw =2

H(ejw)

ejb(ejw=Re[H(ejw)]+jIm[H(ejw

)=tan

[H

1=[H(ejw)H*(ejw)]2ie-jb(ejw b(e )

2

]

2

=1ln[H(z)2

db(ejw=

)=

db(ejw) db(z) dw=- i

=-jzdb(z)

t(ejw)=-Im{d[lnH(ejw=-Im[d{ln[H(z)]}dz

t(ejw)=-Im[jzd{ln[H(z)]}]=-Re[zd{ln[H(z)]}]

=-Re[zdH(z)

H(z)

ak,bbrk- (1-cz-1rk H(z)k Ar=1 1-az-

(1-dz-1 MbsrM

(1-cs-1) H(s Ar=1 1+a

(1-ds-1) k k Ha(s)«haH(z)«

=1¥Tk=-¥

H(s-j2p

映射Z平面上的IIR根据一定的映射关系把Ha H(z)1〉因果稳定的模拟滤波器数字滤波器仍应是因果2〉数字滤波器的幅频特性模拟滤波器的一致，sh(n)=ha(t)t=nTha(nTp£w£p Ha(s)

H(z)H(z)=Z{L-

a

tHa(s)

NkN

ks- kha(t)N

NkkNk

Aesktu(tkkk

AeSknTu(nT d]

[TA[TA n=-¥ T=A[(eSkTdz-1)n]=

1-eSk

H(z)

¥¥=Ha(s1T1T

j2pkT

¥H(jw-2pkH

=

TT Ha(jW)=0,T

)=T

Ha(jT

W=wc

∵H(ejw)=1 (jw),w< 即和采样时间Tfs

T H(ejwh(n)=Tha(nTNH(z)=

H )=(jw-H )=(jw-j2pk)»H(jw),w<¥a a h(t)=L- ]=

tr-k (s-s (r-kh(n)=ha(nT)

AT(r- H(z)= z

(r- dz1-z-AT(r- = [-z (r-1)!

Z(1-s+s)s-s

1-eSkTz- 当S=Sk

r=将Zrejw和sdjW

SjW时，即d=0 当d0,Z<1

=1， （3）d0,Z>1 d<0位于S平面的左半部分，则相应的数字滤 T

虽然，有w=WT的关系，w从0fip和0fip

0fi

]fiZa多段在Z平面单位圆上重复h(tfih(n)a

fiOtherwise H(s)

= -

+4s+ s s+解：H(z)

1-z-1e-

T=1，则有：H(z10.4177z-10.0183z-Ha(jW)

(3-W)2+j

) Ha( Ha(

优缺点：时域近良好，Ww呈现线性关系wWT有频率混迭失真，只适用于限 0s0spT -T ）从p） （2）令Z= fi整个Z平面上去1>将SjWS1 -p∼

W上1轴上的

W 2)W=

变到Wpfi W=0

W=1jW -jW

- W Wj

-j + jWS,jW1 -

eS=e

- -+

=th(S1T)=1-e-

ZeS1T 1+S z 1-W S 1-e-W=c ),S= )=2代入Z= ，有：S=c

1+e-Z=c+sc-处有确切的对应关系，即W»W1 W1tan(W1T)»W1TWW»cW1Tc= W=ctan(WcT)=ctan(wc c=Wcotwc Z=e

S=c1-e-1+e-

2

)=S=d+jW,Z=c+s=(c+d)+c- (c-d)-(c+d)2+W(c(c+d)2+W(c-d)2+WZ

Z>1

W=tan(w 2S平面的正、负虚轴

w为正）和下半部（w为负）。当Wfi¥时w www=2tan-1(wcWW=ctg24321Ha(jWW WHaHa(jWW W

1 3 若：w,w,w,w,Ww1Ww2Ww3Ww4 i利用W=ctgwi2

W H(z)

=

1-z-1+z-

=

1+z-1(s)=Ha

(s)H

(s)…Ha H(z)=H1(z)H2(z)…Hmi其中Hi(z)Hai7

1-z-1+z-Ha(sHa1(s)Ha2(s)HanH(z)=H1(z)H2(z)…HnNidsii

d+ds+d

sNH(s)= = e+es+es2+…esNeiN

iAz-i

A+Az-1+…Az-H(z)= = 1+Bz-1+…Bz-1+Biz 1+ 已知Ha(s)=11+

利用双线性变换求H(z)

ss=T1+z-

设T1,

H(z)

1+z-H(ejwH(ejwHa(jW2Butterworth（BW)型幅频特性在通带内具有拟函数的前（2N-1）阶导数在w0处都为零。§7.3 模拟低通滤波器的 A2(W)=H(jW)2=H(jW)H*(jW ∵H*jWH(jWA2(W)=H(jW)H(-jW)=H(s)H(-

s=) 求Ha若Ha(s)在s= Ha(-s)在s=- -s1–jWs0s1∓jWs0(t Ha(s)的极点一 sWHa(s)Ha(-s \从A2(W)=H(s)H(-

W2=-S

=Ha(s)Ha(-2）将Ha(s)Ha(-s)因式分解得到零极点，左

A2(W)

16(25-W2(49+W2)(36+W2解Ha(s)Ha(-s)：

W2=-S

=16(25+S2极点S=–7,S= 选S=-6,S=-7及一对虚aS5皆为二阶）Sj5为aK(s2+Ha (s+7)(s+

(s)

4(s2+\Ha(s)＝(s+7)(s+二Butterworth（BW2= aA2(W)＝H(W2= a1+(W

)2

W=

H(jW)

H(jW)2=10lg1== c时， =BFWfiWfi0,HajW)fiWfi¥,

Ha(jW

fi

0<WW

∵0W<1NWHa(jW

当W>W

∵W>1NW2HajW)随W增大而下降越快。因此有NHaHa(jW2Ha(jW112W12WW

Ha(jW

Ha(jW

得到

(-s)

[1+

s)2N

全极点型1+(s)2N1

(jW)=Wce ,k=1,2,",2N半径为Wc 点，prad.N

实轴上无极点虚轴上无极点 取左半平面极点为Ha(s \H(s) (s-skk

=Wexp[j12k-1p],k=1,... 在设计中一般取Wc=1rad/sfi频率归一 极对于一个实际系统其3dbWcfiHa(s)对于一个频率归一化系统其3db带宽为 可以1rads）a (s)fi把 (s)中的SfiW S代替fi a nHan

W(W SWc例导出三阶 Wc=1rad/ A2(W)＝H(jW)2

1+WHa(s)Ha(-s)

1-Ssk=

,k=1,2,...,

s1=e

=-+j ;s =

=-1;s=e

=-- 2 2

s4=e

-j ;s=

=1;s=e

+ aH(s) a(s-s1)(s-

)(s-

s3+2s2+2ss0,Ha(s=1fiK0=1\Ha(s)

s3+2s2+2s三Chevbyshev(C型滤波器对于B型滤波器Wfi0 aH(jW)2a

1+f2(W

f(W)=(W)NW

f(W)=0

Ha(jW

在通带内f(W)的零点都集中在W=0,W/fi误差增加。改善办法：通带内f(W)的零点分散Ha(jW) 现多个极大值fi H(jW)2 aNN

(WW C(WW归一化频率， Wc1.Chevbyshev 0£W£1Cn(W)= W‡1ex+e-

coshx= cosh-1x=ln(x

x2-设0£W£1,此时Cn(W)=cos(N W令cos-1Wqcosq=W,cos(p-qcosqW\cos-1(-W)=p-q=-cos-1故：cos[Ncos-1(-Wcos[N(pcos-1W=cosNpcos(Ncos-1W)+sinNpsin(Ncos-1W=(-1)NC(WNW

Ha(jWHa(jW11+1ANHa(jW11+1AN

W 即：CN(-W)(-1

(WN同样可以证明对于W1时上式亦成立。N是偶数时N(W)是偶函数。CCN2(N)=N

|W|W

关于分界点N(W

和C2W

N 则(WNN1qk当W1C(W1W).N1 故Nh1)=cosh0= CN(W)N(W)=).Nq=qqnCN+1(W)+CN-1(W)=ss (W)iW. =0 NN0W5W6W678234CN(W)阶数N等于多项式的最高幂次，系数亦为2N1（4CN(W)当|W|£1CN(W)cosq=W,CN(W)=cos,C CN(W W＝cos 2cos2kpp,k为整数. 2可以证明W是以k的2N为周期的周期函数，在一个周期内0£k£2N-1，又有W(2N-1k)W(k)2因此Wk)cos2kpp在一个周期内共有2|W|1时CN(W)fi 在通带内|W|£1，CN(W有N

a|H(jWa a此时C(W)为余弦函数，故C2W)之值最大为 aa|H(jWa

2

11e2RW=1-12| aW21| aW211+WCN(11W1处，无论N|Ha(jW)|2=11+e22C(Wcos(Nq),C(0=cos(N(kp+p )p))p) C(0=Lp+p=p+p=0k1N

C(0)= |H(jW)|2=

当W>1CN(W

和C

(W

|HajW|2NN|H(jW)|2=

W=cosh(

C型中e和N是其特性参数。

22|12=1e2 |H(jW)|2=12£ C2(2)‡992e

ajWW CN+1(2)=4CN(2)-CN-a|H(jW)|2=a

33|H

N122N NN

(s)H

(s的极点是方程1e2C

(-jsNNN N 1212：sk=sk +jWk k=1,2,3" ,Ns=-asin(2k-1)p 2

W=bcos(2k- 2q(s(ss1ssNNC(W)2N-1,q(se2N-N21-Has)=i

(s-si BC椭圆3Cauer若过渡带要求比较窄时。fiN会很大，如果在NNa|H(jWa

N12J2N

WN N数Ha(s)= k

))N

)= sN sN-1+"bs+b |Ha(jW1-W W

ew

1-ae-

=e-

|

w1给定以低通的滤波器函数HapfiH(ZZ-1=G(x-1)fiH(Z)= (Z)|Z-1=G(x-1)的x平面映射；

e-jq=|G(e-jw)|ej(G(e-jw 频率间的关系是：-q(G(ejw x-1-

G(x-1)=

k

kk射成x平面单位园内P。N和ak选 Z-1=G(x-1)

x-1-

§7.4低通fisfisWfisfiW2

fisfi(s2+WW)(s(W-W))or 低通fi阻sfi(s(W-W))(s2+WW

W2fiZ-1=G(x-1 Zejq和xe故|G(e-jw)|= q=-arg[G(e-jw 1)=– 1 wa2

a0对应z-1率为q，而变化后应 121a=

具有截止频率w2a

sinp-wp)2sinp+wp)2 Z平面及Z平面x平面统一考虑即：Sfix;S=G(x-1)h=jW=S c 归一化模拟低通滤波器的传输函数为Ap)Ap)fiHZ)14§7.5IIRbb-rNH(z)= Nkd1-az-kd

|H(z)-H(z)|2=k一旦ak和r确定后fiH(z差最小。一般给定一组离散频率wi(i=12M)

H(ejw)-H(ejw)

1+az-1+bz-H= =AG(z) 1+cz-1+dz- 则我们有4k+1q=1,b1,c1,d1",ak,bk,ck,dk设：Fa1,b1c1d1",akbkckdkMFi

AG

,F)|-|Hd

)|M=|A||G|-|Hdi=1

F

F

n=1,2,"d|A FM |HMF, -d|

= d|MA|2|G|2-2|A||G||H|+|H||H = d| =2|A||G|2-2|G||H|=0|A|=|G||H F

dEˆ(F

dEF,A

A0||G|-|Hd =

Md|A|2|G|2-2|A||G|| |+| || = M=2|A