新教材人教A版4.2.2.2指数函数的图象和性质的应用课件（27张）

第2课时指数函数的图象和性质的应用关键能力探究探究点一利用单调性求解简单的不等式【典例1】(1)已知:23-2x<,求x的取值范围.(2)若x1,x2为方程2x=的两个实数解,求x1+x2.【思维导引】转化成代数不等式求解.【解析】(1)因为23-2x<,所以3-2x<4-3x2,解得<x<1.(2)2x=⇒x=-1⇒x2+x-1=0⇒x1+x2=-1.【类题通法】解指数不等式的方法指数不等式是指数中含有未知数的不等式.主要有以下类型:af(x)>ag(x)或af(x)<ag(x).解法:af(x)>ag(x)⇔或af(x)<ag(x)⇔或【定向训练】不等式≥1的解集为________.

【解析】原不等式变形为:,因为<1,所以≤0,同解变形为解得:<x≤1,所以原不等式的解集为.答案:

探究点二求函数的单调区间【典例2】求复合函数y=的单调区间.【思维导引】按照复合函数“同增异减”的方法求解.【解析】令u=x2-2x,则原函数变为y=,因为u=x2-2x=(x-1)2-1在(-∞,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,且y=在R上是减函数,所以y=在(-∞,1]上单调递增,在[1,+∞)上单调递减,即y=的单调递增区间是(-∞,1],单调递减区间是[1,+∞).【类题通法】复合函数单调区间的求法(1)研究y=af(x)型单调区间时,当a>1时,y=af(x)与f(x)单调性相同;0<a<1时,y=af(x)与f(x)单调性相反.(2)研究y=f(ax)型单调区间时,要注意ax属于f(u)的增区间还是减区间,其中u=ax.【定向训练】求函数y=的单调区间.【解析】令t=x2-4x+3,则y=3t.①当x∈[2,+∞)时,t=x2-4x+3单调递增,而y=3t在R上是增函数,故y=的单调递增区间是[2,+∞).②当x∈(-∞,2]时,t=x2-4x+3单调递减,而y=3t在R上是增函数,故y=的单调递减区间是(-∞,2].探究点三指数函数性质的综合应用【典例3】已知定义在R上的奇函数f(x)=.(1)求a,b的值.(2)判断并证明f(x)在R上的单调性.(3)求该函数的值域.【思维导引】(1)利用奇函数的定义列出a,b的方程组,求解a,b的值.(2)利用增函数、减函数的定义去判断.(3)采用恰当的方法将分式型函数变形为只有分子(或分母)含有未知数的形式更容易求值域.【解析】(1)因为f(x)是R上的奇函数,所以即解得(2)f(x)在R上是增函数,证明如下:由(1)知f(x)=.设x1,x2∈R,且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=因为y=2x是R上的增函数,且x1<x2,所以<0.又因为(+1)(+1)>0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),所以f(x)在R上是增函数.(3)f(x)=由2x>0,得2x+1>1,所以0<<2,所以-1<1-<1,即-1<f(x)<1,所以函数f(x)的值域为(-1,1).【类题通法】1.形如y=f(ax)(a>0,且a≠1)的函数的单调性的求法(1)定义法,即“取值—作差—变形—定号”.其中,在定号过程中需要用到指数函数的单调性.(2)利用复合函数的单调性的规律来判断.一般用换元法即可,但应注意在变量的值域和指数函数的单调性的双重作用下,函数值域的变化情况.(1)坚持“定义域优先”的原则:如果定义域不关于原点对称,可立刻判定此函数既不是奇函数也不是偶函数.(2)正确利用变形技巧:耐心分析f(x)和f(-x)的关系,必要时可利用f(x)±f(-x)=0来判定.(3)巧用图象的特征:在解答有图象信息的选择、填空题时,可根据奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称,进行快速判定.【定向训练】已知函数f(x)=ex+a·e-x,x∈R.(1)当a=1时,证明:f(x)为偶函数.(2)若f(x)在[0,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围.【解析】(1)当a=1时,f(x)=ex+e-x,定义域(-∞,+∞)关于原点对称,而f(-x)=e-x+ex=f(x),所以f(x)为偶函数.(2)设x1,x2∈[0,+∞)且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=因为x1<x2,函数y=ex为增函数,所以又f(x)在[0,+∞)上单调递增,所以f(x1)<f(x2),故f(x1)-f(x2)<0,所以-a>0恒成立,即a<对任意的0≤x1<x2恒成立,所以a≤1,故实数a的取值范围为(-∞,1].【课堂小结】课堂素养达标2x-1=3的解为 ()【解析】2x-1=3,即32(2x-1)=,所以4x-2=,所以x=.2.若指数函数f(x)=ax的图象过点(2,4),则满足a2x+1<a3-2x的x的取值范围是 ()A.x< B.x> C.x>2 D.x<2【解析】选A.因为f(2)=4,所以a2=4,所以a=2(a=-2舍),所以22x+1<23-2x,所以2x+1<3-2x,所以x<.3.已知函数f(x)=+a为奇函数,则a=________.

【解析】因为函数f(x)是定义域为R的奇函数,所以f(0)=0,即+a=0,所以a=.答案:

4.已知函数f(x)=(1)若a=-1,求f(x)的单调区间.(2)若f(x)的最大值为3,求a的值.【解析】(1)当a=-1时,f(x)=,令g(x)=-x2-4x+3,由于g(x)在(-∞,-2]上单调递增,在[-2,+∞)上单调递减,而y=在R上单调递减,所以f(x)在(-∞,-2]上单调递减,在[-2,+∞)上单调递增,即函