3.2空间向量在立体几何中的应用

./3.2空间向量在立体几何中的应用直线的方向向量与直线的向量方程学习目标1.掌握直线的方向向量、直线的向量方程有关概念,并会用数学语言表述2.能正确运用向量方法证明线与线、线与面、面与面的平行和垂直关系3.能根据具体问题合理选定基底教学过程1.用向量表示直线或点在直线上的位置在平面向量的学习中,我们得知①M、A、B三点共线②A、B是直线l上任意两点。O是l外一点.动点P在l的充要条件是,称作直线l的向量参数方程式,实数t叫参数。给定一个定点A和一个向量a,如图所示,再任给一个实数t,以A为起点作向量①这时点P的位置被完全确定,容易看到,当t在实数集R中取遍所有值时,点P的轨迹是一条通过点A且平行于向量a的一条直线l.反之,在直线l上任取一点P,一定存在一个实数t,使向量方程①通常称作直线l的参数方程。向量a称为该直线的方向向量。注:⑴向量方程两要素:定点A,方向向量a⑵t为参数,且t是实数,直线的向量方程①,还可作如下的表示:对空间任一个确定的点O<如图所示>,点P在直线l上的充要条件是存在惟一的实数t,满足等式②如果在l上取则②式可化为即③①或②或③都叫做空间直线的向量参数方程注:⑴当t=时,.此时P是线段AB的中点,这就是线段AB中点的向量表达式.⑵③中有共同的起点.⑶③中的系数之和为1.例1．已知点A<2,4,0>,B<1,3,3>,以AB的方向为正向,在直线AB上建立一条数轴,P,Q为轴上两点,且分别满足条件〔1AP：PB=1：2；〔2AQ：QB=－2,求点P和点Q的坐标。2.用向量方法证明空间中有关平行的问题〔1线线平行与向量的关系设直线l1和l2的方向向量分别为证明两直线平行方法思路：在两直线上分别取不同的两点,得到两向量,转化为证明两向量平行。〔2线面平行与向量的关系已知两个不共线向量ν1和ν2与平面共面,一直线l的一个方向向量为证明线面平行的方法思路：求面的法向量,在直线找不同两点得一向量,证明这一向量与法向量垂直〔即证明数量积为0,则可得线面平行。〔3面面平行与向量的关系已知两个不共线向量ν1和ν2证明面面平行的方法思路：求两平面的法向量,转化为证明两法向量平行,则两平面平行。例2．如图,已知正方体ABCD－A’B’C’D’,点M,N分别是面对角线A’B与面对角线A’C’的中点,求证：MN//侧面AD’；MN//AD’；并且MN=3.用向量方法证明两直线垂直或两直线成角的问题设两条直线所成的角为θ<锐角>,则直线方向向量间的夹角与θ相等或互补线线垂直、线线成角与向量的关系：设直线l1和l2的方向向量分别为〔1用向量法证两直线垂直的步骤：A.不以共面的三向量为基底,B.用基底表示欲证的两直线的方向向量,C.验证这两个方向向量的数量积为零。注：空间四边形中,有两组对边垂直,则第三组对边也垂直。小结：1.直线的向量方程；2.用向量方法证明直线与直线平行；3.用向量方法证明直线与平面平行；4.用向量方法证明平面与平面平行；5.用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角；6.A,B,C,三点不线,四点A,B,C,M共面的充要条件。平面的法向量与平面的向量表示学习目标1、理解平面的法向量的概念,了解平面的向量表示式2、掌握线面垂直的判定定理以及三垂线定理和三垂线定理的逆定理3、会证明两平面的平行和垂直重点：平面法向量的概念及应用,正射影的概念,三垂线定理及逆定理。难点：平面法向量的理解及灵活运用,三垂线定理的证明思路及三垂线定理的应用。教学过程1、法向量的概念定义：已知平面,如果向量的基线与平面垂直,则向量叫做平面的法向量或说向量与平面正交。2、直线与平面垂直的判定定理如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直,那么这条直线垂直于这个平面已知：a,b是平面内的两条相交直线,且直线求证：.证明：见课本思考：设A是空间任一点,为空间内任一非零向量,适合条件的点M的集合构成什么样的图形？结论：设分别是平面的法向量,则有例1：已知点A<a,0,0>,B<0,b,0>,C<0,0,c>,其中,求平面ABC的一个法向量反思与变式练习〔1、已知正方体,写出平面ABC和平面的一个法向量〔2、已知平面经过点O〔0,0,0,且=〔1,1,1是的法向量,M〔x,y,z是平面内任意一点,则x,y,z满足的关系式是_____________〔3、已知A<3,0,0>,B<0,4,0>,C<0,0,5>,求平面ABC的单位法向量3、正射影定义：已知平面和一点A,,过点A作的垂线与相交于点,则点就是点A平面内的正射影,以下简称射影。平面内的任一点在内的射影都是它自身。图形F上所有的点在平面内的射影所成的集合,叫做图形F在平面内的射影如果一条直线AB和平面相交于点B,但不和垂直,那么直线AB叫做这个平面的斜线。斜线和平面的交点B叫做斜足,斜线上一点A与斜足B之间的线段叫做斜线段AB。4、三垂线定理如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直,则它也和这条斜线垂直三垂线定理的逆定理如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直,则它也和这条斜线在平面内的射影垂直例2已知：AB,AC分别是平面的垂线和斜线,BC是ＡＣ在内的射影,且。求证：反思与变式练习如果在三垂线定理中,已知条件改为：直线//平面,并且直线垂直于斜线AC在平面内的射影BC,直线是否还垂直与斜线AC？１、如图,在Rt中,,,则其中〔1与PC垂直的直线有________________〔2与AP垂直的直线有_________________〔3直角三角形有_________________2、设平面的法向量<1,2,-2>,平面的法向量〔-2,-4,k若,则k等于_____________若,则k等于___________3、已知正方体中,分别为的中点,求证：平面。4、已知正方体.求证：平面平面.5、如图,底面是正方形,底面,且,是中点.求证：平面平面直线与平面的夹角教学目标知识目标：〔理解定义、会求角1.理解斜线与平面所成角的定义,体会夹角定义的唯一性,合理性；2.会求直线AB与平面α所成的角。能力目标〔定性到定量1.培养构建能力、转化与化归能力、观察思考能力和空间想象能力；2.体验从"定性"推理到"定量"计算的转化,提高分析情感目标〔热情与主动1.激发学生的学习热情和求知欲,体现学生的主体地位；2.感受和体会数学与生活的密切关系,激发"学数学用数学"的热情。教材分析地位：线面夹角是立体几何的重要概念,求线面夹角是立体几何在新教材高考中命题的热点内容之一。作用：与异面直线所成角、二面角共同构成立体几何求角问题的主体内容,对思维形式由空间向平面转化,构建数学模型、向量应用都起到了深化的作用。重点：1.斜线和平面所成的角〔或夹角的概念；2.如何求斜线与平面所成的角。难点：1.斜线与平面所成的角的求解；2.构建恰当的空间直角坐标系,并正确求出点的坐标及法向量的坐标。教学过程一.复习斜线在平面上的正射影一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交点叫做斜足。斜线上任意一点在平面上的射影,一定在斜线的射影上。过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影；垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在这个平面上的射影。二.新课引入1.直线与平面所成角思考：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段AB、AC、AD、AE…中,那一条最短？回答：垂线段比任何一条斜线段都短；射影相等的两条斜线段相等,射影较长的斜线段也较长；概念：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条斜线和这个平面所成的角<斜线与平面的夹角>。一条直线和平面平行,或在平面内,它们所成的角是0的角；一条直线垂直与平面,它们所成的角是直角；直线和平面所成角的范围是[0,90]。2.最小角定理思考：学生活动创设情境,思考笔座能联系立体几何中的哪部分内容？〔引出直线与平面的位置关系问题1：直线与平面斜交时,直线与平面的夹角该怎样来定义呢？问题2：如图,从直观上,斜线OA与平面内的这些直线哪一个成的角最小？为什么？因为0≤cos概念〔最小角定理：斜线和它在平面内的射影所成的角,是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角。3.求直线与平面所成角的基本方法<1>几何求法：找出A1B在平面A1B1CD内的射影<2>向量求法：利用法向量与直线上向量所成角设斜线的方向向量为a,平面的法向量为n,则向量a与n的夹角为cos三.例题例1.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,<1>证明：PA∥平面EDB；<2>求EB与底面ABCD所成的角正切值。例2.直三棱柱中,OO1=4,OA=4,OB=3,∠AOB=90°,D为线段A1B1的中点,P是棱BB1上一点。若OP⊥BD,求OP与底面AOB所成角大小。<结果用反三角函数值表示>四.小结：1.直线与平面所成的角的概念；2.了解最小角定理；3.会用"几何法"和"向量法"解决求直线与平面所成角的相关问题。二面角以其度量学习目标：知识与技能目标：了解并掌握二面角的定义及其度量方式,会用定义法和向量法求二面角；过程与方法目标：培养观察、分析与推理、从特殊到一般的探究能力和空间想象能力；情感态度价值观目标：培养主动获取知识的学习意识,激发学习兴趣和热情。重难点：重点：定义法和向量法计算二面角的大小难点：做出二面角的平面角三、教学过程1.二面角：平面内一条直线把平面分成两部分,其中的每一部分都叫做半平面,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；这条直线叫做二面角的棱,每个半平面叫做二面角的面。棱为l,两个面分别为α,β的二面角,记作α－l－β,二面角也可以记作A－l－B。2.二面角的表示方式：3.二面角α－l－β的平面角在二面角α－l－β的棱上任取一点O,在两个半平面内分别作射线OA⊥l,OB⊥l,则∠AOB叫做二面角α－l－β的平面角,显然,这个平面角与点O在l上的位置无关.二面角的平面角必须满足：1角的顶点在棱上2角的两边分别在两个面内3角的边都要垂直于两面角的棱44.二面角的大小二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的平面角是几度,就说这个二面角是几度。我国发射的第一颗人造卫星的倾斜角是68.5°,这个倾斜角指的人造卫星的轨道平面与地球的赤道平面所成的角。本书中,我们约定,二面角不小于0°,不大于180°。即0°≤θ≤180°平面角是直角的二面角叫做直二面角,互相垂直的平面也就是相交成直二面角的两个平面。我们可以用向量的夹角来研究二面角的性质及其度量：5.二面角的求法〔1垂面法〔定义法：根据定义,找到二面角的棱垂面即可得平面角,解三角形求其大小.例1：在正方体AC1中,求二面角D1—AC—D的大小？例2：⊿ABC中,AB⊥BC,SA⊥平面ABC,DE垂直平分SC,又SA=AB,SB=BC,求二面角E-BD-C的大小?〔2垂线法〔三垂线定理或逆定理：垂连求角〔3三垂线法:首先找其中一个半平面的垂线,找不到垂线找垂面<指其中一个半平面的垂面>,找到垂面作垂线,构造三垂线定理或逆定理条件得平面角.例1：三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=3,AC=4,PB=PC=BC,求二面角A-PC-B的大小例2：如图,三棱锥P-ABC中,面PBC⊥面ABC,⊿PBC是边长为a的正三角形,∠ACB=90°,∠BAC=30°,BM=MC。〔1求证：PB⊥AC〔2二面角C-PA-M的大小。〔3射影法：是不找平面角求二面角的一种方法例1：已知：如图⊿ABC的顶点A在平面M上的射影为点A`,⊿ABC的面积是S,⊿A`BC的面积是S`,设二面角A-BC-A`为。求证：COS=S`÷S例2：在正方体AC1中,E,F分别是中点,求截面A1ECF和底面ABCD所成的锐二面角的大小6.面面角的求法〔1法向量法：一进一出,二面角等于法向量夹角；同进同出,二面角等于法向量夹角的补角〔2方向向量法：将二面角转化为二面角的两个面的方向向量〔在二面角的面内且垂直于二面角的棱的夹角。小结：1.异面直线所成角：cos2.直线与平面所成角：sin3.二面角:距离〔选学〔缺学习目标一、复习引入什么是距离？二、提出问题几何的基本元素是点、线、面、体,在几何学中我们研究距离实质上就是研究空间图形与图形之间的距离问题,包括点与点之间的距离；点与直线间的距离；点与平面之间的距离；直线与平面之间的距离和两个平面间的距离。如何给这些距离下定义呢？怎样计算这些距离呢？三、概念陈述1.距离的几何定义：在几何学中,一个图形F1内的任意一点与另一个图形F2内的任意一点的距离的最小值,叫做图形与图形的距离。计算两点间的距离和线段的长度是几何度量最基本的课题。计算任何图形之间的距离都可以转化为求两点间的距离。例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=3,AA1=5,∠BAD=90°,∠BAA1=∠DAA1=60°,求AC1的长。分析：求AC1的长,实质上就是计算A,C1两点的距离,从向量角度看,就是计算AC的长度。2.点到平面的距离定义：过平面外一点P,有唯一的一条直线PA垂直α,设A为垂足,B是平面α内异于A的任意一点,易知PA＜PB。也就是说,连接平面α外一点P与α内任意一点的所有线段中,垂线段PA最短。一个点到它在一个平面内正射影的距离,叫做点到这个平面的距离。求法：〔1利用定义先作出过这个点到平面的垂线段,再计算这个垂线段的长度。〔2等积法求距离。3.直线到平面的距离定义：直线和平面相交时,无法定义距离,当直