大学物理-第四章-振动与波动1课件

第四章振动与波动

振动与波动机械振动：物体随时间在一特定的位置（平衡位置）附近做往复的周期性运动。广义振动：任一物理量随时间在某固定值附近作周期性的变化。振动振动在空间的传播。一般来说，大部分的振动都会在空间激发与之相应的波动。振动是产生波动的根源，波动是振动这种运动形式和能量在空间的传播，它也是相互联系着的一系列振动。引起各种振动和波动的物理本质尽管不同，但从运动的表现形式和规律上他们却有着很多共同的特征。波动波动的水§1简谐振动MainGoals

振动的形式是复杂多样的，但一维的周期性正弦振动，即简谐振动是振动中最基本的形式。可以证明，任何振动都可以看成是简谐振动的合成。所以首先研究振动的最基本、最简单的形式——简谐振动。Primary:简谐振动的描述方法及其运动学特征Secondary:简谐振动的动力学特征Third:简谐振动的合成1.简谐振动的描述方法（1）简谐振动

简谐振动：在周期性直线振动中，取其平衡位置为原点，若振动质点离开平衡位置的位移随时间的变化规律为余弦或正弦函数时，称这一直线振动为—简谐振动。kxmxoFkmkmkmkmkmAAt特征：简谐振子相对于平衡位置的位移是一维的关于时间的余弦或正弦函数。它的运动是周期性的往复运动。简谐振动的运动规律可由简谐振子运动方程来描述：（2）简谐振动的代数表达——谐振方程利用欧拉方程也可以表达成复数形式：谐振方程1一特定的简谐振动，其运动规律由谐振方程描述，谐振方程由A、T、三个参量确定。表达式中各量的物理意义：位移x：简谐振子在任意时刻t相对平衡位置的位移，给出了振子的空间状态，单位为m。振幅A：简谐振子相对平衡位置的最大位移，反映了振动的强弱和运动范围，单位为m。周期T：当t=t+nT（n=1,2,3…)，x值不变。函数为周期函数，周期为T；即简谐振子在每隔t时间运动完全重复一次。周期T为简谐振子振动一次所用的时间，反映了运动的周期性特征和振动的快慢程度，单位为s。若令：称为频率频率：简谐振子单位时间振动的次数。反映了振动的快慢程度，单位为1/s=Hz（赫兹）再令：谐振方程2称为角频率角频率：简谐振子在2秒时间振动的次数。反映了振动的快慢程度，单位为rad/s谐振方程3周期T、频率、角频率：是从不同的角度引入的反映简谐振动周期性和振动快慢的物理量，对于一个特定的简谐振动三个量中只有一个是独立的。它们各自对应一个谐振方程，但三个谐振方程是完全等价的。（A、、）一组三个独立的物理量决定了简谐振动的规律，反映了其运动的特征，称为简谐振动的特征参量。当特征量给定后，简谐振子的运动状态由（t+）唯一决定。相位（t+）：表征了简谐振子的振动状态。在数学表达中它是一个角度故也成为相角，它是时间的函数，单位为rad（弧度）。初相位：简谐振子在0时刻的相位值，它由振子的初始状态决定。（3）简谐振动的图形表达——振动曲线

以时间t为横坐标，位移x为纵坐标画出简谐振动位移随时间变化的曲线—振动曲线。振动曲线t（s）x（m）A-ATTAcosA-AAcos例1.如图的谐振动x-t曲线，试求其谐振方程解：由图知振动表达式为由t=0时：又由：即：例2.如图的谐振动x-t曲线，试求其谐振方程解：由图知由t=1时：振动表达式为又由：即：2.简谐振动的速度和加速度（1）简谐振动的速度

前面从位移的角度考察了简谐振子的运动学规律，那么另外两个运动学量速度和加速度如何？简谐振动速度的特征：t（s）x（m）A-Av（m/s）AATx>0v>0x>0v<0x<0v<0x<0v>0（2）简谐振动的加速度

简谐振动加速度的特征：①简谐振动的加速度变化规律仍为一正弦或余弦曲线。其周期与振动周期相同，加速度振幅am=2A，它是振动加速度的最大值。②加速度的相位（t+）比振动相位（t+）反相，即一个的正极大值和另一个的负极大值同时。t（s）x（m）A-Aa（m/s2）A2-A2TT3.简谐振动的动力学特征为什么简谐振子会作简谐振动？力是产生运动的原因，那么在什么样的力作用下，简谐振子才会作这样规则的周期性运动？首先，考察几个不同的谐振系统：mmglx（1）单摆动力学方程为：谐振方程为：（2）弹簧振子kxmk为弹簧的劲度系数，m为振子的质量。动力学方程为：谐振方程为：（5）弦振动T为弦对振子的恒定张力，m为振子的质量。动力学方程为：谐振方程为：TxmT2l谐振系统的动力学方程有着共同的形式：回复力：与位移大小成正比，方向相反的作用力称为回复力。其比例系数称为劲度常数。m和k是由谐振系统的特性决定的常数。对于力学系统，m为谐振子的质量。谐振系统动力学方程的一般形式：方程的通解为：对于一谐振系统，当、x0、v0确定后，则简谐振动便唯一确定。固有参量：由谐振系统的本身决定，它反映了系统的固有特性。称为固有角频率，对应的周期T称为固有周期，频率称为固有频率。初始条件x0、v0：对于一谐振系统，x0、v0是由谐振子在t=0时刻的运动状态所决定，称为初始条件。谐振子的动能

：谐振系统的总能量：4.简谐振动的能量特征kxmv以弹簧振子为例，谐振系统的能量包含两个部分：谐振系统的弹性势能：由其谐振方程可得：t（s）E（J）1/2kA2EkEpT/2T/4E§2阻尼振动、受迫振动与共振简谐振动是无阻尼自由振动，系统只存在能量转换，没有能量耗散，在实际中这只是一种理想的情况。现实的系统总在不同程度上存在阻尼力和驱动力，这时系统和外界有能量的交换，振动的持续也与阻尼和驱动有关。本节将讨论典型的阻尼和驱动存在时振动的规律和特征。Primary:阻尼振动的规律和特征Secondary:受迫振动与共振现象MainGoals1.阻尼振动如果谐振系统有阻力作用时，其能量必是耗散的，振动持续时间有限，此时振动规律如何？摩擦阻尼：介质对振子的摩擦阻力使系统的能量转变成热量耗散kmv阻尼振动：在阻力和回复力共同作用下的振动，其振动过程总是伴随着系统能量的减少，运动形式与阻尼力的性质有关。f辐射阻尼：振子引起临近质点的振动使系统的能量逐渐向四周辐射耗散。考虑摩擦阻尼的情形：实验表明，在物体速率不高时，摩擦力的大小与物体运动速度大小成正比，方向总与速度方向相反。：阻尼系数，与物体形状、大小和介质性质相关的常数。阻尼振子的动力学方程为：令：称为阻尼因子0为无阻尼自由振动的固有角频率解主方程，便可得到阻尼振动的运动方程。主方程：（1）弱阻尼时的运动方程：若令：称为阻尼振幅。（2）

0

，强阻尼方程解为：A与B为可由初始条件确定的常数。②显然当

=0

运动由振动向单调下降过渡，此时称系统为临界阻尼。③当

>0

振子单调下降至平衡位置，越大振子回到平衡位置的时间越长，此时称系统为过阻尼。强阻尼振动的特征：①

x为一单调下降的函数，此时振子不再作周期振动。x（m）t（s）o如何供给阻尼振子能量使其振动得以持续？实验表明：加力的方式与振子的状态关系紧密，加力必须是一个与振子步调一致的周期性外力，才能使得振子获得最大能量。2.受迫振动与共振要使一个有阻尼振动持续，就必须补充因摩擦而耗散的能量。（1）受迫振动受迫振动：振子在周期性外力作用下发生的振动称受迫振动。相应的外力称为强迫力或驱动力。设驱动力的形式为：F0为驱动力振幅为驱动力角频率在弹性回复力、阻尼力和驱动力的共同作用下，振子的动力学方程为：仍令：动力学方程为：减幅振动①在驱动力开始作用时，振子的振动比较复杂，可以两个振动的合成。一个是减幅振动，一个是简谐振动。②式中第一项表示减幅振动。经一段时间它逐渐减弱，以至于可以忽略不计。受迫振动的特征：稳态简谐振动③式中第二项表示简谐振动。经一段时间第一项减幅振动逐渐减弱消逝后，受迫振动达到第二项表示的简谐振动，称之为稳态。t（s）ox（m）达到稳态时受迫振动是一简谐振动。其角频率为驱动力的角频率，振幅和初相位不再是由振子的初始状态决定，而是取决于振子的性质、阻尼的大小和驱动力的特征：稳态振动速度（2）