新教材人教A版1.4第2课时充要条件课件（36张）

第一章集合与常用逻辑用语1.4充分条件与必要条件第2课时充要条件必备知识·探新知关键能力·攻重难课堂检测·固双基素养作业·提技能必备知识·探新知

充要条件1．定义：若p⇒q且q⇒p，则记作________，此时p是q的充分必要条件，简称____________.2．条件与结论的等价性：如果p是q的____________，那么q也是p的____________.3．概括：如果________，那么p与q互为____________.p⇔q

基础知识知识点充要条件充要条件充要条件p⇔q

充要条件思考：命题按条件和结论的充分性、必要性可分哪几类？1．下列命题中是真命题的是(

)①“x>3”是“x>4”的必要条件；②“x＝1”是“x2＝1”的必要条件；③“a＝0”是“ab＝0”的必要条件．A．①

B．①②C．①③ D．②③A基础自测2．“x＝0”是“x2＝0”的(

)A．充分条件B．必要条件C．既不是充分条件也不是必要条件D．既是充分条件又是必要条件[解析]

因为当x＝0时x2＝0，当x2＝0时，x＝0，所以“x＝0”是“x2＝0”的充要条件．D3．点P(x，y)是第二象限的点的充要条件是(

)A．x<0，y<0 B．x<0，y>0C．x>0，y>0 D．x>0，y<0[解析]

P(x，y)在第二象限，等价于x<0，y>0.4．设p：x<3，q：－1<x<3，则p是q的(

)A．充分必要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件[解析]

因为{x|－1<x<3}{x|x<3}，所以p是q的必要不充分条件．BC5．从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个合适的填空．(1)“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的____________.(2)“x<5”是“x<3”的__________________.[解析]

(1)设A＝{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，B＝{x||x|－1＝0}＝{－1,1}，所以A＝B,即“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的充要条件．(2)设A＝{x|x<5}，B＝{x|x<3}，因为AB，所以“x<5”是“x<3”的必要不充分条件．充要条件必要不充分条件关键能力·攻重难题型一充分条件、必要条件及充要条件的判断 (1)对于任意的x，y∈R，“xy＝0”是“x2＋y2＝0”的(

)A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A题型探究例1(2)设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的(

)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件(3)设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的(

)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件AC[归纳提升]

充分条件、必要条件的两种判断方法(1)定义法：①确定谁是条件，谁是结论．②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件．③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件．(2)命题判断法：①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件．②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件．【对点练习】❶设A、B为两个互不相同的集合．命题p：x∈(A∩B)；命题q：x∈A或x∈B．则p是q的____________条件．(

)A．充分必要 B．充分不必要C．必要不充分 D．既不充分又不必要[解析]

若命题p：x∈(A∩B)成立，命题q：x∈A或x∈B一定成立；若命题q：x∈A或x∈B成立，但是x不一定是A∩B中的元素，所以p是q的充分不必要条件．B

设x，y∈R，求证：|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0.题型二充要条件的证明例2[解析]

①充分性：如果xy≥0，则有xy＝0和xy>0两种情况，当xy＝0时，不妨设x＝0，得|x＋y|＝|y|，|x|＋|y|＝|y|，所以等式成立．当xy>0，即x>0，y>0或x<0，y<0时，又当x>0，y>0时，|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，所以等式成立．当x<0，y<0时，|x＋y|＝－(x＋y)，|x|＋|y|＝－x－y＝－(x＋y)，所以等式成立．总之，当xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立．②必要性：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R，则|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2，即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x|·|y|，所以|xy|＝xy，所以xy≥0.综上可知，xy≥0是等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件．[归纳提升]

充要条件的证明策略(1)要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真．(2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论．【对点练习】❷证明：△ABC是等边三角形的充要条件是a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，这里a，b，c是△ABC的三条边．[解析]

(1)充分性(由a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc⇒△ABC为等边三角形)：因为a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，所以2a2＋2b2＋2c2＝2ab＋2ac＋2bc，即(a－b)2＋(a－c)2＋(b－c)2＝0，所以a＝b，a＝c，b＝c，即a＝b＝c，故△ABC为等边三角形；(2)必要性(由△ABC为等边三角形⇒a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc)：因为△ABC为等边三角形，所以a＝b＝c，所以a2＋b2＋c2＝3a2，ab＋ac＋bc＝3a2，故a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc.综上可知，结论得证．

已知p：－4<x－a<4，q：(x－2)(x－3)<0，且q是p的充分条件，则实数a的取值范围为(

)A．(－1,6) B．[－1,6]C．(－∞，－1)∪(6，＋∞) D．(－∞，－1]∪[6，＋∞)[分析]

可将p和q中所涉及的变量x的取值范围解出来，根据充分条件，转化为其构成的集合之间的包含关系，建立关于参数a的不等式组，从而求得实数a的取值范围．B题型三根据充分条件、必要条件求参数的取值范围例3[归纳提升]

根据充分条件与必要条件求参数取值范围的步骤如下：(1)记集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}；(2)根据以下表格确定集合M与N的包含关系：(3)根据集合M与N的包含关系建立关于参数的不等式(组)．(4)解不等式(组)求出参数的取值范围．【对点练习】❸

设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，a∈R；q：实数x满足x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0.若a<0且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．误将充分条件当作充要条件 给出下列各组条件：①p：ab＝0，q：a2＋b2＝0；②p：xy≥0，q：|x|＋|y|＝|x＋y|；③p：m>0，q：方程x2－x－m＝0有实根；④p：x>2或x<－1，q：x<－1.其中p是q的充要条件的有(

)A．1组 B．2组C．3组 D．4组A例4误区警示[错因分析]

误将充分条件当作充要条件，当p⇒q时，我们只能判断p是q的充分条件，只有p⇒q与q⇒p同时成立，才能称p是q的充要条件．[方法点拨]

对于两个条件A，B，若A⇒B成立，则A是B的充分条件(B成立的充分条件是A)，B是A的必要条件；若B⇒A成立，则A是B的必要条件，B是A的充分条件；若A⇔B，则A，B互为充要条件．解题时最容易出错的就是颠倒了充分性与必要性．充分条件、必要条件的证明充分条件与必要条件是高中数学的重要概念，与数学中其他知识的联系较强，是高考的热点之一，同时也是易错点，充要条件的证明是本节的难点．学科素养[分析]

本题是关于充分条件、必要条件的证明．由于所学知识有限，只能利用一些等式性质，一次函数，二次函数的基本性质进行论证，本