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文档简介

拉格朗日中值定理一、微分中值定理及其应用1.微分中值定理及其相互关系罗尔定理柯西中值定理泰勒中值定理12.微分中值定理的主要应用(3)研究函数或导数的性态—导数的应用(2)证明恒等式或不等式(1)证明有关中值问题的结论(4)求不定式的极限3.有关中值问题的解题方法利用逆向思维,设辅助函数.一般解题方法:证明含一个中值的等式或根的存在,(2)若结论中涉及到含中值的两个不同函数,可用原函数法找辅助函数.多用罗尔定理,可考虑用柯西中值定理.2(3)若结论中含两个或两个以上的中值,必须多次应用中值定理.(4)若已知条件中含高阶导数,多考虑用泰勒公式,(5)若结论为不等式,要注意适当放大或缩小的技巧.有时也可考虑对导函数用中值定理.3.有关中值问题的解题方法利用逆向思维,设辅助函数.一般解题方法:证明含一个中值的等式或根的存在,(2)若结论中涉及到含中值的两个不同函数,可用原函数法找辅助函数.多用罗尔定理,可考虑用柯西中值定理.3二、导数应用1.研究函数的性态:增减,极值,凹凸,拐点,渐近线,曲率.2.解决最值问题

目标函数的建立与简化，

最值的判别问题.3.其他应用:求不定式极限;几何应用;证明不等式;研究方程实根等.三、典型例题1.证不等式2.求单调区间及极值，求凹凸区间及拐点，求最值.3.用罗比达法则求不定式的极限.4单调性的判定方法：极值的求法：一阶导数左正右负有极大，左负右正有极小.方法1:方法2:凹凸性的判定方法：(1)(2)则曲线在内是凹的.则曲线在内是凸的.拐点的求法：二阶导数在x0的两侧异号，x0就是拐点的横坐标.51.水平渐近线2.垂直渐近线3.斜渐近线6典型例题分析一、证明等式1.用中值定理(包括推论)；2.用泰勒公式；3.用极值的条件.上则或的大小顺序是()设在例1提示:B7例2的一组实数,分析：则构造一函数,使用罗而定理8证明由罗而定理，例2的一组实数,证毕9例3

设在内可导,且证明至少存在一点使上连续,在证:设辅助函数显然在[0,1]上满足罗尔定理条件,使即有故至少存在一点10例4分析:解11并且有由罗而定理，例412例5其中解由拉格朗日中值定理得13其中例514例6解法1:15解法2:例616例7证上面两个式子相加得17例7于是有介值定理18例8分析从结论想证明1:由罗而定理，19由罗而定理，例820证明2:则由已知条件得例821二、证明不等式1.单调性2.中值定理3.泰勒公式4.凹凸性5.求最值例9证明证:故时,单调增加,从而即22例10证23证例11

证明当x>0时,24例12证明取对数25证令则是凸函数，例13即所以函数值弦上的纵坐标注意：这是用凹凸性证明不等式切线上的纵坐标凸函数的函数值弦上的纵坐标.A26例14解三、用中值定理求极限27四、其它例15解28例16.求数列的最大项.证:求导得令得列表判别:因此在处也取最大值.又因因为在内只有唯一的极大点

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