2022-2023学年上海市宝山区扬波中学数学高二第二学期期末达标测试试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数对任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（）A． B．C． D．2．观察下列各式：3272112152……据此规律.所得的结果都是8的倍数.由此推测可得（）A．其中包含等式：1032-1=10608 B．C．其中包含等式：532-1=2808 D．3．已知双曲线的左、右焦点分别为、，、分别是双曲线左、右两支上关于坐标原点对称的两点，且直线的斜率为.、分别为、的中点，若原点在以线段为直径的圆上，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．4．（2017新课标全国I理科）记为等差数列的前项和．若，，则的公差为A．1 B．2C．4 D．85．若，且m，n，，则（）A． B． C． D．6．复数（为虚数单位）的共轭复数是（）A． B． C． D．7．在△中，为边上的中线，为的中点，则A． B．C． D．8．已知函数的图象如图所示，若，且，则的值为（）A． B． C．1 D．09．定义运算，，例如，则函数的值域为（）A． B． C． D．10．已知定圆，，定点，动圆满足与外切且与内切，则的最大值为（）A． B． C． D．11．（2017新课标全国卷Ⅲ文科）已知椭圆C：的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为A． B．C． D．12．已知数列的通项公式为，则（）A．-1 B．3 C．7 D．9二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图，正方体的棱长为1，分别为线段上的点，则三棱锥的体积为___________.14．某次考试结束后，甲、乙、丙三位同学讨论考试情况.甲说：“我的成绩一定比丙高”.乙说：“你们的成绩都没有我高”.丙说：“你们的成绩都比我高”成绩公布后，三人成绩互不相同且三人中恰有一人说得不对，则这三人中成绩最高的是______.15．在斜三棱柱中，底面边长和侧棱长都为2，若，，且，则的值为________16．若，则__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数f（x）＝alnx﹣ex（a∈R）．其中e是自然对数的底数．（1）讨论函数f（x）的单调性并求极值；（2）令函数g（x）＝f（x）+ex，若x∈[1，+∞）时，g（x）≥0，求实数a的取值范围．18．（12分）在中，角，，的对边分别为，，，且.（1）求角的值；（2）若，且的面积为，求边上的中线的大小.19．（12分）在二项式的展开式中，二项式系数之和为256，求展开式中所有有理项.20．（12分）设函数，曲线在点，（1））处的切线与轴垂直．（1）求的值；（2）若存在，使得，求的取值范围．21．（12分）随着社会的进步与发展，中国的网民数量急剧增加.下表是中国从年网民人数及互联网普及率、手机网民人数（单位：亿）及手机网民普及率的相关数据.年份网民人数互联网普及率手机网民人数手机网民普及率2009201020112012201320142015201620172018（互联网普及率（网民人数/人口总数）×100%；手机网民普及率（手机网民人数/人口总数）×100%）（Ⅰ）从这十年中随机选取一年，求该年手机网民人数占网民总人数比值超过80%的概率；（Ⅱ）分别从网民人数超过6亿的年份中任选两年，记为手机网民普及率超过50%的年数，求的分布列及数学期望；（Ⅲ）若记年中国网民人数的方差为，手机网民人数的方差为，试判断与的大小关系.（只需写出结论）22．（10分）数列满足）.（1）计算，并由此猜想通项公式；（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

构造函数，利用函数导数判断函数的单调性，将代入函数，根据单调性选出正确的选项.【详解】构造函数，依题意，故函数在定义域上为增函数，由得，即，排除A选项.由得，即，排除B选项.由得，即，排除C，选项.由得，即，D选项正确，故选D.【点睛】本小题主要考查构造函数法比较大小，考查函数导数的概念，考查函数导数运算，属于基础题.2、A【解析】

先求出数列3,7,11,15，……的通项，再判断得解.【详解】数列3,7,11,15，……的通项为an当n=26时，a26故选：A【点睛】本题主要考查归纳推理，考查等差数列的通项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.3、C【解析】

根据、分别为、的中点，故OM平行于,ON平行于，再由向量点积为0得到四边形是矩形，通过几何关系得到点A的坐标，代入双曲线得到齐次式，求解离心率.【详解】因为、分别为、的中点，故OM平行于,ON平行于，因为原点在以线段为直径的圆上，根据圆的几何性质得到OM垂直于ON，故得到垂直于，由AB两点关于原点对称得到，四边形对角线互相平分，所以四边形是矩形，设角,根据条件得到，将点A代入双曲线方程得到：解得故答案为C.【点睛】本题考查双曲线的几何性质及其应用，对于双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范围).4、C【解析】设公差为，，，联立解得，故选C.点睛:求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如为等差数列，若，则.5、D【解析】

根据已知条件，运用组合数的阶乘可得：，再由二项式系数的性质，可得所要求的和.【详解】则故选：D【点睛】本题考查了组合数的计算以及二项式系数的性质，属于一般题.6、B【解析】

根据复数除法运算，化简复数，再根据共轭复数概念得结果【详解】，故的共轭复数.故选B.【点睛】本题考查复数除法运算以及共轭复数概念，考查基本分析求解能力，属基础题.7、A【解析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.详解：根据向量的运算法则，可得，所以，故选A.点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.8、C【解析】由题意得，，则，又，即，解得，所以，令，即，，解得该函数的对称轴为，则，即，所以，故选C.9、D【解析】分析：欲求函数y=1*2x的值域，先将其化成分段函数的形式，再画出其图象，最后结合图象即得函数值的取值范围即可．详解：当1≤2x时，即x≥0时，函数y=1*2x=1当1＞2x时，即x＜0时，函数y=1*2x=2x∴f（x）=由图知，函数y=1*2x的值域为：（0，1]．故选D．点睛：遇到函数创新应用题型时，处理的步骤一般为：①根据“让解析式有意义”的原则，先确定函数的定义域；②再化简解析式，求函数解析式的最简形式，并分析解析式与哪个基本函数比较相似；③根据定义域和解析式画出函数的图象④根据图象分析函数的性质．10、A【解析】

将动圆的轨迹方程表示出来：,利用椭圆的性质将距离转化,最后利用距离关系得到最值.【详解】定圆，，动圆满足与外切且与内切设动圆半径为，则表示椭圆，轨迹方程为：故答案选A【点睛】本题考查了轨迹方程，椭圆的性质，利用椭圆性质变换长度关系是解题的关键.11、A【解析】以线段为直径的圆的圆心为坐标原点，半径为，圆的方程为，直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，整理可得，即即，从而，则椭圆的离心率，故选A.【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及取值范围问题，其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.12、C【解析】

直接将代入通项公式，可得答案.【详解】数列的通项公式为.所以当时，.故选：C【点睛】本题考查求数列中的项，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

则,因为平面，所以所在位置均使该三棱锥的高为；而不论在上的那一个位置，均为，所以【考点定位】本题考查空间几何体的体积运算方法，依据空间线面关系推证，进行等积转换是常考点.这里转换底面极为重要，由于两个动点的出现，加大了定值识别的难度.14、甲【解析】

分别假设说对的是甲，乙，丙，由此分析三个人的话，能求出结果.【详解】若甲对，则乙丙可能都对，可能都错，可能丙对，乙错，符合；若乙对，则甲丙可能都对，可能都错，不符；若丙对，则甲乙可能都对，可能甲对，乙错，符合，综上，甲丙对，乙错，则这三人中成绩最高的是甲.故答案为：甲.【点睛】本题考查合情推理的问题，考查分类与讨论思想，是基础题.15、4【解析】

根据向量线性运算分别表示出,结合向量数量积运算即可求解.【详解】根据题意,画出空间几何体如下图:,,,且,且底面边长和侧棱长都为2则,所以故答案为:4【点睛】本题考查了空间向量的线性运算和数量积的应用,属于基础题.16、【解析】

取计算，取计算得到答案.【详解】取，则取，则故答案为【点睛】本题考查了二项式的计算，取特殊值是解题的关键.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析；（2）【解析】

（1）函数f（x）的定义域为（1，+∞）．求出函数的导函数，然后对a分类讨论可得原函数的单调性并求得极值；（2）对g（x）求导函数，对a分类讨论，当a≥1时，易得g（x）为单调递增，有g（x）≥g（1）＝1，符合题意．当a＜1时，结合零点存在定理可得存在x1∈（1，）使g′（x1）＝1，再结合g（1）＝1，可得当x∈（1，x1）时，g（x）＜1，不符合题意．由此可得实数a的取值范围．【详解】（1）函数f（x）的定义域为（1，+∞）．f′（x）．①当a≤1时，f′（x）＜1，可得函数f（x）在（1，+∞）上单调递减，f（x）无极值；②当a＞1时，由f′（x）＞1得：1＜x，可得函数f（x）在（1，）上单调递增．由f′（x）＜1，得：x，可得函数f（x）在（，+∞）单调递减，∴函数f（x）在x时取极大值为：f（）＝alna﹣2a；（2）由题意有g（x）＝alnx﹣ex+ex，x∈[1，+∞）．g′（x）．①当a≥1时，g′（x）．故当x∈[1，+∞）时，g（x）＝alnx﹣ex+ex为单调递增函数；g（x）≥g（1）＝1，符合题意．②当a＜1时，g′（x），令函数h（x），由h′（x）1，c∈[1，+∞），可知：g′（x）为单调递增函数，又g′（1）＝a＜1，g′（x），当x时，g′（x）＞1．∴存在x1∈（1，）使g′（x1）＝1，因此函数g（x）在（1，x1）上单调递减，在（x1，+∞）上单调递增，又g（1）＝1，∴当x∈（1，x1）时，g（x）＜1，不符合题意．综上，所求实数a的取值范围为[1，+∞）．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的最值，考查数学转化思想方法及分类讨论的数学思想方法，考查了利用了进行放缩的技巧，是难题．18、(1)；(2).【解析】试题分析：（1）利用正弦定理边化角可得，整理计算可得，则，.（2）由题意可得，，，则.在中应用余弦定理有，据此计算可得.试题解析：（1）因为，所以，所以，所以，.又因为，所以，又因为，且，所以.（2）据（1）求解知.若，则.所以，（舍）又在中，，所以.所以.19、答案见解析【解析】

由题意首先求得n的值，然后结合展开式的通项公式即可确定展开式中所有有理项.【详解】由题意可得：，解得：，则展开式的通项公式为：，由于且，故当时展开式为有理项，分别为：，，.【点睛】(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．20、（1）；（2）【解析】

（1）求得的导数，利用导数的几何意义可得切线的斜率，解方程可得；（2）依据的导数，讨论的范围，结合单调性可得最小值，解不等式即可得到所求范围．【详解】（1），由题设知，解得.（2）解：的定义域为，由（1）知，，（i）若，则故当，使得的充要条件为，即，解得（ii）若，则，故当时，；当时，；所以在单调递减，在单调递增，所以，存在，使得的充要条件为，所以不合题意（iii）若，则时，