高考数学一轮复习-第九章-平面解析几何-93-圆的方程课件-理

第九章平面解析几何§9.3圆的方程内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析思想与方法系列思想方法感悟提高练出高分基础知识

自主学习1.圆的定义在平面内，到

的距离等于

的点的

叫圆.2.确定一个圆最基本的要素是

和

.3.圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其中

为圆心，

为半径.4.圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是

，其中圆心为___________，半径r＝_______________.定长集合定点圆心半径(a，b)rD2＋E2－4F>0知识梳理1答案5.确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为：(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组；(3)解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程.6.点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种.圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)(1)点在圆上：__________________；(2)点在圆外：__________________；(3)点在圆内：__________________.(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2(x0－a)2＋(y0－b)2>r2(x0－a)2＋(y0－b)2<r2答案判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.(

)(2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.(

)(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.(

)(4)方程x2＋2ax＋y2＝0一定表示圆.(

)√√√×答案思考辨析×√答案1.(教材改编)x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是__________.∴圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心为(2，－3).(2，－3)考点自测2解析答案123452.方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是_______.解析由题意知a2＋4a2－4(2a2＋a－1)>0，解析答案123453.(2015·北京改编)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是_________________.∴圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.(x－1)2＋(y－1)2＝2解析答案123454.(教材改编)圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1,1)和B(1,3)，则圆C的方程为______________.解析设圆心坐标为C(a,0)，∵点A(－1,1)和B(1,3)在圆C上，∴CA＝CB，解得a＝2，∴圆心为C(2,0)，∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.(x－2)2＋y2＝10解析答案123455.(2015·湖北)如图，已知圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且AB＝2.(1)圆C的标准方程为__________________；解析由题意，设圆心C(1，r)(r为圆C的半径)，解析答案12345(2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为________.解析答案12345解析答案1234512345返回题型分类

深度剖析例1

根据下列条件，求圆的方程.(1)经过P(－2,4)、Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6；题型一求圆的方程解析答案解设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0. ③设x1，x2是方程③的两根，由|x1－x2|＝6有D2－4F＝36，

④由①②④解得D＝－2，E＝－4，F＝－8，或D＝－6，E＝－8，F＝0.故所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0，或x2＋y2－6x－8y＝0.(2)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2).解析答案思维升华解方法一如图，设圆心(x0，－4x0)，故圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.方法二设所求方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2，解析答案思维升华因此所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.思维升华思维升华(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.(2)待定系数法①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D、E、F的方程组，进而求出D、E、F的值.(1)(2014·陕西)若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为______________.解析由题意知圆C的圆心为(0,1)，半径为1，所以圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝1.x2＋(y－1)2＝1跟踪训练1解析答案(2)过点A(4,1)的圆C与直线x－y－1＝0相切于点B(2，1)，则圆C的方程为______________.解析由已知kAB＝0，所以AB的中垂线方程为x＝3. ①过B点且垂直于直线x－y－1＝0的直线方程为y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0，

②所以圆心坐标为(3,0)，所以圆C的方程为(x－3)2＋y2＝2.(x－3)2＋y2＝2解析答案命题点1斜率型最值问题题型二与圆有关的最值问题解析答案

则圆心(2,0)到直线y＝kx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值.解析答案

命题点2截距型最值问题例3

在例2条件下，求y－x的最小值和最大值.解设y－x＝b，则y＝x＋b，仅当直线y＝x＋b与圆切于第四象限时，截距b取最小值，解析答案命题点3距离型最值问题例4

在例2条件下，求x2＋y2的最大值和最小值.解x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图).解析答案思维升华思维升华与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法.一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解.(2)与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法.①形如u＝

型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题；②形如t＝ax＋by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题，可转化为动点到定点(a，b)的距离平方的最值问题.(1)设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则PQ的最小值为________.解析PQ的最小值为圆心到直线的距离减去半径.因为圆的圆心为(3，－1)，半径为2，所以PQ的最小值d＝3－(－3)－2＝4.4跟踪训练2解析答案(2)已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3).①求MQ的最大值和最小值；解由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，所以圆心C的坐标为(2,7)，解析答案设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，解析答案例5

设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹.题型三与圆有关的轨迹问题解析答案思维升华解如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，解析答案又N(x＋3，y－4)在圆上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.因此所求轨迹为圆：(x＋3)2＋(y－4)2＝4，思维升华思维升华求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程.②定义法：根据圆、直线等定义列方程.③几何法：利用圆的几何性质列方程.④代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点.(1)求线段AP中点的轨迹方程；解设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y).因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4，故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.跟踪训练3解析答案(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程.解设PQ的中点为N(x，y)，连结BN.在Rt△PBQ中，PN＝BN.设O为坐标原点，连结ON，则ON⊥PQ，所以OP2＝ON2＋PN2＝ON2＋BN2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.解析答案返回思想与方法系列典例在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上，求圆C的方程.思维点拨本题可采用两种方法解答，即代数法和几何法.19.利用几何性质巧设方程求半径思想与方法系列温馨提醒巧妙解法解析答案思维点拨返回规范解答解一般解法(代数法)曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0,1)，故圆的方程是x2＋y2－6x－2y＋1＝0.设圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，温馨提醒巧妙解法所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9.温馨提醒返回(1)一般解法(代数法)：可以求出曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的三个交点，设圆的方程为一般式，代入点的坐标求解析式.(2)巧妙解法(几何法)：利用圆的性质，知道圆心一定在圆上两点连线的垂直平分线上，从而设圆的方程为标准式，简化计算.显然几何法比代数法的计算量小，因此平时训练多采用几何法解题.温馨提醒思想方法

感悟提高1.确定一个圆的方程，需要三个独立条件.“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法，是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数.2.解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算.方法与技巧1.求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程.2.过圆外一定点，求圆的切线，应该有两个结果，若只求出一个结果，应该考虑切线斜率不存在的情况.失误与防范返回练出高分1234567891011121314151.已知点A(1，－1)，B(－1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是_________.解析

AB的中点坐标为(0,0)，∴圆的方程为x2＋y2＝2.x2＋y2＝2解析答案1234567891011121314152.设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若0＜a＜1，则原点与圆的位置关系是___________.解析将圆的一般方程化成标准方程为(x＋a)2＋(y＋1)2＝2a，因为0＜a＜1，所以(0＋a)2＋(0＋1)2－2a＝(a－1)2＞0，所以原点在圆外.原点在圆外解析答案123456789101112131415

解析答案123456789101112131415所以圆M的方程为(x＋1)2＋y2＝4.答案

(x＋1)2＋y2＝4解析由已知，可设圆M的圆心坐标为(a,0)，a＞－2，半径为r，4.点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是_________________.解析设圆上任一点坐标为(x0，y0)，123456789101112131415(x－2)2＋(y＋1)2＝1解析答案123456789101112131415

解析答案123456789101112131415

又圆与直线2x＋y＋1＝0相切，解析答案123456789101112131415所以圆心坐标为(1,2)，则所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5.答案

(x－1)2＋(y－2)2＝51234567891011121314156.若圆C经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是__________________.解析答案7.已知圆O：x2＋y2＝1，直线x－2y＋5＝0上动点P，过点P作圆O的一条切线，切点为A，则

的最小值为________.1234567891011121314154解析答案1234567891011121314158.(2014·湖北)已知圆O：x2＋y2＝1和点A(－2,0)，若定点B(b,0)(b≠－2)和常数λ满足：对圆O上任意一点M，都有MB＝λMA，则(1)b＝________；解析答案123456789101112131415解析因为点M为圆O上任意一点，所以不妨取圆O与x轴的两个交点(－1,0)和(1,0).当M点取(－1,0)时，由MB＝λMA，得|b＋1|＝λ；当M点取(1,0)时，由MB＝λMA，得|b－1|＝3λ.消去λ，得|b－1|＝3|b＋1|.两边平方，化简得2b2＋5b＋2＝0，123456789101112131415(2)λ＝________.解析答案9.一圆经过A(4,2)，B(－1,3)两点，且在两坐标轴上的四个截距的和为2，求此圆的方程.123456789101112131415解析答案解设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，所以x1＋x2＝－D.令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，所以y1＋y2＝－E.由题意知－D－E＝2，即D＋E＋2＝0. ①又因为圆过点A、B，所以16＋4＋4D＋2E＋F＝0. ②1＋9－D＋3E＋F＝0. ③解①②③组成的方程组得D＝－2，E＝0，F＝－12.故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0.123456789101112131415123456789101112131415

解设P(x，y)，圆P的半径为r.则y2＋2＝r2，x2＋3＝r2.∴y2＋2＝x2＋3，即y2－x2＝1.∴P点的轨迹方程为y2－x2＝1.解析答案123456789101112131415

解析答案123456789101112131415解设P的坐标为(x0，y0)，∴y0－x0＝±1，即y0＝x0±1.解析答案123456789101112131415∴圆P的方程为x2＋(y－1)2＝3.∴圆P的方程为x2＋(y＋1)2＝3.综上所述，圆P的方程为x2＋(y±1)2＝3.123456789101112131415

(x－2)2＋(y－1)2＝4解析答案12.设P为直线3x＋4y＋3＝0上的动点，过点P作圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB的面积的最小值为___.123456789101112131415解析依题意，圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心是点C(1,1)，半径是1，解析答案12345678910111213141513.过点P(1,1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为__________.解析当圆心与P的连线和过点P的直线垂直时，符合条件.圆心O与P点连线的斜率k＝1，所求直线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.x＋y－2＝0解析答案12345678910111213141514.已知点A(－3,0)，B(3,0)，动点P满足PA＝2PB.(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；解设点P的坐标为(