轴对称练习题

轴对称练习题

轴对称练习题1.理解轴对称图形和两个图形成轴对称的概念，弄清它们之间的区别和联系，能够识别轴对称图形。2.理解图形成轴对称的性质，能够画一些关于某条直线对称的简单图形。一、填空题1.如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够重合，那么这个图形叫做轴对称图形。这条直线叫做它的对称轴，这时，我们也就说这个图形关于这条直线（或轴）对称。2.把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与自身重合，那么这两个图形叫做关于这条直线对称的。这条直线叫做对称轴，折后重合的点是对称中心，也叫做轴心。3.成轴对称的两个图形的主要性质是：(1)成轴对称的两个图形是相似的；(2)如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对称点的垂直平分线。4.轴对称图形的对称轴是对称图形上任意两个对称点的连线的中垂线。5.(1)角是轴对称图形，它的对称轴是角的平分线；(2)线段是轴对称图形，它的对称轴是线段的中垂线；(3)圆是轴对称图形，它的对称轴是它的直径。二、选择题6.在图1-1中，是轴对称图形的是：C。7.在图1-2的几何图形中，一定是轴对称图形的有：B。8.如图1-3，ΔABC与ΔA'B'C'关于直线l对称，则∠B的度数为：90°。9.将一个正方形纸片依次按图1-4a，b的方式对折，然后沿图c中的虚线裁剪，成图d样式，将纸展开铺平，所得到的图形是图1-5中的：B。10.如图1-6，将矩形纸片ABCD（图①）按如下步骤操作：（1）以过点A的直线为折痕折叠纸片，使点B恰好落在AD边上，折痕与BC边交于点E（如图②）；（2）以过点E的直线为折痕折叠纸片，使点A落在BC边上，折痕EF交AD边于点F（如图③）；（3）将纸片收展平，那么∠AFE的度数为：75°。综合、运用、诊断一、解答题11.请分别画出图1-7中各图的对称轴：(1)正方形的对称轴有两条，分别为对角线；(2)正三角形的对称轴有三条，分别为三条高线；(3)相交的两个圆的对称轴有两条，分别为它们的公切线。12.如图1-8，ΔABC中，AB=BC，ΔABC沿DE折叠后，点A落在BC边上的A'处，若点D为AB边的中点，∠A=70°，求∠BDA'的度数。解：连接BD、BA'，则∠BDA'=∠BDA+∠A'DA。由AB=BC，得∠ABC=∠ACB，所以∠BDA=1/2(180°-∠ABC)=1/2(180°-∠ACB)。由∠A=70°，得∠ABC=180°-2∠A=40°，所以∠BDA=1/2(180°-40°)=70°。由AD=BD，得∠ABD=∠BAD=1/2∠BDA=35°。由∠A'BC=∠ABC=40°，得∠BAC=1/2(180°-∠A'BC)=70°。由∠BAC=∠BDA'+∠A'DA，得∠A'DA=∠BAC-∠BDA'=70°-35°=35°。所以∠BDA'=∠BDA+∠A'DA=70°+35°=105°。13.在图1-9中，我们可以将正方形分割成四个轴对称的部分，使得它们的大小和形状都相同。以下是四种不同的设计方案：（插入四个示意图）14.在图1-10中，我们可以发现每个图形都由一个中心圆和四个小圆构成，而这些小圆都位于中心圆的四个象限上。因此，在横线的空白处，我们可以设计出一个由一个中心圆和四个小圆构成的图形。（插入设计的图形）15.在图1-11中，我们知道点A在y轴上，点D是点A关于直线OB的对称点且在BC上，点E与点O关于直线BC对称，∠OBC＝35°。因此，我们可以知道∠OBD＝35°，∠OBA＝90°，∠DBA＝∠OBD＝35°，∠DCB＝90°。由于点E是点O关于直线BC的对称点，因此∠OEC＝∠OBC＝35°，∠ECB＝∠DCB＝90°。因此，我们可以知道∠OED＝∠OEC＋∠ECB＋∠DBA＝35°＋90°＋35°＝160°。二、填空题1.经过线段的中点并且垂直于线段的直线叫做线段的垂直平分线。2.线段的垂直平分线上的任意一点与这条线段两端的距离相等。3.点M、N分别与线段AB两个端点的距离相等，那么直线MN是线段AB的垂直平分线。4.（1）线段垂直平分线上的点，与这条线段的两端点到该点的距离相等。（2）与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上。（3）不在线段垂直平分线上的点，与这条线段的两端点到该点的距离不相等。（4）与一条线段两个端点距离不相等的点，不在线段的垂直平分线上。（5）综上所述，线段的垂直平分线是与线段两端点距离相等的点的集合。5.（1）ΔPAC≌ΔPBC（2）PA=PB（3）∠APC=90°（4）∠A=∠B6.设AB=x，则AC=x-2。由于BC的垂直平分线交AB于D点，则AD=BD=x/2。又因为ΔACD的周长为14cm，所以AC+CD+AD=14，即x-2+x/2=7，解得x=6。因此，AB=6cm，AC=4cm。7.（1）∠BPC=110°（2）ΔPBC的周长=8cm三、解答题8.线段AB的垂直平分线可以通过以下步骤来画出：（1）以A、B为圆心，以AB的长度为半径画两个圆，交于点C；（2）连接AC、BC，它们就是线段AB的垂直平分线。（插入图2-3）求证：AP·PB=a²-AB²．作法：首先，连接AA'，则AA'⊥l，且AA'=AB.由于A、B在直线l的同侧，所以AP+PB=A'P，即AP+A'P=PB.又因为AA'是l的垂线，所以AP=AA'·sin∠BAA'，PB=AA'·sin∠ABA'，A'P=AA'·sin∠BAA'·sin∠ABA'.因此，AP·PB=AA'²·sin∠BAA'·sin∠ABA'·cos∠BAA'·cos∠ABA'=AA'²·sin²∠BAA'·sin²∠ABA'=(AB²+AA'²-2AB·AA'cos∠BAA')·(AA'²-AB²-2AB·AA'cos∠ABA')=AA'⁴-AB²·AA'²-a²²+2AB²·AA'²=a²-AB².因此，证毕。拓展、探究、思考9．如图3－8，已知正方形ABCD，点P为正方形内部一点，连接AP、BP、CP、DP，求证：（1）AP·CP=BP·DP；（2）当且仅当P在对角线上时，有AP·CP=BP·DP．图3－810．如图3－9，正方形ABCD内接于圆O，点P为圆O内一点，连接AP、BP、CP、DP，求证：（1）AP·CP=BP·DP；（2）当且仅当P在对角线上时，有AP·CP=BP·DP．图3－91.已知点A（2,4）、B（－1,5）、C（－3,－7）、D（6,－8）、E（9,0）、F（0,－2），求它们关于y轴和x轴的对称点的坐标。关于y轴的对称点的坐标：A'（－2,4）、B'（1,5）、C'（3,－7）、D'（－6,－8）、E'（－9,0）、F'（0，－2）关于x轴的对称点的坐标：A''（2，－4）、B''（－1，－5）、C''（－3，7）、D''（6，8）、E''（9，0）、F''（0，2）2.已知线段AB，其中A（－2，1），B（2，3）。（1）关于x轴对称的线段为A1B1，A1（－2，－1），B1（2，－3）；关于y轴对称的线段为A2B2，A2（2，1），B2（－2，3）。（2）关于直线x＝－1的对称线段为A3B3，A3（－3，1），B3（－1，3）；关于直线y＝4的对称线段为A4B4，A4（2，5），B4（－2，3）。3.如图4-3，已知四边形ABCD的顶点坐标分别为A(1,1)，B(5,1)，C(5,4)，D(2,4)，求四边形ABCD关于x轴、y轴对称的四边形A1B1C1D1和A2B2C2D2的顶点坐标。改写：已知四边形ABCD的顶点坐标为A(1,1)，B(5,1)，C(5,4)，D(2,4)。求四边形ABCD关于x轴、y轴对称的四边形A1B1C1D1和A2B2C2D2的顶点坐标。4.如图4-4，已知ΔABC中，点A的坐标为(2,1)，点C的坐标为(4,3)，点B的坐标为(3,1)，如果要使ΔABD与ΔABC全等，求点D的坐标。改写：已知ΔABC中，点A的坐标为(2,1)，点C的坐标为(4,3)，点B的坐标为(3,1)。求点D的坐标，使得ΔABD与ΔABC全等。5.如图4-5，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线。实验与探究：（1）由图观察易知A(1,2)关于直线l的对称点A'的坐标为(2,1)，请在图中分别标明B(5,3)、C(-2,5)关于直线l的对称点B'、C'的位置，并写出它们的坐标：B'_____(4,1)、C'_____(1,-2)；归纳与发现：（2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P(a,b)关于第一、三象限的角平分线l的对称点P'的坐标为(b,a)（不必证明）；运用与拓广：（3）已知两点D(1,-3)、E(-1,-4)，试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小，并求出Q点坐标。改写：如图4-5，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线。实验与探究：（1）观察易知A(1,2)关于直线l的对称点A'的坐标为(2,1)，请在图中标明B(5,3)、C(-2,5)关于直线l的对称点B'、C'的位置，并写出它们的坐标：B'为(4,1)、C'为(1,-2)；归纳与发现：（2）结合图形观察以上三组点的坐标，发现坐标平面内任一点P(a,b)关于第一、三象限的角平分线l的对称点P'的坐标为(b,a)（不必证明）；运用与拓广：（3）已知两点D(1,-3)、E(-1,-4)，在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小，并求出Q点坐标。5.等腰三角形的周长为10cm，一边长为3cm，则另外两边长分别为2.5cm。6.等腰三角形一个角为70°，则其他两个角分别是55°。7.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是20°，则等腰三角形的底角等于140°。8.等腰直角三角形的底边长为5cm，则它的面积是12.5cm²。9.等腰三角形的两边长分别为25cm和13cm，则它的周长是63cm。10.△ABC中，AB＝AC，D是AC上一点，且AD＝BD＝BC，则∠A等于90°。11.因为AB＝AC，AD＝AE，且BD＝CE（已知），所以△ABD≌△ACE（SAS），从而BD＝CE。12.观察可得，△ADE和△BDE都是等腰三角形，且DE＝DE，因此∠BED＝∠AED＝∠BED（等角），从而∠B＝2∠BED（三角形内角和定理），即∠B＝72°。13.观察可得，△ADE和△ABC都是等腰三角形，且AD＝AE，因此BD＝CE（等角），而DE＝DE，从而△BED≌△CED（SAS），从而BD＝CE。14.(1)观察可得，DE＝DE，AE＝BF，且∠AED＝∠BFD（对顶角），因此△AED≌△BFD（SAS），从而DE＝DF。(2)观察可得，DE＝DF，且∠EDF＝90°（三角形内角和定理），因此△DEF是等腰直角三角形。15.(1)M点和N点分别是PQ的中点。(2)M点的坐标为(2.5,0)，N点的坐标为(0,2.5)。四边形PQMN的周长为8.8284cm。填空题：1.等腰三角形的判定定理是：两边相等的三角形是等腰三角形。2.AC=5cm。3.AC=4cm。4.AD=2cm。图6－3和图6－4无法显示，无法回答相关问题。5.在四边形ABCD中，AB=AD，且∠B=∠D，CD=1.8cm，求BC的长度。6.在三角形ABC中，BO和CO分别平分∠ABC和∠ACB，OM∥AB，ON∥AC，BC=10cm，求三角形OMN的周长。7.在三角形ABC中，CD平分∠ACB，DE∥BC交AC于E，DE=7cm，AE=5cm，求AC的长度。8.在三角形ABC中，AB=AC，BD是角平分线，且∠A=36°，求图中等腰三角形的个数。9.判断以下命题的真假：(1)有两个内角分别是70°、40°的三角形是等腰三角形。(假)(2)平行于等腰三角形一边的直线所截得的三角形仍是等腰三角形。(真)(3)有两个内角不等的三角形不是等腰三角形。(真)(4)如果一个三角形有不在同一顶点处的两个外角相等，那么这个三角形是等腰三角形。(假)二、证明题10.已知在三角形ABC中，BC边上有D、E两点，且∠1=∠2，∠3=∠4。证明三角形ABC是等腰三角形。11.已知在三角形ABC中，AB=AC，E在CA的延长线上，ED⊥BC。证明AE=AF。12.已知在直角三角形ABC中，CD⊥AB于D，BF平分∠ABC交CD于E，交AC于F。证明CE=CF。13.在三角形ABC中，∠BAC=60°，∠ACB=40°，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分别为∠BAC、∠ABC的角平分线。证明BQ+AQ=AB+BP。三、拓展题14.在平面上给定两个点A和B，求出能构成等腰直角三角形ABC的点C的个数，并画出C点的位置。15.对于顶角∠A为36°的等腰三角形ABC，请设计三种不同的分法，将三角形ABC分割成三个等腰三角形。3.在图7-3中，如果AB=AC，AD=BD，AC=CD，则∠BAC应该是60度。4.在图7-4中，如果∠ABC=120度，点D和E分别在AC和AB上，且AE=ED=DB=BC，则∠A的度数应该是80度。5.在图7-5中，如果ΔABC是等腰直角三角形，BD平分∠ABC，DE⊥BC于点E，且BC=10cm，则△DCE的周长应该是20cm。6.根据(a-b)(b-c)(c-a)=0，可以得出a=b=c，即等边三角形。7.轴对称图形的三角形一定是等腰三角形。8.在图7-6中，如果AB=AC，∠BAC=108度，若AD、AE三等分∠BAC，则图中等腰三角形有6个。9.根据题意，得到|a-b+2|+(2a+3b-11)=0，解得a=2，b=3，因此此等腰三角形的周长为2+2×3=8。10.在图7-7中，如果AB=AC，BE=CD，BD=CF，则∠EDF=90度。11.由已知条件可得∠B=∠EAC，因此∠AEB=180度-∠B=∠EAC+∠AEC。又因为AD是∠BAC的平分线，所以∠BAD=∠CAD，进而可得∠EAF=∠EAC+∠CAD=∠AEB/2，即EF平分∠AEB。12.因为CE是角平分线，所以∠ECB=∠ACB/2，又因为∠EGF=∠ECB，所以∠EGF=∠ACB/2。又因为EF∥BC，所以∠EFB=∠ACB，因此∠EFG=∠EFB-∠EGF=∠ACB/2。又因为∠ECG=∠ACB/2，所以△ECG与△EFG相似，因此EG/CG=FG/EG，即EG²=CG×FG。由于CE是角平分线，所以CG=AB/2，又因为AB=AC，所以CG=BC/2，因此EG²=BC/2×FG。又因为EF∥BC，所以△EFG与△EDF相似，因此FG/EF=EF/DF，即EF²=FG×DF。综上所述，可以得到EG²=BC/2×EF²/DF，即EG²/EF²=BC/2DF。13.(1)∠MAB和∠NBA的平分线交于点E，因此∠AEB是90度。(2)观察可得DE=CE，因此△EDC是等腰三角形，进而可得∠EDC=∠ECD。又因为AM∥BN，所以∠MAD=∠NBE。因此∠AED=∠BEC，即△AED与△BEC相似。由此可得AD/BE=AE/BC，即AD=AE×BC/BE。同理可得BC=BD×AC/AD。将BC代入上式可得AD=AE×BD/AC。又因为AB∥MN，所以AE/BD=AM/MN=AN/MN，进而可得AD=AC×AN/BC。因此AD=AE×BD/AC=AC×AN/BC，即AD=AN。(3)由于AD=AN，所以AD+BC=AN+BC=AB。14.(1)因为AB=AC，所以∠BAC=80度，又因为BE是∠B的平分线，所以∠ABE=∠CBE=40度。因此△ABE与△CBE相似，进而可得AE/BC=BE/AB，即BC=AE/BE×AB=AE/(2sin40度)×2cos40度=AE/sin40度=AC。(2)因为∠A=108度，所以∠B=∠C=36度，又因为BE是∠B的平分线，所以∠ABE=∠CBE=18度。因此△ABE与△CBE相似，进而可得AE/BC=BE/AB，即BC=AE/BE×AB=AE/(2sin18度)×2cos18度=AE/(2sin18度)×(1+√5)/2。因此BC=AE/(2sin18度)×(1+√5)/2=AC/(1+√5)。边三角形AOE和DOF，连接EF．证明：三角形ABC与三角形DEF全等．（2）如果将图8－7中的等边三角形AOE和DOF改为等腰三角形，结论还成立吗？为什么？图8－713．如图8－8，ABCD是正方形，E、F分别是BC和CD的中点，连接AE、BF和AF．（1）证明：三角形ABF与三角形AFC全等；（2）求证：BE＝AF．（3）如果将正方形ABCD改为矩形，结论还成立吗？为什么？图8－8测试8等边三角形学习要求：掌握等边三角形的性质和判定方法。课堂学习检测一、填空题1.三边相等的三角形叫做等边三角形。2.等边三角形除了一般等腰三角形的性质外，还有以下特有性质：（1）边的性质：三边相等；（2）角的性质：三个角都是60度；（3）对称性：等边三角形是正多边形，有三条对称轴。3.等边三角形的判定方法：（1）三边相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都是60度的三角形是等边三角形；（3）三角形的一个角和一边的两个角相等的等腰三角形是等边三角形。4.含30度角的直角三角形的一个主要性质是斜边等于短直角边的根号3倍。5.判断下列命题的真假：①有一个外角是120度的等腰三角形是等边三角形。（假）②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形。（假）③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形。（真）④三个外角都相等的三角形是等边三角形。（真）6.已知：如图8-1，ΔABC是等边三角形，AE⊥BC于E，AD⊥CD于D，若AB∥CD，则图中60度的角有2个。7.如图8-2，B、C、D在一直线上，ΔABC、ΔADE是等边三角形，若CE=15cm，CD=6cm，则AC=21cm，∠ECD=120度。8.如图8-3，已知ΔABC中，AB=AC，∠BAC=120度，DE垂直平分AC交BC于D，垂足为E，若DE=2cm，则BC=4cm。综合、运用、诊断解答题9.已知：如图8-4，ΔABC和ΔBDE都是等边三角形。（1）求证：