2016年全国初中数学联合竞赛试题 (含答案)

2016年全国初中数学联合竞赛试题(含答案)

2016年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1.用$[x]$表示不超过$x$的最大整数，把$x-[x]$称为$x$的小数部分。已知$t=\frac{1}{2}-\frac{3}{11}$的小数部分，$b$是$-t$的小数部分，则$\frac{1}{2}+b-a=\frac{3}{11}$，其中$a$是$t$的小数部分，则（）A.$\frac{13}{22}$B.$-\frac{1}{3}$C.$1$D.$3$2.三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书30本，那么不同的购书方案有（）A.9种B.10种C.11种D.12种3.已知二次函数$y=ax^2+bx+1(a\neq0)$的图像的顶点在第二象限，且过点$(1,0)$。当$2a-b$为整数时，$ab$等于（）A.$-\frac{1}{3}$B.$-\frac{1}{4}$C.$-2$D.$-3$4.已知$\odotO$的半径$OD$垂直于弦$AB$，交$AB$于点$C$，连接$AO$并延长交$\odotO$于点$E$，若$AB=8,CD=2$，则$\triangleBCE$的面积为（）A.$12$B.$15$C.$16$D.$18$5.如图，在四边形$ABCD$中，$\angleBAC=\angleBDC=90^{\circ}$，$AB=AC=5,CD=1$，对角线的交点为$M$，则$DM=$（）A.$\frac{3\sqrt{5}}{2}$B.$\frac{2\sqrt{3}}{3}$C.$2$D.$\frac{2\sqrt{2}}{3}$6.设实数$x,y,z$满足$x+y+z=1$，则$M=xy+2yz+3xz$的最大值为（）A.$123$B.$2$C.$3$D.$4$二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1.【1(A)、2(B)】已知$\triangleABC$的顶点$A,C$在反比例函数$y=\frac{1}{x}$上，$\angleACB=90^{\circ},\angleABC=30^{\circ},AB\perpx$轴，点$B$在点$A$的上方，且$AB=6$，则点$C$的坐标为$\left(2\sqrt{3},\frac{1}{2\sqrt{3}}\right)$。1.已知三角形ABC，AD和AM分别是最大边BC的高线和中线，且它们恰好将角BAC三等分，AD=3，则AM=（）。A.2B.3C.4D.6E.92.在四边形ABCD中，BC∥AD，CA平分∠BCD，O为对角线AC和BD的交点，CD=AO，BC=OD，则∠ABC=（）。A.45°B.60°C.75°D.90°E.120°3.有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数，这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的3倍，这个六位数是（）。A.123354B.123444C.123534D.124254E.1256644.将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入一个数），使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2。考虑每列中各数之和，设这5个和的最小值为M，则M的最大值为（）。A.45B.46C.47D.48E.49二、填空题（本题满分20分，每小题4分）1.已知a,b为正整数，求M=3a-ab-2b-4能取到的最小正整数值。答案：82.如图，点C在以AB为直径的圆O上，CD⊥AB于点D，点E在BD上，AE=AC，四边形DEFM是正方形，AM的延长线与圆O交于点N。证明：FN=DE。答案：略3.已知正实数x,y,z满足：xy+yz+zx≠1，且(x2-1)(y2-1)(y2-1)(z2-1)(z2-1)(x2-1)÷(xy+yz+zx)=4。(1)求(x+y+z)/(xy+yz+zx)的值。答案：3(2)证明：9(x+y)(y+z)(z+x)≥8xyz(xy+yz+zx)。答案：略4.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=5，D为BC边上异于中点的点，点C关于直线AD的对称点为点E，EB的延长线与AD的延长线交于点F，求AD×AF的值。答案：25三、解答题（本题满分18分）已知正整数n满足n=2a×3b×5c（其中a、b、c为非负整数），且n的所有正因数的和为2400。求n的值。答案：360(13-11)(2k+1)2-(2k-1)2=8k，其中k=0,1,2,…,9，故所求和为8×(0+1+2+…+9)=8×45=360，故选B。4(B).下列说法正确的是（）A.在平面直角坐标系中，所有的一次函数的图象都是直线B.在平面直角坐标系中，所有的直线的解析式都是一次函数C.在平面直角坐标系中，所有的二次函数的图象都是抛物线D.在平面直角坐标系中，所有的抛物线的解析式都是二次函数【答案】B.【解析】一次函数的解析式为y=kx+b，它的图象是一条直线；而一条直线的解析式可以表示为y=kx+b，其中k和b为常数，它是一次函数的解析式，故选B。其他选项都是错误的，例如，二次函数的图象是抛物线或直线段，而不是所有的都是抛物线；抛物线的解析式可以表示为y=ax2+bx+c，其中a≠0，它是二次函数的解析式，但不是所有的抛物线的解析式都是二次函数。利用均值不等式，有M=xy+2yz+3xz≤x2+y2+z2+2y2+2z2+3x2=(x+2y+3z)2-2(y+z)2由于x+y+z=1，所以x+2y+3z≤√(14(x2+y2+z2))≤√(14(x+y+z)2/3)=√(14/3)又因为(y+z)2≤2(y2+z2)，所以-2(y+z)2≤-4(y2+z2)综上所述，M≤(14/3)-4(y2+z2)当y=z=1/4，x=1/2时，取等号，即M的最大值为1。在RtΔADM中，AM=AD^2+DM^2=2.(2)若∠ABC<∠ACB时，如答案图2所示。同理可得AM=2.综上所述，AM=2.2(A)。在四边形ABCD中，BC∥AD，CA平分∠BCD，O为对角线的交点，CD=AO，BC=OD，则∠ABC=126.【解析】设∠OCD=α，∠ADO=β，∠OCD=∠OCB=α，BC∥AD，∠ADO=∠OBC=β，∠DAO=∠OCB=α，(第2题答案图)，∴∠OCD=∠DAO=α，∴AD=CD，CD=AO，∴AD=AO，∴∠ADO=∠AOD=∠BOC=∠OBC=β，∴OC=BC，BC=OD，∴OC=OD，∴∠ODC=∠OCD=α，∴∠BOC=∠ODC+∠OCD，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，∴β=2α，α+2β=180，解得α=36，β=72，∴∠DBC=∠BCD=72，180°-β=54°，∴BD=CD=AD，∴∠ABD=∠BAD=126。3.【3(A)、4(B)】有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数，这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的3倍，这个六位数是。【解析】设两个三位数分别为x,y，则1000x+y=3xy，①，∴y=(3y-1000)x，故y是x的正整数倍，不妨设y=tx（t为正整数），代入①得1000+t=3tx，∴x=1000+t/3，x是三位数，∴x≥100，解得t≤2999/3，∴t为正整数，∴t的可能取值为1,2,3。验证可知，只有t=2符合，此时x=167，y=334，∴所求的六位数为167334。3(B).若质数p、q满足：3q-p-4=0，p+q<111，则pq的最大值为。【解析】由3q-p-4=0得，p=3q-4，∴pq=q(3q-4)=3q^2-4q=3(q-4/3)^2-16/3，因q为质数，故pq的值随着质数q的增大而增大，当且仅当q取得最大值时，pq取得最大值。又p+q<111，∴3q-4+q<111，∴q<28，因q为质数，故q的可能取值为2,3,5,7,11,13,17,19,23，验证可知，只有q=23时，pq取得最大值，此时p=3q-4=65，∴pq的最大值为1007。23,19,17,13,11,7,5,3,2，当q=23时，p=3q-4=65=5×13不是质数，舍去。当q=19时，p=3q-4=53恰为质数。故qmax=19，(pq)max=53×19=1007.题目要求将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个5行5列的表格内，使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2。考虑每列中各数之和，设这5个和的最小值为M，则M的最大值为10。另一方面，可以构造如下表：1114511245222453345455453这个表符合要求，且每列和均为10。所以M的最大值为10。题目给出a,b为正整数，求M=3a-ab-2b-4能取到的最小正整数值。解：因a,b为正整数，要使得M=3a-ab-2b-4的值为正整数，则有a≥2。当a=2时，b只能为1，此时M=4。故M能取到的最小正整数值不超过4。当a=3时，b只能为1或2。若b=1，M=18；若b=2，则M=7。当a=4时，b只能为1或2或3。若b=1，M=38；若b=2，M=24；若b=3，则M=2。下面考虑M=3a-ab-2b-4的值能否为1。假设M=1，则3a-ab-2b-4=1，即3a-ab=2b+5。因为b为正整数，所以2b+5为奇数，从而a为奇数，b为偶数。不妨设a=2m+1，b=2n，其中m,n均为正整数，则：a(3a-b^2)=2b+52(2m+1)(6m-2n+1)=4n+5(2m+1)(6m-2n+1)=2n+23m^2-(n-1)m-n=0由于m,n均为正整数，所以上式左边为正整数，但右边为负整数，矛盾。所以M不能取1。$n+1=4n+1$即$a(3a-b^2)$被4整除余3，而$2b+5=2(2)$被4整除余1，故式①不可能成立，因此$M\neq1$。所以，$M$能取到的最小正整数值为2。证明：连接$BC$、$BN$，$\angleACB=\angleANB=\angleADC=90^\circ$。由$\angleCAB=\angleDAC$，$\angleACB=\angleADC$，$\triangleACB\sim\triangleADC$，故$\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{AD}{AC}$，即$AC^2=AD\cdotAB$。由四边形$DEFM$是正方形及$CD\perpAB$于点$D$可知：点$M$在$CD$上，$DE=DM=EF=MF$。因此，$\angleNAB=\angleDAM$，$\angleANB=\angleADM$，$\triangleANB\sim\triangleADM$，$\dfrac{AN}{AB}=\dfrac{AD}{AM}$，即$AD\cdotAB=AM\cdotAN$，$\becauseAE=AC$，$\thereforeAE^2=AM\cdotAN$。以$F$为圆心、$FE$为半径作$\odotF$，与直线$AM$交于另一点$P$，则$\odotF$与$AB$切于点$E$，以点$F$为圆心、$AE$是$\odotF$的切线，直线$AMP$是$\odotF$的割线，故由切割线定理得$AE=AM\cdotAP$。因此，点$N$与点$P$重合，点$N$在$\odotF$上，故$FN=FE=DE$。已知：$a+b+c=5$，$a^2+b^2+c^2=15$，$a+b+c=47$。求$(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2)$的值。由已知得$ab+bc+ca=\dfrac{1}{2}[(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)]=5$。由恒等式$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$得$47-3abc=5\times(15-5)$，$\thereforeabc=-1$。又$a^2+ab+b^2=(a+b+c)(a+b)-(ab+bc+ca)=5(5-c)-5=5(c-1)$，同理可得$b^2+bc+c^2=5(4-a)$，$c^2+ca+a^2=5(4-b)$。故原式$=5(4-a)(4-b)(4-c)=125[64-16(a+b+c)+4(ab+bc+ca)-abc]^3=125\times[64-16\times5+4\times5-(-1)]^3=625$。已知正实数$x,y,z$满足$xy+yz+zx\neq1$，且$$\frac{(x^2-1)(y^2-1)(y^2-1)}{xyz}+\frac{(z^2-1)(z^2-1)(x^2-1)}{xyz}=4.$$求$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}.$$证明：由等式$$\frac{(x^2-1)(y^2-1)(y^2-1)}{xyz}+\frac{(z^2-1)(z^2-1)(x^2-1)}{xyz}=4,$$去分母得$$z(x^2-1)(y^2-1)+x(y^2-1)(z^2-1)+y(z^2-1)(x^2-1)=4xyz,$$$$2x^2y^2z^2+xy^2z^2+x^2yz^2-[x(y+z)+y(z+x)+z(x+y)+3xyz]+(x+y+z)-xyz=0,$$$$xyz(xy+yz+zx)-(x+y+z)(xy+yz+zx)+(x+y+z)-xyz=0,$$