2021-2022学年辽宁省大连市第三十七中学高三数学理期末试卷含解析

2021-2022学年辽宁省大连市第三十七中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.双曲线：的左、右焦点分别为，渐近线分别为，点P在第一象限内且在上，若，则该双曲线的离心率为A．

B．2

C．

D．参考答案：B2.已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是圆，且该几何体的体积为；直径为2的球的体积为．则A．

B．

C．D.参考答案：B3.某算法的程序框图如图所示，如果输出的结果为，则判断框内的条件应为 (A) (B) (C) (D)参考答案：C4.命题“?x∈R，x2﹣4x+4≥0”的否定是（）A．?x∈R，x2﹣4x+4＜0 B．?x?R，x2﹣4x+4＜0C．?x0∈R，x02﹣4x0+4＜0D．?x0R，x02﹣4x0+4＜0参考答案：C【考点】命题的否定．【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行求解．【解答】解：全称命题的否定是特称命题，则命题的否定是：?x0∈R，x02﹣4x0+4＜0，故选：C【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．5.甲、乙两棉农，统计连续五年的面积产量（千克∕亩）如下表：棉农甲6872706971棉农乙6971686869则平均产量较高与产量较稳定的分别是（）A．棉农甲，棉农甲 B．棉农甲，棉农乙C．棉农乙，棉农甲 D．棉农乙，棉农乙参考答案：B【考点】极差、方差与标准差．【分析】根据所给的两组数据，写出两个人的平均数，再做出两个人产量的方差，把两组数据的平均数和方差进行比较，得到结论．甲的平均数较高，乙的产量比较稳定，【解答】解：甲的平均数乙的平均数=69，甲的方差是乙的方差是比较两组数据的平均数和方差，得到甲的平均数较高，乙的产量比较稳定，故选B．6.设a，b是空间中不同的直线，，是不同的平面，则下列说法正确的是（

）A.，，则 B.，，，则C.，，，，则 D.，，则参考答案：D分析：在A中，a∥或a?；在B中，a与b平行或异面；在C中，与相交或平行；在D中，由面面平行的性质定理得a∥．详解：由a，b是空间中不同直线，，是不同的平面，知：在A中，a∥b，b?，则a∥或a?，故A错误；在B中，a?，b?，∥，则a与b平行或异面，故B错误；在C中，a?，b?，∥，b∥β，则与相交或平行，故C错误；在D中，∥，a?，则由面面平行的性质定理得a∥，故D正确．故选：D．点睛：本题考查线面位置关系的判断，考查空间想象能力，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．7.已知复数,是的共轭复数,则等于(

)A.16

B.4

C.1

D.参考答案：C8.一个算法的程序框图如下图所示，若该程序输出的结果为，则判断框中应填入的条件是（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：D略9.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sm﹣1=5，Sm=﹣11，Sm+1=21，则m=(

) A．3 B．4 C．5 D．6参考答案：C考点：等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：根据等比数列的通项公式和前n项和公式，建立方程组即可解得m的值．解答： 解：在等比数列中，∵Sm﹣1=5，Sm=﹣11，Sm+1=21，∴am=Sm﹣Sm﹣1=﹣11﹣5=﹣16，am+1=Sm+1﹣Sm=21﹣（﹣11）=32，则公比q=，∵Sm=﹣11，∴，①又，②两式联立解得m=5，a1=﹣1，故选：C．点评：本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式的计算和应用，考查学生的计算能力．10.已知O为原点，P为椭圆(a为参数)上第一象限内一点，OP的倾斜角为，则点P坐标为(

).A.(2,3)

B.(4,3)

C.(2,)

D.(,)参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数则

▲

．参考答案：2f(-9)=f(-9+10)=f(1)=3-1=212.已知恰有两条不同的直线与曲线和都相切，则实数p的取值范围是__________．参考答案：(0,2)【分析】设曲线的切点为（），其切线,的切点坐标为（），【详解】设曲线的切点为（），的切点坐标为（），,∴①切线方程为y-且过点（），故-②由①②得,故有两解，由①知，若不合题意；所以必有,即在有两解，令f(x)=,在（）单减，在（2，+）单增，的最小值为，又故,解0<p<2故答案为【点睛】本题考查导数的几何意义，导数与函数最值，函数与方程零点问题，转化化归能力，考查计算能力，是难题13.非空集合G关于运算满足：（1）对任意的都有(2)存在都有则称G关于运算为“融洽集”。现给出下列集合和运算：①

G＝｛非负整数｝，为整数的加法。②

G＝｛偶数｝，为整数的乘法。③

G＝｛平面向量｝，为平面向量的加法。④

G＝｛二次三项式｝，为多项式的加法。⑤

G＝｛虚数｝，为复数的乘法。其中G关于运算为“融洽集”的是________。（写出所有“融洽集”的序号）参考答案：答案：①③解析：非空集合关于运算满足：（1）对任意，都有；（2）存在，使得对一切，都有，则称关于运算为“融洽集”；现给出下列集合和运算：①,满足任意，都有，且令，有，所以①符合要求；②,若存在，则，矛盾，∴②不符合要求；③,取，满足要求，∴③符合要求；④，两个二次三项式相加得到的可能不是二次三项式，所以④不符合要求；⑤，两个虚数相乘得到的可能是实数，∴⑤不符合要求，这样关于运算为“融洽集”的有①③。14.为了解一大片经济林的生长情况，随机测量其中若干株树木的底部周长(单位：cm)，其数据绘制的频率分布直方图如图，则估计该片经济林中底部周长在[98，104)中的树木所占比例为

.

参考答案：75%

略15.设（是虚数单位），则=_____________.参考答案：i略16.我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值线一.凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为，则，当时，

．参考答案：30∵，∴，∴．故答案为30．

17.如图所示，三棱锥P﹣ABC中，△ABC是边长为3的等边三角形，D是线段AB的中点，DE∩PB=E，且DE⊥AB，若∠EDC=120°，PA=，PB=，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为

．参考答案：13π【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【分析】由题意得PA2+PB2=AB2，即可得D为△PAB的外心，在CD上取点O1，使O1为等边三角形ABC的中心，在△DEC中，过D作直线与DE垂直，过O1作直线与DC垂直，两条垂线交于点O，则O为球心，在△DEC中求解OC，即可得到球半径，【解答】解：由题意，PA2+PB2=AB2，因为，∴AD⊥面DEC，∵AD?PAB，AD?ABC，∴面APB⊥面DEC，面ABC⊥面DEC，在CD上取点O1，使O1为等边三角形ABC的中心，∵D为△PAB斜边中点，∴在△DEC中，过D作直线与DE垂直，过O1作直线与DC垂直，两条垂线交于点O，则O为球心．∵∠EDC=90°，∴，又∵，∴OO1=，三棱锥P﹣ABC的外接球的半径R=，三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为4πR2=13π，故答案为：13π．【点评】本题考查了几何体的外接球的表面积，解题关键是要找到球心，求出半径，属于难题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某民营企业生产A，B两种产品，根据市场调查和预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润与投资单位是万元）（1）分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数，并写出它们的函数关系式。（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A，B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元。（精确到1万元）。参考答案：19.已知椭圆C1：+x2=1（a＞1）与抛物线C：x2=4y有相同焦点F1．（Ⅰ）求椭圆C1的标准方程；（Ⅱ）已知直线l1过椭圆C1的另一焦点F2，且与抛物线C2相切于第一象限的点A，设平行l1的直线l交椭圆C1于B，C两点，当△OBC面积最大时，求直线l的方程．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）求出抛物线的F1（0，1），利用椭圆的离心率，求出a、b即可求解椭圆方程．（Ⅱ）F2（0，﹣1），由已知可知直线l1的斜率必存在，联立方程组，利用相切求出k，然后利用直线的平行，设直线l的方程为y=x+m联立方程组，通过弦长公式点到直线的距离求解三角形的面积，然后得到所求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线x2=4y的焦点为F1（0，1），∴c=1，又b2=1，∴∴椭圆方程为：+x2=1．

…（Ⅱ）F2（0，﹣1），由已知可知直线l1的斜率必存在，设直线l1：y=kx﹣1由消去y并化简得x2﹣4kx+4=0∵直线l1与抛物线C2相切于点A．∴△=（﹣4k）2﹣4×4=0，得k=±1．…∵切点A在第一象限．∴k=1…∵l∥l1∴设直线l的方程为y=x+m由，消去y整理得3x2+2mx+m2﹣2=0，…△=（2m）2﹣12（m2﹣2）＞0，解得．设B（x1，y1），C（x2，y2），则，．…又直线l交y轴于D（0，m）∴…=当，即时，．…所以，所求直线l的方程为．…【点评】本题主要考查椭圆、抛物线的有关计算、性质，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查运算求解能力及数形结合和化归与转化思想．20.已知函数．（1）求的解集；（2）若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围．参考答案：（1）由，得，即或或即有或或，解得，∴的解集为．（2），当且仅当时，取等号．由不等式对任意实数恒成立，可得，即，即或或解得或，故实数的取值范围是．21.（本小题满分12分）在中，角，，对应的边分别是，，。已知.（I）求角的大小；（II）若的面积，，求的值.参考答案：解：（I）由已知条件得：……2分，……4分解得，角

……6分（II），……8分

由余弦定理得：，

……10分.