2021年山东省潍坊市东明高级中学高三数学文联考试题含解析

2021年山东省潍坊市东明高级中学高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是（A）

（B）

（C） （D）参考答案：【答案解析】A

解析：经过变换后的新函数为，而对称轴是函数取得最值的x值，经检验选项A成立，所以选A.【思路点拨】先依题意得到变换后的新函数，再根据对称轴的意义确定选项.2.已知将函数向右平移个单位长度后,所得图象关于y轴对称，且,则当取最小值时，函数f(x)的解析式为(

)A．

B.C.D.

参考答案：C3.复数的共轭复数

V

A.

B.

C.

D.参考答案：A4.若函数与互为反函数，则函数大致图象为参考答案：D5.已知是定义在上的奇函数，且当x<0时不等式成立，若，，则大小关系是A．

B．c>b>a

C．

D．c>a>b参考答案：D6.函数的零点所在的大致范围是

A．（1,2）

B．（2,3）

C．（，1）和（3,4）

D．（e，+）

参考答案：B略7.双曲线的两条渐近线与直线围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是A. B. C. D.参考答案：8.设偶函数满足,则（

）A.

B.C.

D.参考答案：B9.已知｜a｜＝1，｜b｜＝2，向量a与b的夹角为，c＝a＋2b，则｜c｜＝（）A、B、C、2D、3参考答案：A

。10.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为线段CD和A1B1上的动点，且满足，则四边形所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和（）A.有最小值 B.有最大值 C.为定值3 D.为定值2参考答案：D【分析】分别在后，上，左三个平面得到该四边形的投影，求其面积和即可．【详解】依题意，设四边形D1FBE的四个顶点在后面，上面，左面的投影点分别为D'，F'，B'，E'，则四边形D1FBE在上面，后面，左面的投影分别如上图．所以在后面的投影的面积为S后=1×1=1，在上面的投影面积S上=D'E'×1=DE×1=DE，在左面投影面积S左=B'E'×1=CE×1=CE，所以四边形D1FBE所围成的图形（如图所示阴影部分）分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和S=S后+S上+S左=1+DE+CE=1+CD=2．故选：D．【点睛】本题考查了正方体中四边形的投影问题，考查空间想象能力．属于中档题．

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设数列{an}共有4项，满足a1＞a2＞a3＞a4≥0，若对任意的i，j（1≤i≤j≤4，且i，j∈N*），ai﹣aj仍是数列{an}中的某一项．现有下列命题：①数列{an}一定是等差数列；②存在1≤i＜j≤4，使得iai=jaj；③数列{an}中一定存在一项为0．其中，真命题的序号有

．（请将你认为正确命题的序号都写上）参考答案：①②③【考点】数列递推式．【分析】根据题意：对任意i，j（1≤i≤j≤4），有ai﹣aj仍是该数列的某一项，因此0∈{an}，即a4=0，进而推出数列的其它项，可得答案．【解答】解：根据题意：对任意i，j（1≤i≤j≤4），有ai﹣aj仍是该数列的某一项，令i=j，则0为数列的某一项，即a4=0，则a3﹣a4=a3∈{an}，（a3＞0）．必有a2﹣a3=a3，即a2=2a3，而a1﹣a2=a2或a3，若a1﹣a2=a2，则a1﹣a3=3a3，而3a3≠a2，a3，a4，舍去；若a1﹣a2=a3∈{an}，此时a1=3a3，可得数列{an}为：3a3，2a3，a3，0（a4＞0）；据此分析选项：易得①②③正确；故答案为：①②③12.已知A，B，C三点都在体积为的球O的表面上，若AB=4，∠ACB=30°，则球心O到平面ABC的距离为

．参考答案：3【考点】M1：空间向量的概念．【分析】设球的半径为R，则=，解得R．设△ABC的外接圆的半径为r，2r=，解得r．可得球心O到平面ABC的距离d=．【解答】解：设球的半径为R，则=，解得R=5．设△ABC的外接圆的半径为r，2r===8，解得r=4．∴球心O到平面ABC的距离d===3．故答案为：3．13.（几何证明选讲选做题）如图3，在⊙O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥BC，垂足为F，若AB=6，CF·CB=5，则AE=

。参考答案：略14.在△ABC中，B=中，且,则△ABC的面积是_____参考答案：615.定义符号函数，若函数，则满足不等式的实数的取值范围是

．参考答案：(－3,1)

16.如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知四边形ABCD是直角梯形，∠BAD＝90°，AB∥CD，AB＝AD＝AA1＝1，CD＝2，E为BB1的中点，则直线AD与直线CE所成角的正切值为

▲

．参考答案：17.已知椭圆的焦点是双曲线的顶点，双曲线的焦点是椭圆的长轴顶点，若两曲线的离心率分别为则______.参考答案：1略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.将编号为1，2，3,4的四个小球，分别放入编号为1,2,3,4的四个盒子，每个盒子中有且仅有一

个小球．若小球的编号与盒子的编号相同，得1分，否则得0分．记为四个小球得分总和．

（1)求=2时的概率；

(2)求的概率分布及数学期望．参考答案：（1）（2）

略19.已知直线经过点,倾斜角.（1）写出直线的参数方程；（2）设与圆相交与两点，求点到两点的距离之积.参考答案：（1）直线的参数方程为，即．

（2）把直线代入，得，，

则点到两点的距离之积为．

20.（14分）已知常数，在矩形ABCD中，，，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且，P为GE与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由参考答案：解析：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到定点距离的和为定值.按题意有A（－2，0），B（2，0），C（2，4a），D（－2，4a）设，由此有E（2，4ak），F（2－4k，4a），G（－2，4a－4ak）.直线OF的方程为：，

①直线GE的方程为：.②从①，②消去参数k，得点P（x，y）坐标满足方程，整理得.当时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点.当时，点P轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长.当时，点P到椭圆两个焦点的距离之和为定值.当时，点P到椭圆两个焦点的距离之和为定值.21.如图,某市拟在长为的道路的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段,该曲线段为函数的图象,且图象的最高点为;赛道的后一部分为折线段.为保证参赛运动员的安全,限定.(1)求的值和两点间的距离;(2)应如何设计,才能使折线段线段最长?

参考答案：（Ⅰ）依题意，有（1’），又，。

（2’），当时，

（4’）

又

（5’）（Ⅱ）解法一在△MNP中∠MNP=120°，MP=5，设∠PMN=，则0°<<60°由正弦定理得,

（7’）故（10’）0°<<60°

（11’）当=30°时，折线段赛道MNP最长，亦即，将∠PMN设计为30°时，折线段道MNP最长

（12’）解法二：在△MNP中，∠MNP=120°，MP=5，由余弦定理得∠MNP=即

（7’）故，从而，即（10’）当且仅当时，折线段道MNP最长