2022年四川省乐山市佑君中学高一数学理上学期期末试题含解析

2022年四川省乐山市佑君中学高一数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10m（如图所示），则旗杆的高度为(

)A．10m B．30m C．10m D．10m参考答案：B【考点】解三角形．【专题】数形结合；数形结合法；解三角形．【分析】由题意作图可得已知数据，由正弦定理可得BD，进而可得CD．【解答】解：由题意可得在△ABD中，∠BAD=45°，∠ABD=105°，∠ADB=30°，由正弦定理可得BD===20，∴CD=BDsin60°=20×=30，故选：B．【点评】本题考查解三角形的实际应用，从实际问题中抽象出三角形是解决问题的关键，属中档题．2.已知外接圆半径为1，且则是

(

)

A．锐角三角形

B．直角三角形

C．钝角三角形 D.等腰直角三角形参考答案：B3.己知，下列运算不正确的是(

)．

(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：C4.已知集合A＝{x|x≥3}，B＝{x|(x－2)(x－4)<0}，则A∩B＝()A．{x|x<2}

B．{x|3≤x<4}C．{x|3≤x≤4}

D．{x|x>4}参考答案：B5.长方体AC1的长、宽、高分别为3、2、1，从A到C1沿长方体的表面的最短距离为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C6.cos(－2040°)=（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D，故选D.

7.（3分）函数的图象是（） A． B． C． D． 参考答案：B考点： 指数型复合函数的性质及应用．专题： 证明题．分析： 先利用函数图象过点（0，1），排除选项CD，再利用当x=1时，函数值小于1的特点，排除A，从而选B解答： 令x=0，则=1，即图象过（0，1）点，排除C、D；令x=1，则=＜1，故排除A故选B点评： 本题主要考查了指数函数的图象和性质，利用特殊性质、特殊值，通过排除法解图象选择题的方法和技巧，属基础题8.若集合A={﹣，），B={x|mx=1}且B?A，则m的值为（）A．2 B．﹣3 C．2或﹣3 D．2或﹣3或0参考答案：D【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】根据集合B中的方程，可得B中至多一个元素，再由集合A中的元素可得B=?或B={﹣}或B={}．因此分三种情况讨论，分别解方程，即可得到实数m的值．【解答】解：∵B?A，而A={﹣，}∴B=?或B={﹣}或B={1}①当m=0时，B={x|mx=1}=?，符合题意；②当B={﹣}时，B={x|mx=1}={﹣}，可得m=﹣3③当B={}时，B={x|mx=1}={}，可得m=2综上所述，m的值为0或﹣3或2故选：D．9.当0＜a＜1时，在同一坐标系中，函数y=a﹣x与y=logax的图象是（）A．

B． C． D．参考答案：C【考点】对数函数的图象与性质；指数函数的图象与性质．【分析】先将函数y=a﹣x化成指数函数的形式，再结合函数的单调性同时考虑这两个函数的单调性即可判断出结果【解答】解：∵函数y=a﹣x与可化为函数y=，其底数大于1，是增函数，又y=logax，当0＜a＜1时是减函数，两个函数是一增一减，前增后减．故选C．10.已知角是第三象限角，且，则（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】根据同角三角函数关系式中的商关系，结合，可以求出的值，最后根据同角的三角函数关系式和二次根式的性质进行求解即可.【详解】两边平方得；，解得或，因为角是第三象限角，所以有，因此，所以.故选：A【点睛】本题考查了同角三角函数关系式的应用，考查了数学运算能力.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.证明：函数在上为增函数。参考答案：设，且且函数在上为增函数。

12.将函数的图象y=cos2x向左平移个单位后，得到函数y=g（x）的图象，则y=g（x）的图象关于点

对称（填坐标）参考答案：（，0），k∈Z【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据三角函数图象平移法则，写出函数y=g（x）的解析式，求出它的对称中心坐标．【解答】解：函数y=cos2x的图象向左平移个单位后，得到y=cos2（x+）=cos（2x+）=﹣sin2x的图象；∴函数y=g（x）=﹣sin2x；令2x=kπ，k∈Z，解得x=，k∈Z，∴y=g（x）的图象关于点（，0），k∈Z对称；故答案为：（，k∈Z．【点评】本题考查了三角函数的图象平移问题，也考查了三角函数图象的对称问题，是基础题．13.如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，给出下列五个命题:①

②③点到平面的距离为④三棱锥的体积为定值，

⑤异面直线所成的角为定值其中真命题的序号是____

____.参考答案：①②④14.设F1、F2分别是椭圆C：的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与椭圆C的另一个交点为N．若直线MN的斜率为，则C的离心率等于

．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【专题】方程思想；数形结合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】如图所示，把x=c代入椭圆方程可得M．利用==，化简整理即可得出．【解答】解：如图所示，把x=c代入椭圆方程可得：=1，解得y=，可得M．∴==，化为3ac=2b2=2（a2﹣c2），化为2e2+3e﹣2=0，又0＜e＜1，解得e=．故答案为：．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.函数的定义域为__________．参考答案：略16.已知，则的值是

参考答案：17.已知函数在区间[－2,4]上具有单调性，则k的取值范围是________.参考答案：.【分析】函数对称轴为：，函数在区间，上有单调性，由或，解得即可．【详解】函数对称轴，又函数在区间上有单调性，或，或，故答案为：.【点睛】此题主要考查二次函数的图象及其性质，利用对称轴在区间上移动得出，在其区间上具有单调性的条件，属于容易题.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）如果实数满足求:（1）的最值；（2）的最大值.参考答案：解：C1：(x–m)2+(y+2)2=9，C2：(x+1)2+(y–m)2=4.

……3分（1）如果C1与C2外切，则有，所以m2+3m–10=0，解得m=2或–5.

……7分（2）如果C1与C2内含，则有，所以m2+3m+2＜0，得–2＜m＜–1.所以当m=–5或m=2时，C1与C2外切；

……11分当–2＜m＜–1时，C1与C2内含.

……12分略19.某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：ωx+φ0π2πx

Asin（ωx+φ）05

﹣50（1）请将上表数据补充完整，并求出函数f（x）的解析式；（2）将y=f（x）的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象．若关于x的方程g（x）﹣（2m+1）=0在[0，]上有两个不同的解，求实数m的取值范围．参考答案：【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的图象．【专题】函数思想；转化法；三角函数的图像与性质．【分析】（1）根据五点法进行求解即可．（2）根据函数平移关系求出函数g（x）的表达式，利用函数和方程之间的关系转化为两个函数的交点问题即可．【解答】解：（1）根据表中已知数据，解得A=5，ω=2，φ=﹣，数据补全如下表：ωx+φ0π2πxAsin（ωx+φ）050﹣50且函数表达式为f（x）=5sin（2x﹣）．（2）通过平移，g（x）=5sin（2x+），方程g（x）﹣（2m+1）=0可看成函数g（x），x∈[0，]和函数y=2m+1的图象有两个交点，当x∈[0，]时，2x+∈[，]，为使横线y=2m+1与函数g（x）有两个交点，只需≤2m+1＜5，解得≤m＜2．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用五点法以及函数与方程的关系进行转化是解决本题的关键．20.如图，正方形ABCD所在平面与四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB=AE，FA=FE，∠AEF=45°．（1）求证：EF⊥平面BCE；（2）设线段CD、AE的中点分别为P、M，求PM与BC所成角的正弦值；（3）求二面角F﹣BD﹣A的平面角的正切值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）证明BC⊥EF．EF⊥BE．然后证明EF⊥平面BCE．（2）取BE的中点N，连结CN，MN，证明PM∥CN．说明CN与BC所成角∠NCB即为所求，在直角三角形NBC中，求解．（3）说明∠FHG为二面角F﹣BD﹣A的平面角．设AB=1，则AE=1，在Rt△BGH中与在Rt△FGH中，求解二面角F﹣BD﹣A的平面角的正切值．【解答】（本小题满分12分）解：（1）因为平面ABEF⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，BC⊥AB，平面ABEF∩平面ABCD=AB，所以BC⊥平面ABEF．所以BC⊥EF．因为△ABE为等腰直角三角形，AB=AE，所以∠AEB=45°又因为∠AEF=45°，所以∠FEB=45°+45°=90°，即EF⊥BE．因为BC?平面BCE，BE?平面BCE，BC∩BE=B，所以EF⊥平面BCE．（2）取BE的中点N，连结CN，MN，则，所以PMNC为平行四边形，所以PM∥CN．所以CN与BC所成角∠NCB即为所求，正方形ABCD所在平面与四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB=AE，设AE=a，BE=．BC=a，NC==，在直角三角形NBC中，．（3）由EA⊥AB，平面ABEF⊥平面ABCD，易知，EA⊥平面ABCD．作FG⊥AB，交BA的延长线于G，则FG∥EA．从而，FG⊥平面ABCD．作GH⊥BD于H，连结FH，则由三垂线定理知，BD⊥FH．因此，∠FHG为二面角F﹣BD﹣A的平面角．因为FA=FE，∠AEF=45°，所以∠AFE=90°，∠FAG=45°．设AB=1，则AE=1，．．在Rt△BGH中，∠GBH=45°，，．在Rt△FGH中，．故二面角F﹣BD﹣A的平面角的正切值为．21.三角形ABC的边AC，AB的高所在直线方程分别为2x－3y＋1＝0，x＋y＝0，顶点A(1,2)，求BC边所在的直线方程．参考答案：解：AC边上的高线2x－3y＋1＝0，所以kAC＝－.所以AC的方程为y－2＝－(x－1)，即3x＋2y－7＝0，同理可求直线AB的方程为x－y＋1＝0.下面求直线BC的方程，由得顶点C(7，－7)，由得顶点B(－2，－1)．所以kBC＝－，直线BC：y＋1＝－(x＋2)，即2x＋3y＋7＝0.略22.如图，正四棱锥S－ABCD的底面是边长为2的正方形，侧棱长为，P为侧棱SD上的点．（1）求证：AC⊥SD；（2）若SD⊥平面PAC，求二面角P－AC－D的大小；（3）在（2）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC？若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．参考答案：(1)证明：连接BD，设AC交BD于O，连接SO.由题意知SO⊥AC.在正方形ABCD中，AC⊥BD，所以AC⊥平面SBD，得AC⊥SD.

......3分(2)解：设正方形边长为a，则SD=，又BD=，所以∠SDO=60°.连接OP，由(1)知AC⊥平面SBD，所以AC⊥OP，且AC⊥OD，所以∠POD是二面角P－AC－D的平面角．由SD