2022年安徽省黄山市潭渡中学高三数学理测试题含解析

2022年安徽省黄山市潭渡中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在一个不透明的袋子里，有三个大小相等小球（两黄一红），现在分别由3个同学无放回地抽取，如果已知第一名同学没有抽到红球，那么最后一名同学抽到红球的概率为（）A． B． C． D．无法确定参考答案：C【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】本题是一个计算概率的问题，由题意知已经知道，由于第一名同学没有抽到红球，问题转化为研究两个人抽取红球的情况，根据无放回抽取的概率意义，可得到最后一名同学抽到红球的概率．【解答】解：由题意，由于第一名同学没有抽到红球，问题转化为研究两个人抽取红球的情况，由于无放回的抽样是一个等可能抽样，故此两个同学抽到红球的概率是一样的都是．故选：C．2.已知变量x，y满足，则目标函数的最值是(

）A.

B.C.，z无最小值

D.z既无最大值，也无最小值参考答案：C3.三棱柱底面是等边三角形，顶点在底面的射影为点B，且是一个等腰直角三角形，则异面直线AB与所成的角大小为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略4.已知是等比数列，，，则（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A5.已知向量，那么“”是“向量互相垂直”的 A.充分不必要条件

B.必要不充分条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：B略6.对任意，函数不存在极值点的充要条件是（

）

A、

B、

C、或

D、或参考答案：B7.设为单位向量，若向量满足，则的最大值是

（

）（A）1

（B）

（C）2

（D）参考答案：D8.已知集合=

,

=则

A

B

C

D

参考答案：答案:A9.函数f（x）=+ln|x|的图象大致为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】函数的图象．【分析】当x＜0时，函数f（x）=，由函数的单调性，排除CD；当x＞0时，函数f（x）=，此时，代入特殊值验证，排除A，只有B正确，【解答】解：当x＜0时，函数f（x）=，由函数y=、y=ln（﹣x）递减知函数f（x）=递减，排除CD；当x＞0时，函数f（x）=，此时，f（1）==1，而选项A的最小值为2，故可排除A，只有B正确，故选：B．【点评】题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合与分类讨论的思维能力．10.设为坐标原点，，若点满足，则取得最小值时，点的个数是

（

）A.

B.

C.

D.无数个参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知上所有实根和为

参考答案：10

略12.不等式的解集是

.参考答案：13.已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若，S2=a3，则a2=______，Sn=_______。参考答案：，因为，所以，。14.我们把满足：xn+1=xn－的数列{xn}叫做牛顿数列．已知函数f（x）=x2﹣1，数列{xn}为牛顿数列，设，已知a1=2，则a3=．参考答案：8【考点】数列递推式．【分析】依题意，可求得=ln=ln=2=2an，即数列{an}是以2为公比的等比数列，又a1=2，利用等比数列的通项公式即可求得答案．【解答】解：∵f（x）=x2﹣1，数列{xn}为牛顿数列，∴=xn﹣=（xn+），∴=ln=ln=2=2an，又a1=2，∴数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a3=2×22=8．故答案为：8．【点评】本题考查数列递推式，求得数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列是关键，也是难点，考查推理与运算能力，属于难题．15.已知函数f（x）=，则f[f]=

．参考答案：1【考点】分段函数的应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】直接利用分段函数，由里及外求解所求表达式的值．【解答】解：函数f（x）=，则f[f]=f=f（1913）=2cos=2cos（638π﹣）=2cos=1．故答案为：1．【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，诱导公式的应用，考查计算能力．16.已知数列{an}的前n项和为Sn，且，若，则Sn取最小值时n=__________.参考答案：10【分析】由题意结合递推关系可得，即数列为隔项等差数列，结合数列的性质可得取最小值时的值.【详解】由，，两式作差可得：，即，由，，两式作差可得：，则，，故，进一步可得：，又，则，且，则取最小值时.【点睛】本题主要考查数列的递推关系，数列中最值问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.17.过点且斜率为的直线与抛物线相交于，两点，若为中点，则的值是

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C1的极坐标方程为ρ=1，曲线C2的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C1上的点到曲线C2的距离的最小值；（2）把曲线C1上的各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标扩大原来的倍，得到曲线C1′，设P（﹣1，1），曲线C2与C1′交于A，B两点，求|PA|+|PB|的值．参考答案：【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（1）根据函数的极坐标方程求出函数的普通方程即可，根据参数方程消去参数求出C2的普通方程即可，求出点到直线的距离即可；（2）求出的方程，联立方程组，求出|PA|+|PB|的值即可．【解答】解：（1）曲线C1的极坐标方程为ρ=1，故C1为：x2+y2=1，圆心是（0，0）半径是1，曲线C2的参数方程为（t为参数），故C2：y=x+2，圆心到直线的距离d==，故C1上的点到C2的最小距离是﹣1；（2）伸缩变换为，故：+=1，将C2和联立，得7t2+2t﹣10=0，∵t1t2＜0，∴|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|=．19.（本小题满分12分）已知函数．（1）求函数的值域；（2）已知锐角⊿ABC的两边长分别为函数的最大值与最小值，且⊿ABC的外接圆半径为，求⊿ABC的面积．参考答案：(1)

…………10分∴．

………………12分20.（本小题满分12分）

已知函数．（1）若在点处的切线斜率为，求实数的值；（2）若在处取得极值，求函数的单调区间．参考答案：解：（1）……2分∵在点处的切线斜率为∴，∴…………………4分（2）∵在处取得极值，∴………5分即…………………6分……………7分或…………8分递增极大值递减递减极小值递增……………………10分∴的单调增区间是和；单调减区间是和……………………12分21.已知函数.（1）若，函数在其定义域内是增函数，求的取值范围；（2）的图像与轴交于，两点，中点为，求证：.参考答案：（1）依题意：，在上递增，对恒成立，即对恒成立，只需.，，当且仅当时取“”，，的取值范围为.（2）由已知得两式相减，得.由及，得令，，在上递减，.则有，又，.22.在平面直角坐标系xoy中，已知点A（0，1），点B在直线l1：y=﹣1上，点M满足，，点M的轨迹为曲线C．（1）求C的方程；（2）设直线l2：y=kx+m与曲线C有唯一公共点P，且与直线l1：y=﹣1相交于点Q，试探究，在坐标平面内是否存在点N，使得以PQ为直径的圆恒过点N？若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由．参考答案：考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）设M（x，y），由得B（x，﹣1），又A（0，1），利用得，代入即可得出；（2）解法1：由曲线C关于y轴对称可知，若存在点N，使得以PQ为直径的圆恒过点N，则点N必在y轴上，设N（0，n），又设点，由直线l2：y=kx+m与曲线C有唯一公共点P知，直线l2与曲线C相切，利用导数的几何意义可得切线的斜率，直线l2的方程为，令y=﹣1得Q点的坐标为，由于点N在以PQ为直径的圆上，可得=+n2+n﹣2=0（*），要使方程（*）对x0恒成立，必须有，即可得出．解法2：设点P（x0，y0），由l2：y=kx+m与曲线C有唯一公共点P知，直线l2与曲线C相切，利用导数的几何意义可得切线斜率，得到直线l2的方程为，令y=﹣1得Q点的坐标为，可得以PQ为直径的圆方程为：，由于在坐标平面内若存在点N，使得以PQ为直径的圆恒过点N，则点N必为（0，1）或（0，﹣1），进一步确定即可．解答： 解：（1）设M（x，y），由得B（x，﹣1），又A（0，1），∴，，．由得，即（﹣x，﹣2y）?（x，﹣2）=0?x2=4y，∴曲线C的方程式为x2=4y．（2）解法1：由曲线C关于y轴对称可知，若存在点N，使得以PQ为直径的圆恒过点N，则点N必在y轴上，设N（0，n），又设点，由直线l2：y=kx+m与曲线C有唯一公共点P知，直线l2与曲线C相切，由得，∴，∴直线l2的方程为，令y=﹣1得，∴Q点的坐标为，∴，∵点N在以PQ为直径的圆上，∴=﹣2﹣（1+n）=+n2+n﹣2=0（*），要使方程（*）对x0恒成立，必须有，解得n=1，∴在坐标平面内存在点N，使得以PQ为直径的圆恒过点N，其坐标为（0，1）．解法2：设点P（x0，y0），由l2：y=kx+m与曲线C有唯一公共点P知，直线l2与曲线C相切，由得，∴，∴直线l2的方程为，令y=﹣1得，∴Q点的坐标为，∴以PQ为直径的圆方程为：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①分别令x0=2和x0=﹣2，由点P在曲线C上得y0=1，将x0，y0的值分别代入①得：（y﹣1）（y+1）+（x﹣2）x=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②（y﹣1）（y+1）+（x+2）x=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣③②③联立解得或，