函数性质综合应用专题

函数性质综合应用专题

为整数时，f(x)的值为1或2，那么函数f(x)的最小正周期为（）【解析】由f(x)恒满足f(x)f(2x)，可得f(x)是以1为中心的周期函数，且最小正周期为2.因为当x为整数时，f(x)的值为1或2，所以f(x)的周期为2，即最小正周期为2.故选B.已知函数f(x)的定义域为实数集R，且不恒为0。若函数f(x+1)的图像关于点(1,0)对称，函数f(x+3)的图像关于直线x=1对称，则下列式子中错误的是（）。A.f(-x)=f(x)B.f(x-2)=f(x+6)C.f(-2+x)+f(-2-x)=0D.f(3+x)+f(3-x)=0解析：由题意可知，函数f(x+1)的图像关于点(1,0)对称，故函数f(x)关于点(2,0)对称，即f(x)=-f(4-x)；函数f(x+3)的图像关于直线x=1对称，故函数f(x)的图像关于直线x=4对称，即f(x)=f(8-x)。因此，f(8-x)=-f(4-x)，即f(x)的周期T=8，且f(x)的所有对称轴为：x=4n，其中n∈Z，所有对称中心为(4n+2,0)（n∈Z）。因此，只有选项D中的等式成立。已知函数f(x)满足f(x)=f(1-x)，且当x∈[1,π]时，f(x)=lnx；当x∈(0,1]时，f(x)=lnx+k。函数g(x)=f(x)-ax与x轴有交点，则实数a的取值范围是（）。A.[1-πlnπ,0]B.[-πlnπ,0]C.(-∞,0]D.(-∞,-πlnπ]解析：由f(x)=f(1-x)可得，f(1)=f(0)，即ln1=lne=0，故k=0。当x∈[1,π]时，f(x)=lnx；当x∈(0,1]时，f(x)=lnx。因此，g(x)=f(x)-ax的图像与x轴有交点，即f(x)=ax的图像与y=x的图像有交点。将f(x)=ax代入f(x)=lnx中，得ax=lnx，即x=e^(ax)，代入f(x)=ax中，得f(x)=ln(e^(ax))=ax。因此，当x∈[1,π]时，f(x)=ax的图像与y=x的图像有交点，当且仅当a∈[1-πlnπ,0]。因此，选项A正确。已知函数f(x-1)=lg(9-x)，则f(x)=（）。解析：设x-1=t，x=t+1，因为-2≤x<9，所以-1≤t<2。则有f(t)=lg(9-(t+1))=lg(-t-2t+8)，因此，f(x)=lg(-x-2x+8)，其中x∈[-1,2)。因此，选项2正确。已知函数f(x)是定义在实数集R上的奇函数，当x≥1时，f(x)=x^2+2x。若f(2-a^2)>f(a)，则实数a的取值范围是（）。解析：由题意可知，f(x)恒增，因此2-a^2>a，解得-2<a<1。因此，选项（-2,1）正确。已知函数f(x)=2+ln(1-x)，若f(a)=4，则f(-a)=（）。解析：设g(x)=ln((1-x)/(1+x))，则g(-x)=ln((1-(-x))/(1+(-x)))=ln((1+x)/(1-x))=-g(x)。因此，g(x)是奇函数。因此，f(x)=2+ln(1-x)=2+ln(1+x)+g(x)，其中x∈(-1,1]。因此，f(a)=2+ln(1-a)=4，解得a=1-e^2。因此，f(-a)=2+ln(1+a)+g(-a)=2+ln(1+(1-e^2))+(-g(1-e^2))=2+ln(2-e^2)-g(1-e^2)=2+ln(2-e^2)+g(e^2-1)=2+ln(2-e^2)-ln(e^2+1)=ln((2-e^2)/(e^2+1))-2。因此，选项C正确。1.设函数$f(x)=x^2-a$，若对$\forallx_1,x_2\in[3,+\infty),x_1\neqx_2$，不等式$f(x_1)-f(x_2)>0$恒成立，则实数$a$的取值范围是（）。【解析】由题意分析可知条件等价于$f(x)$在$[3,+\infty)$上单调递增，又$f(x)=x^2-a$，$\because$当$a\leq0$时，结论显然成立，当$a>0$时，则$f(x)$在$(-\infty,0]$上单调递增，在$[0,+\infty)$上单调递减，在$[+\sqrt{a},+\infty)$上单调递增，$\thereforea\leq3$，综上，实数$a$的取值范围是$(-\infty,3]$。2.已知集合$M=\{1,2,3\}$，$N=\{1,2,3,4\}$，定义映射$f:M\toN$，则从中任取一个映射满足由点$A(1,f(1)),B(2,f(2)),C(3,f(3))$构成$\triangleABC$且$AB=BC$的概率为（）。【解析】由$AB=BC$可得$f(1)+f(3)=2f(2)$，因为$f(1),f(2),f(3)$均为$1,2,3,4$中的数，所以$f(2)$有$4$种取值，$f(1),f(3)$的取值与$f(2)$确定，因此符合条件的映射只有$3$个，即$f(1)=f(3)=1,f(2)=2$，$f(1)=f(3)=3,f(2)=2$，$f(1)=f(3)=4,f(2)=3$，所以概率为$\dfrac{3}{4}\times\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{2}$。1.已知函数f(x)，满足f(-x)=-f(x)，且函数y=f(x-1)的图像关于点(1,0)对称。若s，t满足不等式fs^2-2s≤-f^2t-t^2，则当1≤s≤4时，求函数t的取值范围。【解析】由y=f(x-1)的图像相当于f(x)的图像向右平移了一个单位；又由y=f(x-1)的图像关于点(1,0)对称，知f(x)的图像关于原点对称，即f(x)为奇函数，得fs^2-2s≤-f^2t-t^2，从而t^2-2t≤s^2-2s，化简得(t-s)(t+s-2)≤0，又1≤s≤4，故2-s≤t≤s，从而-1≤t-2/s≤1，又-1∈(-∞,-2/s]，故t∈[-5/s,-1]∪[1,5/s]，故选D。7.已知函数f(x)满足以下条件：①f(x)是R上的奇函数；②当a≥4时，f(x-a^2)≥f(x)对任意x∈R恒成立；③f(x)的图象关于x=a和x=-a对称；④若对任意x1∈(-∞,-2)，存在x2∈(-∞,-1)，使得f(x1)f(x2)=1，则a∈(?,1]。【解析】因为f(x)是R上的奇函数，所以f(x)=|x|，其图象如下图所示，由于图象关于原点对称，故①正确；因为a≥4时，a^2≥4a，故可得y=f(x-a^2)的图象是由y=f(x)向右平移a^2个单位，故②正确；观察图可知③错误；对于④当-a≤-2时，即a≥2时，f(x1)∈[-a,∞)，f(x2)∈[-a,∞)，故当f(x1)从负方向接近于-a时，f(x2)不满足题意，当-2<-a<-1，即1<a<2时，f(x1)∈(2-2a,∞)，f(x2)∈(2-2a,∞)，故当f(x1)从正方向接近于2-2a时，f(x2)不满足题意，当a≤-1时，f(x1)∈(-∞,-a]，f(x2)∈(-∞,-a]，故当f(x1)从正方向接近于-a时，f(x2)不满足题意，综上所述，a∈(-∞,-2]∪(2,∞)，故选A。【修改意见】建议在文章开头说明题目的来源和类型，以便更好地理解文章内容。另外，文章中的符号和公式建议使用LaTeX排版，以便更清晰地表达。当$a>0$时，函数$f(x)=\frac{|x-a|}{x+2a}$的定义域为$x>a$。根据函数的绝对值性质，当$x>a$时，$|x-a|=x-a$，因此可以将函数改写为$f(x)=\frac{x-a}{x+2a}$。接下来分别讨论$a\geq4$和$0<a<4$两种情况。当$a\geq4$时，函数$f(x)$在区间$[0,4]$上为单调递减函数。因此，$g(a)=f(0)=\frac{-a}{2a}=-\frac{1}{2}$。当$0<a<4$时，函数$f(x)$在区间$[0,a)$上为单调递减函数，在区间$(a,4]$上为单调递增函数。因此，$g(a)=\max\{f(0),f(4)\}$。根据函数$f(x)$的表达式，可以计算得到$f(0)=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}$，$f(4)=\frac{4-a}{6a}$。因此，$g(a)=\max\{\frac{1}{2},\frac{4-a}{6a}\}$。进一步计算可以得到$g(a)=\begin{ca