双曲线定义的应用

双曲线定义的应用第1页，课件共74页，创作于2023年2月要点·疑点·考点1.双曲线的定义(1)双曲线的第一定义：平面内与两个定点F1、F2的距离差的绝对值是常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线(2)双曲线的第二定义：平面内到一个定点F的距离和到一条定直线l的距离比是常数e(e＞1)的点的轨迹叫做双曲线2．双曲线标准方程的两种形式x2/a2-y2/b2=1,-x2/b2+y2/a2=1(a、b＞0)分别表示中心在原点、焦点在x轴、y轴上的双曲线第2页，课件共74页，创作于2023年2月4．双曲线的焦半径公式(1)双曲线x2/a2-y2/b2=1上一点P(x0，y0)的左焦半径为|PF1|=|ex0+a|；右焦半径为|PF2|=|ex0-a|(2)双曲线-x2/b2+y2/a2=1上一点P(x0,y0)的下焦半径为|PF1|=|ey0+a|，上焦半径为|PF2|=|ey0-a|3．双曲线的几何性质：以x2/a2-y2/b2=1(a、b＞0)表示的双曲线为例，其几何性质如下：(1)范围：x≤-a，或x≥a(2)关于x轴、y轴、原点对称，(3)两顶点是(±a,0)(4)离心率e=c/a∈(1,+∞).c=√a2+b2(5)渐近线方程为y=±bx/a，准线方程是x=±a2/c5．双曲线x2/a2-y2/b2=1的渐近线方程为x2/a2-y2/b2=0；双曲线x2/a2-y2/b2=1的共轭双曲线为x2/a2-y2/b2=-1.第3页，课件共74页，创作于2023年2月课前热身1.已知F1(-3，0)，F2(3，0)，满足条件｜PF1｜-｜PF2｜=2m-1的动点P的轨迹是双曲线的一支，有下列数据：①2；②-1；③4；④-3.则m可以是()(A)①②(B)①③(C)①②④(D)②④A2.⊙O1与⊙O2的半径分别为1和2，｜O1O2｜=4,动圆与⊙O1内切而与⊙O2外切，则动圆圆心轨迹是()A椭圆B抛物线C双曲线D双曲线的一支D第4页，课件共74页，创作于2023年2月3.证明：双曲线上任意一点到两渐近线的距离的乘积是一个定值。4.设等轴双曲线x2-y2=a2的中心为O，两个焦点分别为F1、F2。若P为双曲线上任意一点，求证：|PF1|、|PO|、|PF2|成等比数列。第5页，课件共74页，创作于2023年2月xyOlF例1：点M(x,y)与定点F(c,0)的距离和它到定直线的距离比是常数(c>a>0)，求点M的轨迹.M解：设点M(x,y)到l的距离为d，则即化简得(c2－a2)x2－a2y2=a2(c2

－a2)设c2－a2=b2，(a>0,b>0)故点M的轨迹为实轴、虚轴长分别为2a、2b的双曲线.b2x2－a2y2=a2b2即就可化为:M点M的轨迹也包括双曲线的左支.第6页，课件共74页，创作于2023年2月双曲线的第二定义平面内，若定点F不在定直线l上，则到定点F的距离与到定直线l的距离比为常数e(e>1)的点的轨迹是双曲线。定点F是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率.对于双曲线是相应于右焦点F(c,0)的右准线类似于椭圆是相应于左焦点F′(-c,0)的左准线xyoFlMF′l′点M到左焦点与左准线的距离之比也满足第二定义.第7页，课件共74页，创作于2023年2月想一想：中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的准线方程是怎样的？xyoF相应于上焦点F(c,0)的是上准线相应于下焦点F′(-c,0)的是下准线F′第8页，课件共74页，创作于2023年2月C第9页，课件共74页，创作于2023年2月思考题：已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.若双曲线上有一点Ｐ，且|ＰF1|=10,则|ＰF2|=_________4或16第10页，课件共74页，创作于2023年2月例2。(满分4分)给出问题：F1、F2是双曲线的焦点，点P在双曲线上．若点P到焦点F1的距离等于9，求点P到焦点F2的距离．某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由||PF1|－|PF2||＝8，即|9－|PF2||＝8，得|PF2|＝1或17.该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面横线上，若不正确，将正确结果填在下面横线上

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第11页，课件共74页，创作于2023年2月答案：该学生回答不正确，应为|PF2|＝17解：易知P与F1在y轴的同侧，|PF2|－|PF1|＝2a，∴|PF2|＝17.第12页，课件共74页，创作于2023年2月解析：本小题主要考查双曲线的概念与性质等基础知识，以及考生分析问题的能力和思维的深刻性．因为双曲线上的点到焦点的最短距离为双曲线顶点到对应焦点的距离，即c－a，所以|PF2|≥6－4＝2.故|PF2|＝1应该舍去．答案：|PF2|＝17

第13页，课件共74页，创作于2023年2月二、双曲线第一定义的应用靠近点C的一支靠近点C的一支,且A、B、C三点不能共线第14页，课件共74页，创作于2023年2月xyoF1F2PQO1右准线L三、双曲线第二定义的应用GHD拓展第15页，课件共74页，创作于2023年2月？xyoF1F2四、双曲线第一、二定义合用第16页，课件共74页，创作于2023年2月PPxyoF1F2A第17页，课件共74页，创作于2023年2月PPxyoF1F2A第18页，课件共74页，创作于2023年2月要点探究第19页，课件共74页，创作于2023年2月第20页，课件共74页，创作于2023年2月第21页，课件共74页，创作于2023年2月第22页，课件共74页，创作于2023年2月第23页，课件共74页，创作于2023年2月第24页，课件共74页，创作于2023年2月第25页，课件共74页，创作于2023年2月第26页，课件共74页，创作于2023年2月第27页，课件共74页，创作于2023年2月第28页，课件共74页，创作于2023年2月[例1]已知定点A(0,7)、B(0，－7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A、B的椭圆，求另一焦点F的轨迹方程．分析：设F(x，y)，利用A、B在以C、F为焦点的椭圆上，可建立动点F与定点A、B、C的关系式，利用|AC|、|BC|，得到|FA|与|FB|的关系，再依据定义或直接法可求出轨迹方程．第29页，课件共74页，创作于2023年2月解析：设F(x，y)，因为A、B两点在以C、F为焦点的椭圆上，所以|FA|＋|CA|＝2a，|FB|＋|CB|＝2a(其中a表示椭圆的长半轴)所以|FA|＋|CA|＝|FB|＋|CB|.所以|FA|－|FB|＝|CB|－|CA|第30页，课件共74页，创作于2023年2月(2008·长沙一中月考七)已知双曲线在左支上一点M到右焦点F1的距离为18，N是线段MF1的中点，O为坐标原点，则|ON|等于 ()

A．4 B．2 C．1 D. 答案：A第31页，课件共74页，创作于2023年2月解析：数形结合，ON=|MF1|－|MF2|＝2a＝10，∴|MF2|＝8，∴|ON|＝4，故选A.第32页，课件共74页，创作于2023年2月第33页，课件共74页，创作于2023年2月（1）双曲线的两个焦点F1，F2，A是双曲线上的一点，且|AF1|=8，则|AF2|=_______.（2）双曲线的过焦点F1的弦AB长为m（A，B在同一支上），另一焦点为F2，则△ABF2的周长为__________.第34页，课件共74页，创作于2023年2月[答案]

A

第35页，课件共74页，创作于2023年2月第36页，课件共74页，创作于2023年2月点评：圆锥曲线的定义是主要考查目标之一，当涉及圆锥曲线的焦半径时，常考虑应用定义解决，请再练习下题：第37页，课件共74页，创作于2023年2月例2、证明：P说明：|PF1|,|PF2|称为双曲线的焦半径.y..F2F1O.x第38页，课件共74页，创作于2023年2月例3.在双曲线x2/13-y2/12=-1的一支上有不同的三点A(x1,y1),B(x2,6),C(x3,y3),它们与焦点F(0，5)的距离成等差数列(1)求y1+y3；(2)求证线段AC的垂直平分线经过一定点【解题回顾】过焦点的弦或半径使用双曲线的第二定义进行转化或使用焦半径公式可简化运算第39页，课件共74页，创作于2023年2月设双曲线的右支上有A、B、C三个不同的点，若A、B、C关于右焦点的三条焦半径成等差数列，则它们的横坐标xA、xB、xC之间的关系是_________.第40页，课件共74页，创作于2023年2月例4：已知双曲线的左、右焦点为F1，F2，点P在双曲线上，∠F1PF2=，求△F1PF2的面积。第41页，课件共74页，创作于2023年2月第42页，课件共74页，创作于2023年2月第43页，课件共74页，创作于2023年2月第44页，课件共74页，创作于2023年2月第45页，课件共74页，创作于2023年2月第46页，课件共74页，创作于2023年2月第47页，课件共74页，创作于2023年2月第48页，课件共74页，创作于2023年2月第49页，课件共74页，创作于2023年2月在双曲线上任取一点P与双曲线两焦点构成的内切圆与的切点坐标。

第50页，课件共74页，创作于2023年2月第51页，课件共74页，创作于2023年2月例6、已知双曲线F1、F2是它的左、右焦点.设点A(9,2),在曲线上求点M，使的值最小,并求这个最小值.xyoF2MA由已知：解：a=4,b=3,c=5,双曲线的右准线为l:作MN⊥l,AA1⊥l,垂足分别是N,A1,NA1当且仅当M是

AA1与双曲线的交点时取等号,令y=2,解得:第52页，课件共74页，创作于2023年2月解：∴动圆M与圆O1可能外切也可能内切∴M的轨迹是以O1（-2，0）、A（2，0）为焦点的双曲线例6：第53页，课件共74页，创作于2023年2月解：设动圆圆心为M（x，y），半径为r∴M的轨迹是以O1（5，0）、O2

（-5，0）为焦点的双曲线的右支第54页，课件共74页，创作于2023年2月解：|BC|－|AC|=4＜|AB|=8∴点B的轨迹为A、B为焦点的双曲线的左支且2a=4,2c=8,∴顶点C的轨迹方程为y212x24－=1(x＜2)令y=0得x=22本题也可直接用坐标表示第55页，课件共74页，创作于2023年2月[例9]已知定点A(0,7)、B(0，－7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A、B的椭圆，求另一焦点F的轨迹方程．分析：设F(x，y)，利用A、B在以C、F为焦点的椭圆上，可建立动点F与定点A、B、C的关系式，利用|AC|、|BC|，得到|FA|与|FB|的关系，再依据定义或直接法可求出轨迹方程．第56页，课件共74页，创作于2023年2月解析：设F(x，y)，因为A、B两点在以C、F为焦点的椭圆上，所以|FA|＋|CA|＝2a，|FB|＋|CB|＝2a(其中a表示椭圆的长半轴)所以|FA|＋|CA|＝|FB|＋|CB|.所以|FA|－|FB|＝|CB|－|CA|第57页，课件共74页，创作于2023年2月定义法求轨迹的基本步骤：1.用几何方法论证动点的轨迹是某种圆锥曲线.2.根据已知坐标判定该曲线的方程是标准方程.3.算出标准方程中所需的数据.4.写出方程，注意范围.第58页，课件共74页，创作于2023年2月第59页，课件共74页，创作于2023年2月解：（1）由A、B两处听到爆炸声的时间差为4s，可知A、B两处与爆炸点的距离的差为4v（v为声速），因此爆炸点应位于以A、B为焦点的双曲线上。因为爆炸点离A处比离B处更远，所以爆炸点应在靠近B处的一支上。.（2）建系如图，设爆炸点P(x，y)，则|PA|-|PB|=340×4=1360第60页，课件共74页，创作于2023年2月.想一想：如果A、B两处同时听到爆炸声，那么爆炸点应在什么样的曲线上？P答：爆炸点应在线段AB的中垂线上。故所求双曲线方程为：第61页，课件共74页，创作于2023年2月例11：某工程要挖一个横截面为半圆的柱形隧道，挖出的土只能沿道路AP，BP运到P处（如图），PA=100m，PB=150m，∠APB=60°，试说明怎样运土才能最省工。第62页，课件共74页，创作于2023年2月再见第63页，课件共74页，创作于2023年2月第64页，课件共74页，创作于2023年2月（4）已知F1、F2为双曲线的焦点，弦MN过F1且M,N在同一支上，若|MN|=7,求△MF2N的周长.•F2•F1MNxyo（5）双曲线的过焦点F1的弦MN长为m（A，B在同一支上），另一焦点为F2，则△MNF2的周长为__________.•F2•F1MN第65页，课件共74页，创作于2023年2月思考：已知双曲线16x2-9y2=144①求焦点的坐标；②设P为双曲线上一点，且|PF1||PF2|=32，求；③设P为双曲线上一点，且F1PF2=120，求.第66页，课件共74页，创作于2023年2月(6)已知椭圆与双曲线有相同的交点F1、F2，P为两条曲线的交点，求|PF1||PF2|的值.•F1•F2Pm-a2第67页，课件共74页，创作于2023年2月返回2.已知双曲线x2/a2-y2/b2=1的离心率e＞1+√2，左、右焦点分别为F1，F2，左准线为l，能否在双曲线的左支上找到一点P，