第八章节-随机变量的数字特征-课件

第八章节随机变量的数字特征目的与要求：掌握数学期望、方差和标准差的计算。教学内容与时间安排3学时教学方法：讲授与提问结合教学手段：多媒体PPT软件重点：数学期望、方差及标准差的计算难点：数学期望、方差及标准差的计算第一节数学期望一、离散型随机变量的数学期望假如甲、乙两选手各向目标靶射击十枪，二人命中靶子的情况分别为：（单位：环）甲乙9810899898967910109108910现问，甲、乙二人哪一个命中率更高点？很显然，通过某一枪的命中情况比较二人命中率是不合适的，比较容易理解的是通过二人各自命中环数的平均值来比较。对于甲选手，命中环数的平均值为对于乙选手，命中环数的平均值为从平均值来看，乙选手比甲选手命中率更高些。如果我们用随机变量的取值表示两选手命中的环数，则比较二人的命中率实际上是比较两随机变量平均值的大小。例1设某离散型随机变量X的分布列为如果对随机变量连续进行N次取值，问这N个值的平均值应是多少？（假设N相当大）由于X是随机取值的，N个值分别是多少无法确定，但由分布列的定义，从理解X123论上讲N次取之中有次取到1，次取到2，次取到3，从而所求平均值应为：可以看到，平均值实际上是以分布概率为权重的加权平均。定义设离散型随机变量X的分布列为X如果级数绝对收敛，即收敛，则和为随机变量X的数学期望或均值，记为，即通过前面的例子可以看到，随机变量的均值反映了变量取值的平均水平。如果级数不绝对收敛，即不收敛，则称随机变量X的数学期望不存在。下面我们举例来说明。例2对服从（0—1）分布的随机变量X，其分布列为：求X的数学期望。由数学期望定义解例3设，求。已知二项分布的分布列为解则X的数学期望为例4设X服从参数为的泊松分布，求。已知泊松分布列为：解从而例5设随机变量X取值为的概率为，求X

的数学期望。例6某种奖券销售单位为提高大众购买奖券的兴趣，采用当众开奖的办法，每张奖券面值1元，每500万张设若干奖项如下：但是发散的，所以X的数学期望不存在。无穷级数解奖别个数奖品价值（元）特等一等二等三等纪念1101001000100001500500703０.5试计算每购一张奖券平均能取多少奖金？设某购买者得到的奖金数为X，则X为一随机变量，其分布列为50从而X的数学期望为解即平均每购一张奖券可能得到的奖金不到半分钱，但在实际生活中吸引力还是相当大的。二、连续型随机变量的数学期望定义设X为连续型随机变量，概率密度为，如果积分绝对收敛，即收敛，则称积分的值为连续型随机变量X的数学期望或均值，记为。即反之，如果积分发散，则称随机变量X的数学期望不存在。例7设X服从区间上的均匀分布，求X的数学期望。已知X的概率密度为其它。，从而正好是区间的中点。解例8设X服从参数为的指数分布，求X的数学期望。已知X的概率密度为从而所求数学期望为解例9对服从正态分布的随机变量X，求其数学期望。已知X的概率密度为则所求数学期望为解作变换，得到即正态分布的第一个参数就是随机变量X的均值。三、随机变量函数的数学期望1、离散型随机变量函数的数学期望定义设离散型随机变量X的分布列为如果级数收敛，则称级数的和为的数学期望，记为即例10设离散型随机变量X的分布列为X-1023试计算：和。由数学期望的定义可得解已知X的分布列为：例11设X服从参数为的泊松分布，试计算的数学期望。从而解2.连续型随机变量函数的数学期望定义设连续型随机变量X

的概率密度为则Y仍是一随机变量，如果收敛，则称积分的值为的数学期望，记为即已知X的概率密度为例12已知X服从上的均匀分布，计算的数学期望。解则所求的数学期望为：如果是二维随机变量，是关于X和Y的二元函数，则同样可定义随机变量Z的数学期望如下：3.二维随机变量函数的数学期望（1）如果是二维离散型随机变量，联合分布列为则的数学期望为（2）如果是二维连续型随机变量，联合概率密度为，则的数学期望为例13设随机变量的联合概率密度为试计算和。由定义，解四、数学期望的性质如果X、Y是两个随机变量，C为任意常数，且都存在，则数学期望有以下四条常见的性质。如果X与Y相互独立，则证明数学期望的四条性质中，前两条比较直观，容易理解和证明，我们只证明第（3）和第（4）条。（3）设是离散型随机变量，分布列为则由数学期望的定义，如果为连续型随机变量，类似可以证明。（4）设是连续型随机变量，联合概率密度为，则由X、Y的独立性可得其中分别为X与Y的边缘概率密度，从而性质（3）和性质（4）可以推广到多个随机变量上，即成立：推论1设随机变量的数学期望都存在，则推论2设随机变量相互独立，且数学期望都存在，则例14设随机变量相互独立，且服从同一个（0—1）分布：试证服从二项分布并求。证明由于每个可能取值为0或1，则可能取值为0，1，2，…，n.

X取值为k，则要求中有k个取值为1，而其余个取值为0，至于是哪k个变量取值为1，共有种不同方式，而且这些方式两两互斥，由相互独立性可知每种方式出现的概率为即X服从二项分布。从而对服从（0—1）分布的任一已知则作业题：第119页

第1，2，3题第二节方差由第一节我们知道，随机变量的数学期望可以反映变量取值的平均程度，但仅用数学期望描述一个变量的取值情况是远不够的。我们仍用类似于第一节中的例子来说明。假设甲乙两射手各发十枪，击中目标靶的环数分别为容易算得，二人击中环数的平均值都是8.8环，现问，甲、乙二人哪一个水平发挥的更稳定？甲981089889109乙67910109108910直观的理解，二选手中哪一个击中的环数偏离平均值越少，这个选手发挥的更稳定一些。为此我们利用二人每枪击中的环数距平均值的偏差的均值来比较。为了防止偏差和的计算中出现正、负偏差相抵的情况，应由偏差的绝对值之和求平均更合适。对于甲选手，偏差绝对值之和为：对乙选手，容易算得偏差绝对值之和为10.8环，所以甲、乙二人平均每枪偏离平均值为0.64环和1.08环，因而可以说，甲选手水平发挥更稳定些。类似的，为了避免运算式中出现绝对值符号。我们也可以采用偏差平方的平均值进行比较。为此我们引入以下定义：定义对随机变量X，如果数学期望存在，且的数学期望也存在，则称的值为随机变量X

的方差，记为由前面的例子容易理解，方差反映了随机变量取值相对于均值的分散程度，即反映X取值的稳定性。应当注意，对随机变量X而言，其数学期望是一常数，而与是随机变量，利用数学期望的性质可得即。这是方差运算中一个常用的公式。为了保证变量量纲的一致性，我们称方差的平方根为随机变量X的标准差或均方差，记为即：例1对服从（0—1）分布的随机变量X，分布列为求X的方差。已知而且则X的方差为解例2设随机变量X服从参数为的泊松分布，求在本章第一节的例11中我们已经知道从而解例3对服从[a，b]区间上均匀分布的随机变量X，计算已知，且解从而例4已知求由方差的定义可得解作代换则推导由此可知，正态分布的两个参数和分别表示随机变量X的均值和方差。关于方差的性质，常见的有以下几条：证明(4)若X与Y相互独立,则已知从而因性质（5）要用到复杂一些的数学知识，略去证明过程。性质（4）可以推广到多个相互独立的随机变量的情形。例如，当相互独立时，成立例5设随机变量X服从二项式分布，试求

由上节中的例14知其中服从同一（0—1）分布：且相互独立。又由本节例1有于是可得：解例6设随机变量X的期望E（X）和方差D（X）都存在，则称为X的标准化随机变量，试求和注意到均为常数，再由期望及方差的性质可得：解可见，标准化随机变量的期望是0，方差是1。因此，把随机变量标准化，可以使所讨论的问题变得较简单，这种处理问题的方法在概率与数理统计中时有应用。例如，随机变量X服从正态分布把X标准化则服从标准正态分布,于是要求X落入某一区间的概率，只需由标准正态分布表查出落入相应区间的概率即可，这一作法是我们早已熟知并已多少应用过的。作业题：第119页

第4题返回第三节协方差相关系数前两节我们介绍了随机变量的两个常见的数字特征，即数学期望与方差，它们分别反映了随机变量取值的平均水平和随机变量取值相对于均值的分散程度，但有时还要考虑多个随机变量之间的取值关系，为此我们引入协方差与相关系数的概念。一、协方差定义设（X，Y）是二维随机变量，如果都存在且也存在，则称之为X与Y

的协方差，记为cov（X，Y）。显然，即由协方差定义与方差性质可以得到即由协方差定义可知协方差也是一随机变量函数的期望值，且即这也是一个常用的计算协方差的公式。如果X

与Y相互独立，则，从而但反过来不一定成立，即如果协方差为0，X与Y不一定相互独立。例如，设随机变量X的分布列为X3

-101X2101X-101，则容易算得X与Y显然是不独立的，因为Y的取值是由X来定的。例1设二维随机变量（X，Y）服从正态分布试求已知（X，Y）的联合概率密度为：类似于一维随机变量的正态分布，容易算得，解从而作变量代换可得上式内层积分正好是服从正态分布的随机变量的期望值，所以内层积分为前面我们已经知道，二维正态分布中X

与Y相互独立等价于从而即对二维正态分布，X与Ｙ相互独立的充分必要条件是对于协方差，具有以下几条性质：证明（1）由协方差定义，而所以二、相关系数定义对二维随机变量（X，Y），如果存在，则称之为X

与Y的相关系数，记为。可以看出，是一个无量纲的数，而且由协方差定义可得即：X、Y的相关系数是标准化随机变量与的协方差，因为两标准化随机变量与的期望值都是0，相关系数具有以下性质：的充分必要条件是存在常数a，b使当X、Y相互独立时，证明（1）由协方差公式可知由方差非负性可得从而（2）必要性设则由（1）可知从而由方差性质（5）可得即其中当时，类似可得Y与X有线性关系。充分性设为常数，从而所以所以（3）当X与Y相互独立时，从而则对于相关系数当时，X与Y之间有线性关系，此时称X与Y是完全相关的，其中若称X，Y为正相关；若称X，Y为负相关；若称X，Y为不相关；一般情况下，的大小反映X与Y取值的相关程度。由性质（3）知道，相互独立的随机变量定不相关，但反过来不一定成立。而对正态分布而言，独立性与不相关性是一致的。例2设证明X

与Y相互独立的充分必要条件是例1中已知X、Y的协方差为：从而相关系数为：而时，X与Y是相互独立的，也是不相关的。证明第八章习题课一、内容概要1、数学期望（1）设离散型随机变量的分布列为如果收敛，则称级数的和为随机变量X的数学期望，记为即（2）设X为连续型随机变量，概率密度为，如果积分绝对收敛，则称积分的值为连续型随机变量X的数学期望，记为，即(3)设是随机变量的函数：若是离散型随机变量，其分布列为如果级数收敛，则若是连续型随机变量，概率密度为如果收敛，则有（4）二维随机变量函数的数学期望如果是二维随机变量，是关于X和Y的二元函数，当是二维离散型随机变量，其联合分布列为则当是二维连续型随机变量，其联合概率密度为，则（5）数学期望的性质如果X、Y是两个随机变量，C为任意常数，且