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文档简介
控制工程基础课程内容p.
2第一章第二章第三章第四章第五章第六章第七章第八章绪论控制系统的动态数学模型时域瞬态响应分析控制系统的频率特性控制系统的稳定性分析控制系统的误差分析和计算控制系统的综合与校正根轨迹法第二章控制系统的动态数学模型p.
3•2.1基本环节数学模型•2.2数学模型的线性化•2.3拉氏变换及反变换•2.4传递函数以及典型环节的传递函数•2.5系统函数方块图及其简化•2.6系统信号流图及梅逊公式•2.7受控机械对象数学模型•2.8绘制实际机电系统的函数方块图•2.9状态空间方程2.3拉氏变换及反变换控制系统的微分方程，是在时域中描述系统动态性能的数学模型，在给定外作用及初始条件下，求解微分方程可以得到系统的输出响应。然而，用微分方程式表示系统的数学模型在实际应用中一般会遇到一些困难。用拉氏变换将线性常微分方程转化为易处理的代数方程，可以得到系统在复数域中的数学模型，称为传递函数。它不仅可以表征系统动态频率特性，而且可以研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响。经典控制理论广泛应用的频率法和根轨迹法，就是在传递函数基础上建立起来的。因此，拉氏变换成为自动控制理论的数学基础。p.
42.3拉氏变换及反变换p.
5拉氏变换定义对时间函数f(t)，t≥0，f(t)的拉普拉斯变换
L[f(t)]（简称拉氏变换）或F(s)定义为¥0f
(t)
e-stdtL[
f
(t)]
=
F
(s)
=一个函数可以进行拉氏变换的充要条件是：在t<0时，f
(t)=0在t≥0的任一有限区间内，f(t)是分段连续的；¥0f
(t
)e
-
st
dt
<
¥(3)2.3.1一些常用拉氏变换加于控制系统的外作用一般事先是不完全知道的,而且常常随着时间任意变化.为了便于对系统进行理论分析,工程实践中允许采用以下几种简单的时间函数作为系统的典型输入,即单位阶跃函数、单位斜坡函数、等加速函数、指数函数、正弦函数、以及单位脉冲函数等。p.
61、单位阶跃函数10f
(t)
=t<0t≥
0图单位阶跃函数f
(t)10t其拉氏变换¥01
e
dtL[
f
(t)]
=-st=
-
1
e-st
¥0s=
-
1
(0
-1)
=
1s
sp.
72.3.1一些常用拉氏变换2、单位斜坡函数
0f
(t
)
=
tt<0t
≥0f
(t)图单位斜坡函数f
(t)t0其拉氏变换t
e
dt¥-st0L[
f
(t)]
=ss=
-¥
-ste
dt0-st
¥01)
+(te11p.
8s
2=2.3.1一些常用拉氏变换
2
0
1
t
2f
(
t
)
=
t<0t
≥0其拉氏变换为02¥
1
t
2L[
f
(t)]
=s3p.
9e-stdt
=
12.3.1一些常用拉氏变换3、等加速函数at0f
(t)
=
4、指数函数at¥at
-st0L[e
]
=dte0-(
s-a
)t¥e
e dt
=(a为实数)t<0e
t
≥0其拉氏变换s
-
ap.
10=12.3.1一些常用拉氏变换(w
为实数)p.
11¥0-stsin
wt
e
dt=
w
s
2
+
w
2sin
wtf
(t)
=
0t
<0t
≥0其拉氏变换为L[sinwt]
=2.3.1一些常用拉氏变换5、正弦函数w
为实数¥0-stL[coswt]
=coswt0f
(t)
=
t<0t
≥0其拉氏变换=p.
12s2
+w
2coswte
dts2.3.1一些常用拉氏变换6.余弦函数7、单位脉冲函数¥
t
=
0t
„
0d
(t
)
=
0d(t)
1p.
13f
(t)t0¥-
¥d
(
t
)
dt
=
1性质¥-¥f
(t)d(t)dt
=
f
(0)¥0-stL[d(t)]
=其拉氏变换为1d(t)
e
dt
=且图单位脉冲函数2.3.1一些常用拉氏变换设
L[
f1
(t)]
=
F1
(s)
L[
f2
(t)]
=
F2
(s)则
L[af1
(t)
+
bf2
(t)]
a和b为常数=
aF1
(s)
+
bF2
(s)p.
142.3.2拉氏变换的性质1、线性性质－－齐次性和叠加性L[
d
f
(t)]dtd
2L[
f
(t)]
=
s2
F
(s)
-
sf
(0)
-
f
'
(0)dt2n
n
1
n
2
'p.
15dtndnL[
f
(t)]
=
s
F(s)-s
-
f
(0)
-s
-
f
(0)
--
f
(n-1)
(0)=
sF
(s)
-
f
(0)2.3.2拉氏变换的性质2、微分性质若L[f
(t
)]=F
(s)则dtL[
d
f
(t
)]
=
sF
(
s
)2d
2L[dt
2f
(t
)]
=
s F
(
s
)np.
16L[dt
nd
nf
(t
)]
=
s F
(
s)2.3.2拉氏变换的性质当f
(0)=f
'(0)=
=f
(n-1)(0)=0时，则有f(t)dt]L[ss2
s2f
(t)dt2]
=
1
F(s)+
1
f
(-1)
(0)+1
f
(-2)
(0)L[sp.
17f
(t)dt
n
]
=
1
F
(s)
+
1
f
(-1)
(0)
+sn
sn
+
1
f
(-n
)
(0)L[
(0)1
1(-1)s=
F
(s)
+
fs2.3.2拉氏变换的性质3、积分性质ss
2L[f
(t
)dt
2
]
=
1
F
(s)snp.
18f
(t)dt
n
]
=
1
F
(s)
L[
2.3.2拉氏变换的性质当f
(-1)(0)=f
(-2)(0)=
=f
(-n)(0)=0时，则有L[
f
(t)dt
]
=
1
F
(s)2.3.2拉氏变换的性质4、终值定理lim
f
(t)
=limsF(s)tfi
¥
sfi
05、初值定理f
(0)
=limf
(t)
=limsF(s)p.
19L[
f
(t
-
a)]
=
e-as
F
(s)L[eat
f
(t)]
=
F
(s
-
a)tfi
0
sfi
¥6、位移定理（延时、衰减定理）a
为实数7、卷积定理L[
f1(t)]=
F1(s)
,
L[
f2
(t)]
=
F2
(s)L[
f1
(t)*
f2
(t)]¥
t=00[-stf1
(t)
f2
(t
-t)dt]e
dt=
L[
f1
(t)]
L[
f2
(t)]
=
F1
(s)
F2
(s)若则2.3.2拉氏变换的性质卷积符号p.
20f
(t)
=
L-1
[F(s)]p.
212.3.2拉氏反变换从象函数中找出原函数，这就是拉氏反变换。stF
(s)e
ds
1
2p
js
+
jws
-
jw=(
)
(
)
(
)(
)
()1p.
221222121
1lkkgrr
rlgg0
1
m-1
ms
+
ps
+
ps
+
c
s
+
db
sm
+
b
sm-1
++
b
s
+
b
s
+
p
s
+
c
s
+
d1nn-1F
(s)=
0
1
m-1
m
b
sm
+
b
sm-1
++
b s
+
bsn
+
asn-1
++
a s
+
a其中，使分母为零的s值称为极点，使分子为零的s值称为零点。则有F
(s
)=其中，r1
+
r2
++
rl
+
2
k1
+
k2
++
kg2.3.2拉氏反变换在一般机电控制系统中，通常遇到如下形式的有理分式：为实数pi
ri=
n代表在
pi
处有
ri
个相同极点m
£
n(
)
(
)
(
)()
()1p.
2312221
1lmkkgrr
r1
2
lgg0
1
m-1F
(s
)=s
+
ps
+
c
s
+
db
sm
+
b
sm-1
++
b
s
+
bs
+
p
s
+
p
s
+
c
s
+
d2.3.2拉氏反变换为实数pi
ri代表在
pi
处有
ri
个多重实数极点（特征值、根）其中，r1
+
r2
++
rl
+
2
k1
+
k2
++
kg
=
nki二次项表示有共轭复数极点
代表极点重复数三种情况：无重实根有共轭复根有重根1p.
24nana1
a2n-1an-1F
(s)=
0
1
m-1
m
=
0
1
m-1
m
=+s
+
p1
s
+
p2s
+
pn-1s
+
pnb
sm
+
b
sm-1
++
b s
+
bsn
+
a
sn-1
++
a s
+
ab
sm
+
b
sm-1
++
b s
+
b(s
+
p1
)(s
+
p2
)(s
+
pn
)+
++式中，ak
是常值，s
=-pk
极点处的留数，可由下式求得：ak
=
F
(s
(s
+
pks=-
pk2.3.2拉氏反变换1、无重实根的情况：()(
)121n2
n1
t-
p
t-
p
t
-
p
t=
a
e+
a
e
++
a
e将进行拉氏反变换，可利用拉氏变换表得f
(t
=
L-1
F
(s
anp.
25a1a2an-1F
(s)=++s
+
p1
s
+
p2s
+
pn-1s
+
pn++2.3.2拉氏反变换求F(s)=
s
+
2
的拉氏反变换。s2
+
4s
+
3k
2F
(s
)=
s
+
2
= k1+(s
+
1)(s
+
3
)s
+
1
s
+
321
s=-1
(s
+1)(s
+
3)k
=
s
+
2
(s
+1)
=
122
s=-3
(s
+1)(s
+
3)k
=
s
+
2
(s
+
3)
=
11
1F(s)=
2
+
2
s
+1
s
+
31122e-t
+
e-3tf
(t
)=
L-1
F
(s
)
=解:留数法待定系数法(s
+1)(s
+
3)=
k1s
+
3k1
+
k2
s
+
k23k1
+
k2
=
2
k1
+
k2
=
1=1
212kk1
=
2常用不常用2.3.2拉氏反变换第2章控制系统的数学模型的拉氏反变换s3
+
5s2
+
9s
+
7求
F
(s
)=解:s2
+
3s
+
2
s
+
3
F
(s
)=
(s
+
2)+
(s
+1)(s
+
2)
s
+
2s
2
+
3s
+
2
s
3
+
5s
2
+
9s
+
7k1
k2+(s
+1)(s
+
2)s
+1
s
+
2令
F
(s
)=
s
+
3
=1
s=-1
(s
+1)(s
+
2)k
=
s
+
3
(s
+1)
=
22
s=-2
(s
+1)(s
+
2)k
=
s
+
3
(s
+
2)
=
-12
1F
(s)=
(s
+
2)+-(s
+1)
s
+
2dd
(tdtf
(t
)=
)+
2d
(t
)+
2e-t
-
e-2t微分定理第2章控制系统的数学模型2.3.2拉氏反变换p.
282.3.2拉氏反变换2、有共轭复根的情况：)(
)
()0
1221
21
1llm-1
mn-2lF
(s
)=+
c
s
+
db
sm
+
b
sm-1
++
b s
+
b(s
+
p
)(s
+
p
)(s
+
ps
+
c
s
+
d
s仍可用上面无重实根的处理方法来分解！解：求
F
(
s
)
=
s
+
1
原函数s
(s
2
+
s
+
1
)F
(s)=k1s
+
k2
+
k3s2
+
s
+1
ss2
+s
+1=(s
+0.5+
j0.866
(s
+0.5-
j0.866用s
2
+s
+1乘方程两边，并令s
=-0.5
-j0.8661
2s-
0.5
-
j0.866=
k
(-
0.5
-
j0.866)+
k
s
+1
=
0.5
-
j0.866
s=-0.5-
j
0.8660.866k1
-
0.866k2
=
-0.866-
0.5k1
-
0.5k2
=
0.5=
0第2章控制系统的数学模型
2
kk1
=
-123
s=0s(s
+
s
+1)k
=
s
+1
s
=
12.3.2拉氏反变换1+0.5(s
+
0.5)2
+
0.8662(s
+
0.5)2
+
0.8662s
+
0.5=
-s取拉氏反变换得f
(t
=
L-1[F
(s
]
=1-
e-0.5t
cos
0.866t
+
0.578e-0.5t
sin
0.866t(s
+
a)2
+
w
2L[e
-at
cos
wt]=
s
+
a
2)2
w
(s
+
a
+
wL[e
sin
wt]=-at2.3.2拉氏反变换F
(s
)=
-s
+
1s2
+
s
+1
s第2章控制系统的数学模型补充：拉氏变换的数学关系在数学上，线性微分方程a
y(n)
(t)
+a
y(n-1)
(t)
++a
y(t)
=b
x(m)
(t)
+b
x(m-1)
(t)
++b
x(t)n
n-1
0
m
m-1
0的解由特解和齐次微分方程的通解组成。通解由微分方程的特征根所决定，它代表自由运动。如果n
阶微分方程的特征根是且无重根，则把函数称为该微分方程所描述运动的模态，也叫振型。每一种模态代表
一种类型的运动形态，齐次微分方程的通解则是它们的线性组合，即p.
31na
y(n)
(t)
+an-1y(n-1)
(t)
++a
y(t)
=b
x
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