七年级数学一元一次方程教师讲义打印一份

一元一次方程(韩老师)本章学问网络构造图3.1一元一次方程的概念和性质【本讲主要内容】1.等式与方程表示相等关系的式子叫做等式。含有未知数的等式叫做方程。可见方程必需具备两个条件：一是必需含有未知数，二是必需是一个等式。2.等式的性质等式的性质1：等式两边加〔减〕同一个数〔式子〕。结果仍相等。等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。应用等式的性质对等式进展变形时，必需留意“同〞字。要对等式进展变形，就要保证等式两边始终相等，也就是说，运用等式的性质时，等式两边必需同时进展变形。3.一元一次方程的概念我们把含有一个未知数，并且未知数的指数都是1的方程叫做一元一次方程。一元一次方程的最简形式是〔0〕。方程中的未知数叫做“元〞，一个方程中有几个未知数，就称这个方程为几元方程。方程中含未知数的项的最高次数叫做方程的次数，这一点和多项式的次数有类似的地方。例如是一元一次方程，是一元二次方程，是二元一次方程，是二元二次方程。4.方程的解与解方程方程是一个有待探讨的等式，即探讨这个等式中的未知数取什么值时等式才成立。解方程就是确定使方程中等号左右两边相等的未知数的值，我们把这样的未知数的值叫做方程的解。这样的值可能有一个或多个，也可能没有，所以方程可能有一个解、多个解，也可能无解。如方程3x-5=4x+3只有一个解x=-8。方程2x-7=5x-〔3x+7〕有多数个解，而方程2x-3=2x+2无解。求方程的解或断定方程无解的过程叫做解方程。利用等式的性质，对方程进展一系列的变形，就可以求出方程的解。5.思想方法〔本单元常用到的数学思想方法小结〕⑴建模思想：通过对实际问题中的数量关系的分析，抽象成数学模型，建立一元一次方程的思想.⑵方程思想：用方程解决实际问题的思想就是方程思想.⑶化归思想：解一元一次方程的过程，本质上就是利用去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1等各种同解变形，不断地用新的更简洁的方程来代替原来的方程，最终逐步把方程转化为x=a的形式.表达了化“未知〞为“〞的化归思想.⑷数形结合思想：在列方程解决问题时，借助于线段示意图和图表等来分析数量关系，使问题中的数量关系很直观地展示出来，表达了数形结合的优越性.⑸分类思想：在解含字母系数的方程和含肯定值符号的方程过程中往往须要分类探讨，在解有关方案设计的实际问题的过程中往往也要留意分类思想在过程中的运用.【典型例题】例1.方程2xm－3+3x=5是一元一次方程，则m=.解析：由一元一次方程的定义可知m－3=1，解得m=4.或m－3=0，解得m=3所以m=4或m=3警示：很多同学做到这种题型时就想到指数是1，从而写成m=1，这里肯定要留意x的指数是〔m－3〕.例2.是方程ax2－〔2a－3〕x+5=0的解，求a的值.解析：∵x=－2是方程ax2－〔2a－3〕x+5=0的解∴将x=－2代入方程，得a·〔－2〕2－〔2a－3〕·〔－2〕+5=0化简，得4a+4a－6+5=0∴a=点拨：要想解决这道题目，应当从方程的解的定义入手，方程的解就是使方程左右两边值相等的未知数的值，这样把x=－2代入方程，然后再解关于a的一元一次方程就可以例3.a、b为定值，无论k为何值，关于x的一元一次方程的解总是1，试求a、b的值。分析：因为无论k为何值，所给方程的解总是1，所以当，时，依旧成立。这样就把求a的值转化为求方程的解，然后令，，再把a的值代入，得到关于b的一元一次方程，就可求出b的值。解：因为所给方程的解总是1，所以有。〔*〕当时，，解得。将，代入〔*〕式，得。解得。所以，。评注：将所给条件进展屡次转化，把困难的问题转化为简洁的一元一次方程问题，然后利用相关学问解决，这是转化思想的魅力所在。例4.〔2021台北13〕假设a：b：c＝2：3：7，且a－b＋3＝c－2b，则c值为何？(A)7(B)63(C)(D)【分析】：∵a：b：c＝2：3：7，∴设，∵a－b＋3＝c－2b∴∴。【答案】：C例5.(2021江苏镇江，17，2分)把棱长为4的正方体分割成29个棱长为整数的正方体(且没有剩余)，其中棱长为1的正方体的个数为__▲__．【解题思路】原正方体共可分割成64个棱长为1的正方体．假设分割后有1个棱长为3的正方体，则正方体的个数为1＋(64－27)＝38≠29，不符合题意．所以，29个正方体中只有棱长为1和2的两种正方体．设棱长为1的正方体有x个，由于8个棱长为1的正方体可拼成一个棱长为2的正方体，所以可列方程x＋＝29．解得x＝24．【答案】24例6.参与某保险公司的医疗保险，住院治疗的病人可享受分段报销，保险公司制度的报销细则如下表，某人今年住院治疗后得到保险公司报销的金额是1260元，则此人的实际医疗费是〔〕住院医疗费〔元〕报销率〔%〕不超过500的部分0超过500～1000的部分60超过1000～3000的部分80………A.2600元B.2200元C.2575元D.2525元解析：设此人的实际医疗费为x元，根据题意列方程，得500×0+500×60%+〔x－500－500〕×80%=1260.解之，得x=2200，即此人的实际医疗费是2200元.应选B.点拨：解答此题首先要弄清题意，读懂图表，从中应理解医疗费是分段计算累加求和而得的.因为500×60%＜1260＜2000×80%，所以可知推断此人的医疗费用应按第一档至第三档累加计算.例7.足球竞赛的记分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，输一场得0分，一支足球队在某个赛季中共需竞赛14场，现已竞赛了8场，输了1场，得17分，请问：⑴前8场竞赛中，这支球队共胜了多少场？⑵这支球队打满14场竞赛，最高能得多少分？⑶通过比照赛状况的分析，这支球队打满14场竞赛，得分不低于29分，就可以到达预期的目的，请你分析一下，在后面的6场竞赛中，这支球队至少要胜几场，才能到达预期目的？解析：⑴设这个球队胜了x场，则平了〔8－1－x〕场，根据题意，得3x+〔8－1－x〕=17.解得x=5.所以，前8场竞赛中，这个球队共胜了5场.⑵打满14场竞赛最高能得17+〔14－8〕×3=35分.⑶由题意知，以后的6场竞赛中，只要得分不低于12分即可.∴胜不少于4场，肯定能到达预期目的.而胜了3场，平3场，正好到达预期目的.所以在以后的竞赛中，这个球队至少要胜3场.例8.关于x的方程2x－4＝3m和x＋2＝m有一样的解，则m的值是A．10B．－8C．－10D．8解析：解方程2x－4=3m，得x=．解方程x＋2＝m，得x＝m－2．由两方程解一样，得＝m－2，解得m＝－8．答案：B例9.y＝3是6＋(m－y)＝2y的解，则关于x的方程2m(x－1)＝(m＋1)(3x－4)的解是多少分析：把y＝3代入第一个方程，使这个方程转化为关于m的方程，解出m的值，再代入第二个方程，求出x的值．解：y＝3代入方程6＋(m－y)＝2y，得6＋(m－3)＝6．解得m＝3．将m＝3代入2m(x－1)＝(m＋1)(3x－4)2×3(x－1)＝(3＋1)(3x－4)．解得x＝.例10.扬子江药业集团消费的某种药品包装盒的侧面绽开图如下图.假如长方体盒子的长比宽多4，求这种药品包装盒的体积.分析：从绽开图上的数据可以看出，绽开图中两高与两宽和为14cm，所以一个宽与一个高的和为7cm，假如设这种药品包装盒的宽为xcm，则高为〔7－x〕cm，因为长比宽多4cm，所以长为〔x+4〕cm，根据绽开图可知一个长与两个高的和为13cm，由此可列出方程.解：设这种药品包装盒的宽为xcm，则高为〔7－x〕cm，长为〔x+4〕cm.根据题意，得〔x+4〕+2〔7－x〕=13，解得x=5，所以7－x=2，x+4=9.故长为9cm，宽为5cm，高为2cm.所以这种药品包装盒的体积为：9×5×2=90〔cm3〕.例11.〔2021无锡〕某开发商进展商铺促销，广告上写着如下条款：投资者购置商铺后，必需由开发商代为租赁5年，5年期满后由开发商以比原商铺标价高20%的价格进展回购，投资者可在以下两种购铺方案中做出选择：方案一：投资者按商铺标价一次性付清铺款，每年可以获得的租金为商铺标价的10%．方案二：投资者按商铺标价的八五折一次性付清铺款，2年后每年可以获得的租金为商铺标价的10%，但要缴纳租金的10%作为管理费用．〔1〕请问：投资者选择哪种购铺方案，5年后所获得的投资收益率更高？为什么？〔注：投资收益率=×100%〕〔2〕对同一标价的商铺，甲选择了购铺方案一，乙选择了购铺方案二，则5年后两人获得的收益将相差5万元．问：甲、乙两人各投资了多少万元？考点：一元一次方程的应用；列代数式。分析：〔1〕利用方案的表达，可以得到投资的收益，即可得到收益率，即可进展比较；〔2〕利用〔1〕的表示，根据二者的差是5万元，即可列方程求解．解答：解：〔1〕设商铺标价为x万元，则投资收益率为×100%=70%投资收益率为×100%≈72.9%∴投资者选择方案二所获得的投资收益率更高．〔2〕由题意得0.7x﹣0.62x=5∴甲投资了62.5万元，乙投资了53.125万元．【模拟试题】一、选择题：①2x+3y-1;②1+7=15-8+1;③1-x=x+1④x+2y=3中方程有()个.()A.1B.2C-4=5(a,x未知)是一元一次方程,则a等于()A.随意有理数B.0C3.x=2是以下方程()的解.2=3D.3x-6=04.x、y是两个有理数,“x与y的和的等于4”用式子表示为()A.B.C.D.以上都不对二、填空：5.列式表示:(1)比x小8的数：__________;(2)a减去b的的差;(3)a与b的平方和:_______________;(4)个位上的数字是a、十位上的数字是b的两位数:_____________.6.以下式子各表示什么意义(1)(x+y)2:______________________________________________________;(2)5x=y-15:___________________________________________________;(3):______________________________________________________.7.甲乙两运输队,甲队32人,乙队28人,假设从乙队调走x人到甲队,则甲队人数恰好是乙队人数的2倍,列出方程(32+x)=2(28-x)所根据的相等关系是_______________________________________________.(填写题目中的原话)后还剩下3米,设未知数x后列出的方程是x-=3,其中x是指__________________________________________.9.甲乙两人从相距40千米的两地同时动身,向相而行,三小时后相遇.甲每小时比乙多走3千米,求乙的速度,假设设乙的速度为x千米/时,列出方程为3x+3(x+3)=40,其中3(x+3)表示___________________________________________________.三、解答题：10.某中学一、二年级共1000名学生,二年级学生比一年级少40人,求该中学一年级人数是多少(设未知数、列方程并估计问题的解).11.随随与州州约好1小时后到州州家去玩,他骑车从家动身半小时后发觉时间不够了便将速度进步到原来的2倍,半小时后准时到达州州的家.他们家相距30千米,求随随原来的骑车速度.(画出路程示意图,设未知数列方程并估计问题的解)12.甲乙两个数,甲数比乙数的2倍多1,乙数比甲数小4,求这两个数(用不同的方法设元、列方程并估计解)13.方程17+15x=245,,2(x+1.5x)=24都只含有一个未知数,未知数的指数都是1,它们是一元一次方程,方程x2+3=4,x2+2x+1=0,x+y=5是一元一次方程吗假设不是,它们各是几元几次方程答案1.B2.C3.D4.C5.(1)x-8;(2)a-b;(3)a2+b2;(4)10b+a6.(1)x,y的和的平方;(2)x的5倍比y的一半小15;(3)x与它的的和的一半等于247.甲队人数恰好是乙队人数的2倍8.这根铁丝的长9.甲3小时所走的路程10.设该中学一年级人数为x,列方程,得x+(x-40)=1000,x=52011.设随随原来的骑车速度为x千米/时,列方程,得,x=20.12.设甲数为x,则乙数为x-4,列方程得x=2(x-4)+1,x=7;设乙数为x,则甲数为x+4,列方程得x+4=2x+1,x=32+3=4和x2+2x+1=0是一元二次方程;x+y=5是二元一次方程。3.2一元一次方程的解法【本讲主要内容】一.教学内容：一元一次方程和它的解法二.教学目的和要求：1.理解一元一次方程的概念，能写出一元一次方程的标准形式。2.娴熟驾驭利用等式性质解一元一次方程的根本过程，能娴熟地求解一元一次方程。三.重点、难点：1.重点：移项法则、一元一次方程的概念与其解法。2.难点：一元一次方程解法步骤的敏捷运用。四.学问要点：1.一元一次方程的概念〔1〕定义：经过去分母、去括号、移项、合并同类项等变形后，能化为最简形式〔〕，它只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0，我们把这一类方程叫做一元一次方程。〔2〕一元一次方程的标准形式：方程〔其中是未知数，是数，且〕叫做一元一次方程的标准形式〔是未知数的系数，是常数项〕。2.一元一次方程的解法〔1〕解一元一次方程的一般思路先经过去分母、去括号、移项、合并同类项等变形，将方程化为最简方程〔〕的形式，然后将方程两边都除以，得方程的解。〔2〕移项法则：方程中的任何一项，都可以在变更符号后，从方程的一边移到另一边，这类变形叫做移项，这个法则叫做移项法则。〔3〕解一元一次方程的一般步骤：①去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数。②去括号：先去小括号，再去中括号，最终去大括号。③移项：把含未知数的项都移到方程的左边，不含未知数的项移到右边。④合并同类项：把方程化成〔〕的形式。⑤系数化1：在方程两边都除以未知数的系数，得到方程的解。〔4〕检验方法：将所得的解分别代入原方程的左边和右边，假如左边=右边，说明所得的解是原方程的解；假如左边≠右边，说明解题过程有错误，应细致检查，肯定是哪一步的计算出了错误。【典型例题】例1.是关于的一元一次方程，求的值。解：∵是关于的一元一次方程∴且且∴例2.假设关于的方程的解为正整数，求正整数的值。解：当时，∵为正整数∴必需是4的约数∵4的约数是1，2，4∴又∵是正整数∴只能是1或3例3.解方程解：①去分母②去括号③移项④合并同类项⑤系数化1说明：一见到此方程，很多同学马上想到老师介绍的方法，那就是把分母化成整数，即各分数分子分母都乘以10，再设法去分母，其实，细致视察这个方程，我们可以将分母化成整数与去分母两步一步到位，第一个分数分子分母都乘以2，第二个分数分子分母都乘以5，第三个分数分子分母都乘以10.例4.解方程:++---+=2005.x=-2004*2006;例5.关于x的方程ax+5=的解x与字母系数a都是正整数,求a的值.a=6.例6.解方程.解析：方程两边乘以8，再移项合并同类项，得同样，方程两边乘以6，再移项合并同类项，得方程两边乘以4，再移项合并同类项，得方程两边乘以2，再移项合并同类项，得x=3.说明：解方程时，遇到多重括号，一般的方法是从里往外或从外往里运用乘法的安排律逐层去特号，而此题最简捷的方法却不是这样，是通过方程两边分别乘以一个数，到达去分母和去括号的目的。例7.(2021年贵州安顺)在“五一〞期间，小明、小亮等同学随家长一同到某公园玩耍，下面是购置门票时，小明与他爸爸的对话〔如图〕，试根据图中的信息，解答以下问题：小明他们一共去了几个成人，几个学生？请你扶植小明算一算，用哪种方式购票更省钱？说明理由。【分析】〔1〕首先分别设出成人和学生的人数，再分别表示出两者所需的费用，根据题意列出方程求解。〔2〕要确定哪种方式省钱，首先应求出团体票须要的费用，再比较即可．【答案】〔1〕设成人人数为x人，则学生人数为(12-x)人.则35x+〔12–x〕=350解得：x=8故：学生人数为12–8=4人,成人人数为8人.〔2〕假如买团体票，按16人计算，共需费用：35××16=336元336﹤350所以，购团体票更省钱。答：有成人8人，学生4人；购团体票更省钱。【点评】运用数学学问解决现代经济消费中的实际问题是中考的热点考察对象之一，同学们应多关切商品经济，生活中的规律、规则，把数学与生活有机结合起来．例8.解关于的方程【分析】由于所给方程中除外，还有另外一个变量，当取值不同时，方程的解发生变更，因此要针对进展分类探讨。解：原方程可依次化为当a=2时，则方程化为故随意实数都是方程的解；当a=3时，则方程化为故方程无解；当时，方程的解为。例9.一个商人以每3只16分钱的价格购进批量橘子，他又以每4只21分钱的价格购进比前一批数量多一倍的橘子。假如他以每3只k分钱的价格全部出售，可得到所投资的20%的收益，求k。【分析】除k作为一个要求的未知量之外，还可以引入一个设而不求的量------第一批橘子的只数，然后列出方程求解。解：设第一批橘子的只数有a只，则总值为分；第二批橘子有2a只，总值为分；全部售出可得分。有题设，有解得例10.假设则x的取值范围是？【模拟试题】一、选择题：1.以下方程的变形，正确的个数有〔〕个⑴由3+x=5，得x=5+3；⑵由7x=－4，得x=；⑶由，得y=2；⑷由3=x－2，得x=－2－3；A、1B、2C、3D、02.当x=2时，代数式ax－2的值是4，则当x=－2时，代数式的值是〔〕A、－4B、－8C、8D、2*3.几个同学在日历纵列上圈出了三个数，算出它们的和，其中错误的一个是〔〕A、28B、33C、45D、574.以下各方程中，是一元一次方程的是〔〕A、3x+2y=5B、y2－6y+5=0C、D、3x－2=4x－75.y=1是方程2－的解，则关于x的方程m〔x+4〕=m〔2x+4〕的解是〔〕A、x=1B、x=－1C、x=0D、方程无解*6.某种商品的进价为1200元，标价为1750元，后来由于该商品积压，商店打算打折出售，但要保持利润不低于﹪，则至多可打〔〕A、6折B、7折C、8折D、9折7.某市为解决药品价格过高的问题，确定大幅度降低药品的价格，其中将原价a元的某种常用药降价40﹪，则降价后此药的价格为〔〕A、元B、元C、60﹪a元D、40﹪a元8.以下说法中，正确的选项是〔〕A、代数式是方程B、方程是代数式C、等式是方程D、方程是等式9.与方程的解一样的方程是〔〕A、B、C、D、10.一个数的与2的差等于这个数的一半．这个数是〔〕A、12B、–12C、18D、–18*11.母亲26岁结婚，第二年生了儿子，假设干年后，母亲的年龄是儿子的3倍.此时母亲的年龄为〔〕A、39岁B、42岁C、45岁D、48岁*12.A、B两地相距240千米，火车按原来的速度行驶须要4小时到达目的地，火车提速后，速度比原来加快30％，则提速后只须要〔〕即可到达目的地。A、小时B、小时C、小时D、小时二、填空题13.假如x=4是方程ax=a+4的解，则a的值为______.14.当x=时，代数式4x－5的值等于7.15.甲数比乙数的2倍大1，假如设甲数为x，则乙数可表示为_____；假如设乙数为y，则甲数可表示为_________.16.初一〔3〕班男女生人数的比为5：4，假如男生人数为a人，则女生人数是____人，全班共有学生人.17.欢欢的生日在8月份．在今年的8月份日历上，欢欢生日那天的上、下、左、右4个日期的和为76，则欢欢的生日是该月的号.18.某工厂预料今年比去年增产15﹪，到达年产量60万吨，设去年的年产量为x万吨，则可列方程；19.甲、乙两辆汽车从相隔400米的两站同时同向动身，经过2小时后，甲车追上乙车，假设甲车的速度是a千米/时，则乙车的速度是；20.从甲地到乙地，公共汽车原需行驶7小时，开通高速马路后，车速平均每小时增加了20千米，只需5小时即可到达。甲乙两地的路程是；三、解答题21.解以下方程〔1〕〔2〕22.为何值时，代数式的值等于3？23.一家商店将某型号彩电先按原售价进步40﹪，然后在广告中写上“大酬宾，八折实惠〞.经顾客投诉后，执法部门按已得非法收入的10倍处以每台2700元的罚款.求每台彩电的原价格.24.小明的爸爸三年前为小明存了一份3000元的教化储蓄.今年到期时取出，得本利和为3243元.请你帮小明算一算这种储蓄的年利率.*25.在社会理论活动中，某校甲、乙、丙三位同学一起调查了顶峰时段北京的二环路、三环路、四环路的车流量〔每小时通过观测点的汽车车辆数〕，三位同学汇报顶峰时段的车流量状况如下：甲同学说：“二环路车流量为每小时10000辆〞.乙同学说：“四环路比三环路车流量每小时多2000辆〞.丙同学说：“三环路车流量的3倍与四环路车流量的差是二环路车流量的2倍〞.请你根据他们所供应的信息，求出顶峰时段三环路、四环路的车流量各是多少？【试题答案】1.D.[提示：选项⑴移项未变号；⑵系数化1后，右边的分母应为7；⑶应是y=0]2.B.[提示：将x=2代入ax－2=4得a=3，再将其与x=－2代入得代数式的值为－8]3.A.[提示：日历上纵列上的三个数的和是中间一个数的3倍]4.D.[提示：A是二元，B是二次，C不是关于未知数的整式]5.C.[提示：将y=1代入方程得m的值，再将m代入m〔x+4〕=m〔2x+4〕]6.C.[提示：设至多可打x折，可得方程解得x=0.8]7.C.[提示：列式得a〔1－40%〕，即60%a，选C]8.D.[提示：方程是含未知数的等式]9.A.[提示：原方程的解是x=.]10.B.[提示：设这个数为x.可得方程.解得x=－12.]11.A.[提示：设x年后，母亲的年龄是儿子的3倍，可得方程27+x=3〔1+x〕]12.B.[提示：设原来速度为x千米/时，则x=60千米/时]13..[提示：把x=4代入方程得关于a的一元一次方程]14.3.[提示：解关于x的一元一次方程4x－5=7]15.，2y+1[提示：根据等量关系甲数=2×乙数+1来解此题]16.，[提示：共9份，男生占了5份，女生占4份]17.19[提示：设欢欢的生日为x号，可得方程x－1+x+1+x+7+x－7=76]18.〔1+15%〕x=60[提示：留意是在去年的根底上增产的]19.〔a－200〕[提示：根据速度差×追与的时间=要追与的路程得方程]20.350千米[提示：设间接未知数，设原车速为x千米/时，则开通高速马路后，车速为〔x+20〕千米/时，列方程得7x=5〔x+20〕，解得x=50，所以两地路程为7×50=350〔千米〕.21.⑴去括号，得5x+40=12x－42+5移项合并同类项，得7x=77系数化1，得x=11⑵去分母，得3〔x+2〕－2〔2x－3〕=12去括号，得3x+6－4x+6=12移项合并同类项，得x=022.根据题意，可得方程=3再解这个方程，得x=5所以，当x=5时，代数式的值等于3.23.设每台彩电的原价格为x元，根据题意，列方程得[〔1+40%〕x·0.8－x]×10=2700解这个方程，得x=2250，答：每台彩电的原价为2250元.24.设这种储蓄的年利率为x，根据题意，列方程3000+3000x·3=3243，解这个方程，得x=0.027，即x=2.7%，答：这种储蓄的年利率为2.7%.25.设三环路的车流量是每小时x辆，则四环路为〔x+2000〕辆，根据题意，列方程，得3x－〔x+2000〕=2×10000，解得x=11000，所以x+2000=13000，答：三环路的车流量为11000辆，四环路的车流量为13000辆.3.3一元一次方程的应用【本讲主要内容】【本讲教化信息】一、教学内容：1.列方程解应用题.2.用一元一次方程解决实际问题.3.用二元一次方程组解决实际问题.二、学问要点：1.列方程解应用题，是初中数学的重要内容之一。很多实际问题都归结为解一种方程或方程组，所以列出方程或方程组解应用题是数学联络实际，解决实际问题的一个重要方面；同时通过列方程解应用题，可以培育我们分析问题，解决问题的实力。因此我们要努力学好这部分学问。列方程解应用题的主要步骤：〔1〕审题：细致审题，理解题意，弄清题目中的数量关系，找出其中的等量关系；〔2〕设未知数：用字母表示题目中的未知数，并用这个字母和数一起组成表示各数量关系的代数式；〔3〕列方程：利用这些代数式列出反映某个等量关系的方程〔留意所运用的单位肯定要统一〕；〔4〕解方程：求出所列方程的解；〔5〕检验：检验所求的解是否使方程成立，又能使应用题有意义，不符合实际的要舍去，并答题。2.用一元一次方程解决实际问题的常见类型〔1〕行程问题：行程问题的根本关系：路程＝速度×时间.①相遇问题：甲、乙相向而行，则有：甲走的路程＋乙走的路程＝总路程.②追与问题：甲、乙同向不同地，则：追逐者走的路程＝前者走的路程＋两地间的间隔.③环形跑道问题：假设甲、两人在环形跑道上同时同地同向动身：快者多跑一圈才能第一次追上慢者；假设同时同地背向而行：两人相遇时的总路程为环形跑道一圈的长度.〔2〕等积问题：正确应用面积和体积公式.①同一根绳子可以围成不同的图形，则有：两种图形的周长不变；②一个物体由一种形态变成另一种形态，变更前后体积不变；③液体由一个容器倒入另一个容器，则有：液体体积不变.〔3〕打折问题：打折就是以商品原价为根底，按肯定比例降价出售.如7折销售，就是原价×70%.利润：是指商品的售价减去进价.利润率：指商品的利润与进价的比率，即利润率＝eq\f(利润,进价)×100%.〔4〕利息问题，有以下根本关系式：①利息＝本金×利率×期数；②本息和＝本金＋利息；③利息税＝利息×利税税率.3.利用方程组解决实际问题除1中所列外，还有以下几种：〔1〕工程问题：工程问题中有三个量：工作效率、工作时间、工作量.其关系式为工作效率×工作时间＝工作量.工作效率是单位时间的工作量，同一题目中的时间单位必需统一，一般将工作总量设为1，也可设为A，应根据题目的特点合理运用.工程问题也常借助列表格或图象进展分析.〔2〕几何问题：初中数学学习过程中，很多几何问题借助代数学问解决，这样就出现了几何与代数的综合性题目，这类题目是近几年中考、竞赛中常见的题型，学习中应引起留意.〔3〕浓度问题：浓度问题中也有三个量：混合物〔溶液〕、浓度、纯物质〔溶质〕.其关系式为：混合物×浓度＝纯物质〔溶液×浓度＝溶质〕.【典型例题】例1.小明上学要经过小亮的家，他们两家相距1千米，小明骑自行车上学的时间比小亮步行上学的时间少10分钟.假如小明骑自行车的速度是9千米/时，小亮步行的速度是4千米/时，问他们上学各用多少时间？分析：我们可以设小明上学用x小时，则小亮上学用〔x＋eq\f(10,60)〕小时，这里留意要统一单位.等量关系是关于路程的，如下图，等量关系一目了然.解：设小明上学用x小时，小亮上学用〔x＋eq\f(10,60)〕小时，根据题意，得9x＝4〔x＋eq\f(10,60)〕＋1.解得，x＝eq\f(1,3)，x＋eq\f(10,60)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)＝eq\f(1,2)〔小时〕.答：小明上学用eq\f(1,3)小时，小亮上学用eq\f(1,2)小时.评析：行程问题中，要搞清关系式：路程＝速度×时间；时间＝eq\f(路程,速度)；速度＝eq\f(路程,时间).敏捷应用上述关系，常常以时间关系或路程间的关系列方程.例2.一项工程，甲独做需8天，乙独做要5天，丙独做10天完成，甲、乙合做2天后，因乙有事分开，由甲、丙接着做，还需几天完成？分析：主要是设此工程为1，则甲、乙、丙三者的效率分别为eq\f(1,8)、eq\f(1,5)、eq\f(1,10).解：设甲、丙接着做还需x天完成.依题意，得〔eq\f(1,8)＋eq\f(1,5)〕×2＋〔eq\f(1,8)＋eq\f(1,10)〕x＝1解这个方程，得：x＝eq\f(14,9)＝1eq\f(5,9).答：甲、丙接着做还需1eq\f(5,9)天完成.评析：一般把总工作量看成是1，工作量＝工作时间×工作效率，工作效率＝eq\f(1,工作时间).例3.景华制衣厂承受了一批服装订货任务，按方案天数进展消费，假如每天平均消费20套服装，就比订货任务少消费100套；假如每天消费23套服装，就可超过订货任务20套，问这批服装的订货任务是多少套？原方案多少天完成？分析：细致分析题意，此题有两个不变量：〔1〕这批服装的订货量不变；〔2〕方案的天数不变.由这两条来寻求等量关系，则思路清楚，简洁列出方程.解法1：设这批服装订货的任务为x套，由第一个条件可得方案的天数为eq\f(x－100,20)天，由第二个条件可得方案的天数为eq\f(x＋20,23)天，于是有eq\f(x－100,20)＝eq\f(x＋20,23).解方程，得x＝900.eq\f(x－100,20)＝eq\f(900－100,2)＝40.解法2：设方案x天完成任务，则由第一个条件可得这批服装共〔20x＋100〕套，由第二个条件可得这批服装共〔23x－20〕套，于是有20x＋100＝23x－20.解方程，得x＝40.20x＋100＝20×40＋100＝900.答：这批服装共900套，方案40天完成.评析：根据题目的问号设置未知数，是列方程解应用题的“干脆设〞；找出题目中全部不变的量，可以设这些不变量中的一个为未知数列一元一次方程，假如设的这个未知数〔不变量〕不是问号中的量，则就是“间接设〞.本例中两种解法均为通法，比较两种解法，解法2更简洁.例4.有两个容器，甲容器装有47升水，乙容器装有58升水，假如将乙容器的水倒满甲容器，则乙容器剩下的水相当于这个容器容积的一半；假如将甲容器的水倒满乙容器，则甲容器剩下的水相当于这个容器容积的eq\f(1,3)，问这两个容器的容积各是多少？分析：由题意知，两个容器共有水105升，假设设甲容器的容积为x升，则第一次倒满甲容器后，乙容器剩的水为〔105－x〕升，则乙容器的容积为2〔105－x〕升；同样的道理，第二次将甲容器的水倒满乙容器，甲容器剩的水为[105－2〔105－x〕]升或eq\f(x,3)升，相等关系是甲容器剩水的关系，本例过程如下图：解：设甲容器的容积为x升，则乙容器的容积为2〔105－x〕升，根据题意，得105－2〔105－x〕＝eq\f(1,3)x.解得x＝63.乙容器的容积为2〔105－x〕＝2〔105－63〕＝84.答：甲容器的容积为63升，乙容器的容积为84升.评析：本例中含有两个等量关系，一般状况下，选取一个等量设未知数列代数式，另一个等量列方程.例5.某地消费一种绿色蔬菜，假设在市场上干脆销售，每吨利润为1000元；经粗加工销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元.当地一家农工商公司收获这种蔬菜140吨，该公司加工厂的消费实力是：假如对蔬菜进展粗加工，每天可加工16吨；假如进展精加工，每天可加工6吨；但两种加工方式不能同时进展.受季节限制，公司必需在15天内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种可行方案：方案一：将蔬菜全部进展粗加工；方案二：尽可能多的对蔬菜进展精加工，没有来得与进展加工的蔬菜，在市场上销售；方案三：将部分蔬菜进展精加工，其余蔬菜进展粗加工，并恰好15天完成.你认为选择哪一种方案获利最多？为什么？分析：这是一个开放题，即没有给出答案，须要进展比较，再选择最正确结果，因此必需对三个方案逐个计算.解：方案一：全部粗加工，因为140÷16＝8.75〔天〕，可行.获利为4500×140＝630000〔元〕；方案二：每天只能精加工6吨，15天可加工6×15＝90吨，还有50吨在市场销售.获利为7500×90＋1000×50＝725000〔元〕；方案三：设将x吨蔬菜精加工，y吨蔬菜粗加工，依题意有：eq\b\lc\{(\a\al\vs3(x＋y＝140,\f(x,6)＋\f(y,16)＝15)).解得eq\b\lc\{(\a\al\vs3(x＝60〔吨〕,y＝80〔吨〕)).获利为7500×60＋4500×80＝818000〔元〕.答：方案三获利最多，为818000元，比其他两种方案获利多.例6.(2021江苏省无锡市惠山区数学试题)(〔此题总分值8分〕某班将实行“庆贺建党90周年学问竞赛〞活动，班长支配小明购置奖品，下面两图是小明买回奖品时与班长的对话情境：请根据上面的信息，试求两种笔记本各买了多少本？答案：设单价为5元的笔记本买了x本，则单价为8元的笔记本买了〔40-x〕本。〔1分〕由题意得：5x+8〔40-x〕=300+13-68〔3分〕解得：x=25〔5分〕则40-x=15〔7分〕答：单价为5元的笔记本买了25本，则单价为8元的笔记本买了15本。〔8分〕例7.机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，问需分别支配多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？分析：列表法。每人每天人数数量大齿轮16个x人16x小齿轮10个人等量关系：小齿轮数量的2倍＝大齿轮数量的3倍解：设分别支配x名、名工人加工大、小齿轮答：支配25人加工大齿轮，支配60人加工小齿轮。例8、小王：“小李，你的生日是几号？〞小李：“我的生日连同上下左右5个日期之和为21.〞小张却认为小李在说谎.请你扶植推断一下，小李有没有说谎？分析：要推断小李有没有说谎，就要看小李所说的日期是否存在.解：设小李的生日是号，则这个日期的上方的日期是，下方的日期是，左边的日期是，右边的日期是.根据题意，得解得.因为日期只能是整数，不行能是分数，所以小李在说谎.留意：用方程解应用题时，不仅要留意解方程的过程是否正确，还要检验方程的解是否符合问题的实际意义.【方法总结】1.在一道应用题中，往往含有几个未知数，应恰当地选择其中的一个，用字母x表示出来，然后根据数量之间的关系，将其他几个未知量用含x的代数式表示出来.2.一般状况下，题中所给条件在列式时不能重复运用，也不能漏掉不用.重复利用某一个条件，会得到一个恒等式，无法求得应用题的解.3.对于求得的解，还要看它是否符合实际意义，再写“答〞.【模拟试题】一、选择题x张，依题意可列出以下哪一个一元一次方程式？()A．30x+50(700-x)=29000B．50x+30(700-x)=29000C．30x+50(700+x)=29000D．50x+30(700+x)=29000。2．〔2021年深圳〕班长去文具店买毕业留言卡50张，每张标价2元，店老板说可以按标价九折实惠，则班长应付〔 〕A．45元 B．90元 C．10元 D．100元