基础工程力学第9章弯曲

第9章弯曲§9-1

剪力和弯矩.剪力图和弯矩图§9-2剪力图和弯矩图的进一步研究§9-3弯曲正应力§9-4求惯性矩的平行移轴公式§9-5弯曲切应力§9-6梁的强度条件§9-7挠度和转角§9-8斜弯曲§9-9超静定梁§9-10超静定梁§9-1剪力和弯矩•剪力图和弯矩图一，弯曲的概念1，弯曲变形受力特征：外力是作用线垂直于杆轴线的平衡力系（包括力偶）.变形特征：梁变形前为直线的轴线，变形后成为曲线。梁：

以弯曲变形为主的杆件。2,

对称弯曲(平面弯曲)纵向对称面：包含梁横截面的一个对称轴及其梁轴线的平面称为纵向对称面。AB横截面的对称轴梁的轴线纵向对称面AB横截面的对称轴梁的轴线纵向对称面对称弯曲：作用于梁上的所有外力都在纵向对称面内，弯曲变形后的轴线是一条在该纵向对称面内的平面曲线。F1F

2F

AFBAB横截面的对称轴梁的轴线纵向对称面F1F

2F

AFB变形后的轴线与外力在同一平面内一、梁横截面上的内力-----剪力（

FS）和弯矩（

M

）1，用截面法求横截面上的内力aFABF

AFBmmxFSxmAmC用截面法假想地在横截面mm

处把梁分为两段,取左段为脱离体由平衡方程得

F

y

=

0

F

A

-

F

S

=

0F

S

=

F

AFS

称为剪力aFABF

AFBmmxF

AFSxmAmCF

A由平衡方程得

mC

=

0M

-

F x

=

0AM

=F

A

x内力偶M

称为弯矩MaFABF

AFBmmxxmAmFSCF

AM梁在弯曲变形时，横截面上的内力有两个，即，剪力FS

和弯矩MaFABF

AFBmmxFSMBmmFBF取右段梁为脱离体。其上剪力的指向和弯矩的转向则与取左段梁为脱离体所示相反。aFABF

AFBmmxFSxmAmCF

AM2，FS

和M

的正负号的规定（1）剪力FS

的符号剪力FS使梁的微段发生“左上右下”的错动为正。+FSFSdx或使考虑的脱离体有顺时针转动趋势的剪力为正。-剪力FS

使梁的微段发生“左下右上”的错动为负。FSFSdx或使考虑的脱离体有逆时针转动趋势的剪力为负。+横截面上的弯矩使考虑的脱离体下边受拉，上边受压时为正。（2）弯矩符号（受拉）MM（受压）横截面上的弯矩使考虑的脱离体上边受拉，下边受压时为负。-（受压）（受拉）例9-1：求外伸梁1-1，2-2，3-3，4-4

横截面上的剪力和弯矩。解：求支座反力，取整体为研究对象F

A

=

4kN

(fl),

FB

=

6kN

(›)12kN.mAB2m2m2m2kN11223344FBFA12kN.m12FA1M11FS1求1-1

横截面上的内力（假设剪力和弯矩为正）-F

A

-

FS1

=

0F

A

·

2

+

M

1

=

0(-),

M

1

=

-8kN.m

(-)

F

y

=

0,

MC

=

0,FS1

=

-4kN12kN.mAB2m2m2m2kN11223344FBFAFS

2

=

-4kN

,

M

2

=

4kN.mM2FS2求2-2

横截面上的内力（假设剪力和弯矩为正）FA2kN.m22F

S1

=

-4kN

,

M

1

=

-8kN.m-F

A

-

FS1

=

0F

A

·

2

-12

+

M

1

=

0

F

y

=

0,

M

C

=

0,12kN.mAB2m2m2m2kN11223344FBFA,

M

1

=

-8kN.mFS1

=

-4kNFS

2

=

-4kN

,

M

2

=

4kN.m在集中力偶两侧的相邻横截面上,剪力相同而弯矩发生突变,且突变值等于外集中力偶之矩.12kN.mAB2m2m2m2kN11223344FBFA,

M

3

=

-4kN.m求3-3

横截面上的内力（假设剪力和弯矩为正）FA12kN.m3M33

FS3-F

A

-

FS1

=

0F

A

·

4

-12

+

M

1

=

0

F

y

=

0,

M

C

=

0,FS

3

=

-4kN12kN.mAB2m2m2m2kN11223344FBFAMF=

-4kN.m=

-4kN

,3S

3求4-4

横截面上的内力（假设剪力和弯矩为正）M4,

M

4

=

-4kN.m2kN4F

4S4FS

4

-

2

=

0-

M

4

-

2

·

2

=

0

F

y

=

0,

M

C

=

0,FS

4

=

2kN12kN.mAB2m2m2m2kN11223344FBFAM

3

=

-4kN.mM

4

=

-4kN.mFS

3

=

-4kN

,FS

4

=

2kN

,在集中力两侧的相邻横截面上,剪力发生突变,且突变值等于集中力的数值。而弯矩保持不变。12kN.mAB2m2m2m2kN11223344FBFA例题：求截面1—1

的剪力和弯矩。q=4kN/mF=5kN11a=2m3mFaqFS1M1

y

=

0FS1

-

F

-

qa

=

0FS1

=

F

+

qa

=13kN

MC

=

0a-M

1

-

Fa

-

qa

2

=

0qa2M

1

=

-Fa

- =

-18kN.m2q=4kN/mF=5kN3m11a=2m（1）横截面上的剪力在数值上等于此横截面的左侧或右侧梁段上外力的代数和。向上的外力引起正值的剪力向下的外力引起负值的剪力向下的外力引起正值的剪力向上的外力引起负值的剪力求剪力和弯矩的简便方法左侧梁段：{右侧梁段：{（2）横截面上的弯矩在数值上等于

此横截面的左侧或右侧梁段上的外力对该截面形心的力矩之代数和。不论在截面的左侧或右侧向上的外力均将引起正值的弯矩，而向下的外力则引起负值的弯矩。顺时针转向的外力偶引起正值的弯矩逆时针转向的外力偶引起负值的弯矩逆时针转向的外力偶引起正值的弯矩顺时针转向的外力偶引起负值的弯矩左侧梁段：{右侧梁段：{例题：求指定截面上的内力FSA左,FSA右,FSD左,FSD右,MD左,MD右MD右,FSB左,FSB右。FAFB解：FA

=

14.5

kN

，FB

=

3.5

kNq

=

3kN

mm=3kN.m2m2m4mCADBFSA左=-2q

=-6kN看A左截面左侧梁段计算FSA左FAFBq

=

3kN

mm=3kN.m2m2m4mCADBFAFBq

=

3kN

mm=3kN.m2m2m4mCADBFSA右=F

A

-2q

=8.5kN计算FSA右看A右截面左侧梁段FSA左„FSA右FAFBq

=

3kN

mm=3kN.m2m2m4mCADBFSD左=-FB

=-3.5kN看D左截面右侧梁段计算FSD左FAFBq

=

3kN

mm=3kN.m2m2m4mCADBFSD右=-FB

=-3.5kN计算FSD右看D右截面右侧梁段FSD

=FSD左=FSD右FAFBq

=

3kN

mm=3kN.m2m2m4mCADBM

D左=2F

B

-m

=4kN.mM

D左=4F

A

-6q

·3=4kN.m看D左截面右侧梁段看D左截面左侧梁段计算MD左FAFBq

=

3kN

mm=3kN.m2m2m4mCADBM

D右=2F

B

=7kN.m看D右截面右侧梁段看D右截面左侧梁段计算MD右M

D右=4F

A

-6q

·3+m

=7kN.mM

D左„M

D右FAFBq

=

3kN

mm=3kN.m2m2m4mCADB计算FSB左，FSB右FSB左=-FB

=-3.5kNFSB右=0注意一，在集中力作用截面的左，右两侧剪力值不等，即剪力值发生突

变，其突变值等于集中力的数值。该截面左、右两侧的弯矩值不变。二，在力偶作用截面的左，右两侧弯矩值不等，即弯矩值发生突变，其突变值等于力偶矩的数值。该截面左、右两侧的剪力值不变。二，列剪力方程和弯矩方程，画剪力图和弯矩图以梁的左端点为坐标原点，x

轴与梁的线重合,

找出横截面上剪力和弯矩与横截面位置的关系,这种关系称为剪力方程和弯矩方程。作剪力图时，表示剪力FS

的纵坐标取向上为正；作弯矩图时，表示弯矩M的纵坐标取向下为正，以使弯矩图始终位于梁的受拉一侧解:列剪力方程和弯矩方程xl例9-2：图示为一受均部荷载作用的悬臂梁。试作此梁的剪力图和弯矩图。q2(0

£

x

<

l)M

(x)

=

-

1

qx2(0

£

x

<

l)FS

(x)

=

-qx-2M

(x)

=

-

1

qx2

(0

£

x

<

l)(0

£

x

<

l)FS

(x)

=

-qxSF

(l)

=

-qlFSx-ql弯矩图为二次抛物线xM2M

(0)

=

0

M

(l)

=

-

1

ql2dx令

dM

(x)

=

-qx

=

0x

=

08M

(l

2)

=

-1

ql2ql2/2l

2ql2

8剪力图为一斜直线FS

(0)

=

0xlq-FSx-qlxMql2/2l

2ql2

8xlq2M

max

=

1

ql2FS

,max

=

ql2=

qlFA

=

FB例9-3：图示简支梁，在全梁上受集度为q的均布荷载作用。试作此梁的的剪力图和弯矩图。ABl解：求得两个支反力qFBFAABqFBFAx2SF

(x)

=

ql-

qx

(0

<

x

<

l)l取距左端为x

的任意横截面。写出剪力方程和弯矩方程。2

2qlx

qx2-

(0

£

x

£

l)M

(x)

=ABlqFBFAxqlFS

(x)

=

2

-

qx绘出剪力图。qlx

=

0,

FS

=

22S=

-

qlx=l,

F剪力图为一倾斜直线。ql

2(-)ql

2(+)ABlqFBFAxql

2ql

2(-)(+)2M

(x)

=

qlx

-

qx2

2弯矩图为一条二次抛物线。8ql2M

(0)

=

M

A

=

0=

-

qx

=

0dx

2dM

(x)

ql令2驻点

x

=

lM

(l)

=

M

B

=

0弯矩的极值

M

(l

2)

=绘出弯矩图ql2

8(+)ABlqFBql

2ql

2(-)(+)ql2

8(+)FA梁跨中截面上的弯矩值为最大ql2M

max

=

8但此截面上，FS

=02FS

max=

ql两支座内侧横截面上剪力绝对值为最大lFA=

Fb解：求梁的支座反力lFB=

Fa例9-4:

图示的简支梁在

C点处受集中荷载

F作用,且

a

>

b。试作此梁的剪力图和弯矩图。lFABCabF

AFB因为AC段和CB段的内力方程不同，所以必须分段写剪力方程和弯矩方程。lFABCabF

AFBlAS(0<

l

<

a)=

FbF

(x

)

=

FAC

段：xlA(0£x£l)x

=

Fb

xM

(x

)

=

FlFABCabF

AFBFABCabF

AFBxllBS(a

<

x

<

l)=

-

FaF

(x

)

=

-FCB

段：lB(a

£

x

£

l)M

(x

)

=

F

(l

-

x

)

=

Fa

(l

-

x

)lFABCabF

AFBlSF

(x

)

=

FblSF

(x

)

=

-

Fa剪力图两段均为水平直线Fb/lFa/l(-)(+)lFABCabF

AFBlM

(x

)

=

Fb

xM

(x

)

=

Fa

(l

-

x

)弯矩图l两段均为斜直线Fab/l(+)FABCabFBFab/llFb/lFa/l(+)(-)(+)在集中荷载作用处的左，右两F

A侧截面上剪力值（图）有突变。突变值等于集中荷载F。弯矩图形成尖角，该处弯矩值最大。解：求梁的支反力lFA=

-

MlFB

=

M例题：图示的简支梁在C点处受矩为M的集中力偶作用。试作此梁的的剪力图和弯矩图。lABCabMF

AFBlABCabMF

AFBM

(x)

=

F

A

x

=

-

M

x

(0

£

x

<

a)l将坐标原点取在梁的左端。梁分为AC,CB

两段AC

段FS

(x)

=

F

A

=

-

M

(0

<

x

£

a)lxABCabMF

AFBl(a

<

x

£

l)M

(x)

=

F

A

x

+

M

=

-

M

x

+

MBC

段l(a

£

x

<

l)FS

(x)

=

F

A

=

-

M

xllABCabMF

AFBl(0<

x

<

l)FS

=

-

M

elM

eFS

=

-全梁的为水平直线剪力图lM

e(-)lABCabMF

AFBlM

e

xM

(x)

=

-(0

£

x

<

a)lM

(x)

=

-

M

e

x

+

M

e(a

<

x

£

l)lx

=a,

M

C左=-M

e

a两段梁的弯矩图均为斜直线AC

段：x

=

0,

M

=

0CB

段：M

C右=-M

e

a

+M

e

=M

ebl

lx

=

a,x

=

l,

M

=

0Mea/lMeb/l(-)(+)作剪力图和弯矩图的几条规律取梁的左端点为座标原点，x轴向右为正；剪力图向上为正；弯矩图向下为正。以集中力、集中力偶作用处，分布荷载开始或结束处，及支座截面处为界面将梁分段。分段写出剪力方程和弯矩方程，然后绘出剪力图和弯矩图。梁上集中力作用处左、右两侧横截面上，剪力值（图）有突变，其突变值等于集中力的数值。在此处弯矩图则形成尖角。（4）梁上集中力偶作用处左、右两侧横截面上的弯矩值（图）有突变,其突变值等于集中力偶矩的数值。但在此处剪力图没有变化.（5）梁上剪力等于零(FS=0

)的截面是弯矩的极值面例9-5:

试作简支梁的剪力图和弯矩图

.解:求支座反力(fl);FB

=

6kN

(›)F

A

=

2kN0.4mABC2kN.m10kN//m0.2mF

AFB该梁分为AC

,CB

两段分段列剪力方程和弯矩方程0.4mABC2kN.m10kN//m0.2mF

AFBAC

段:(0

£

x

<

0.2)FS

(x)

=

-F

A

=

-2

(0

<

x

£

0.2)M

(x)

=

-F

A

x

=

-2x0.4mABC2kN.m10kN//m0.2mF

AFBx0.4mABC2kN.m10kN//m0.2mF

AFBxCB

段:(0.2

£

x

<

0.6)FS

(x)

=

-2

-10(x

-

0.2)

=

-10x110(x-0.2)2

=

-5x2

+1.8 (0.2

<

x

£

0.6)M

(x)

=

-2x

+

2

-

·20.4mABC2kN.m10kN//m0.2mF

AFB(0.2

£

x

<

0.6)FS

(x)

=

-10x(0

<

x

£

0.2)F

(x)

=

-2S-62剪力图0.4mABC2kN.m10kN//m0.2mF

AFB弯矩图M

(x)

=

-2x

(0

£

x

<

0.2)M

(x)

=

-5x2

+1.8

(0.2

<

x

£

0.6)AC段为斜直线,CB段为抛物线.dx令

dM

(x)

=

-10x

=

0x

=

0CB段取三个截面的弯矩值M

(0.2)

=1.6

M

(0.6)

=

0+-0.40.60.4mABC2kN.m10kN//m0.2mF

AFB0.4-+0.6-62FS

,max

=

6kNM

max

=1.6kN.m集中力偶作用处弯矩值发生突变,突变量等与集中力偶之矩.§9-2

剪力图和弯矩图的进一步研究设梁上作用有任意分布荷载其集度q

=

q(x)x一，弯矩、剪力与分布荷载集度间的关系yFMq(x)将坐标原点取在梁的左端。规定：q(x)向上为正。FMq(x)q(x)mmnnC假想地用坐标为x

和x+dx

的两横截面m

和n

从梁中取出dx略去

q(x)

沿

dx

的变化dxxmnFMq(x)mmnnCdxxmnSF

(x)M(x)FS(x)+dFS(x)M(x)+dM(x)q(x)m—m

截面上内力为FS(x)，M(x)x+dx

截面处则分别为FS(x)+dFS(x)，M(x)+dM(x)q(x)mmnnCFS(x)M(x)FS(x)+dFS(x)M(x)+dM(x)dxdFS(x)

=

q(x)F

S

(x)

-[F

S

(x)

+

dF

S

(x)]

+

q(x)dx

=

0-

dFS

(x)

+

q(x)dx

=

0列平衡方程

F

y

=

0,q(x)mmnnCSF

(x)M(x)FS(x)+dFS(x)M(x)+dM(x)dxdFS

(x)=

q(x)2[M

(x)

+

dM

(x)]-

M

(x)

-

F

(x)dx

-

q(x)dx

dx

=

0S

M

C

=

0略去二阶无穷小量即得dM

(x)

-

FS

(x)dx

=

0mmnnCSF

(x)M(x)FS(x)+dFS(x)M(x)+dM(x)dxdFS

(x)=

q(x)dxSq(x)dM

(x)

=

F

(x)=

q(x)dx2d

2

M

(x)二，画剪力图，弯矩图的简便方法（４）梁上剪力等于零(FS=0

)的截面是弯矩的极值面dxS（1）取梁的左端点为座标原点，x

轴向右为正（2

）作剪力图时，表示剪力FS

的纵坐标取向上为正；作弯矩图时，表示弯矩M

的纵坐标取向下为正（3）以集中力、集中力偶作用处，分布荷载开始或结束处，及支座截面处为界面将梁分段。分段写出剪力方程和弯矩方程，然后绘出剪力图和弯矩图。dM

(x)

=

F

(x)该梁分为AC

,CD

,DE

,EF

,FB

五段梁段上的外力只有两种情况: (1)

梁段上无外力;(2)

梁段上有分布荷载FMq(x)ADCEFBxFS(x)o1，梁上有向下的均布荷载，即q(x)=常数<0FS(x)图为一向右下方倾斜的直线M(x)图为一向下凸的二次抛物线dx2d

2

M

(

x)=

q(

x)dxdFS

(x)

=

q(x)(x)dxFSdM

(x)

=dx2d

2

M

(

x)=

q(

x)xFS(x)o2，梁段上无荷载作用，即q(x)=0剪力图为一条水平直线弯矩图为一斜直线xoM(x)dxdF

(x)S=

q(x)dxdM

(x)=

FS

(x)3，梁上最大弯矩可能发生在

FS(x)=

0

的截面上。4，在集中力作用处剪力图有突变，其突变值等于集中力的值。弯矩图的相应处形成尖角。5，在集中力偶作用处弯矩图有突变，其突变值等于集中力偶的值，但剪力图无变化。无荷载向下倾斜的直线(╲)下凸的二次抛物线一段梁上的外力情况剪力图弯矩图极值处FS=0水平直线斜直线q

=常数﹤0梁上的外力情况剪力图弯矩图集中力F集中力偶M在

F

的作用处发生突变，突变值等于F

。在

F

的作用处发生转折，形成尖角。M

作用处无变化M作用处发生突变，突变值等于M

。例题

画梁的内力图。解:求支座反力FB=

mm

-

FB

·

2a

=

0FB

+

FC

=

0

M

C

=

0,

y

=

0,FC2a

2a=

-

m梁分AB

,BC

两段a2aABCmFBFCRB2a=

mRC2a=

-

m(+)m/2a(-)m剪力图AB

段：水平直线FS

=

0BC

段：水平直线F2a=

m=

FSC左SB右FSC右=0弯矩图AB

段：水平直线M

=

-mBC

段：斜直线M

C

=

0a2aABCmFBFC例题:

试作简支梁的剪力图和弯矩图

.F

AFB0.4mABC2kN.m10kN//m0.2m解:求支座反力F

A

=

2kN

(fl);

FB

=

6kN

(›)梁分为AC

,CB

两段AC

段:水平直线FS

=

-F

A

=

-2kNCB

段:斜直线F

SC

=

-2kNF

SB左=-F

B

=-6kNF

SB右=0(1)

剪力图26-F

AFB0.4mABC2kN.m10kN//m0.2m26-F

AFB0.4mABC2kN.m10kN//m0.2mCB

段:下凸的二次抛物线(2)

弯矩图

AC

段:斜直线

M

A

=0M

C左=-F

A

·0.2=-0.4kN.mM

C右=2-F

A

·0.2=1.6kN.mMB

=

00.41.6-+一段梁上的外力情况剪力图弯矩图q

=常数﹤0向下倾斜的直线(╲)下凸的二次抛物线极值处FS=0无荷载水平直线斜直线复习梁上的外力情况剪力图弯矩图集中力F集中力偶M在

F

的作用处发生突变，突变值等于F

。在

F

的作用处发生转折，形成尖角。M

作用处无变化M作用处发生突变，突变值等于M

。例题如图所示为一简支梁，已知q

=2kN/m

，M0

=10kN·m，l

=6m，试绘剪力图和弯矩图。CBAM0q4m2m

M

A

=

0,6F

B

-

4q

·

4-

M

0

=

0FB=7kNF

A+FB

-

4q

=

0FA=1kN

F

y

=

0,解：求支座反力。CBAqM04m2mFBFACBAM0q4m2mFBFA用力的作用面及支座处截面将梁分段该梁分为AC，CB

两段（1）剪力图=

RA

-

4q

=

-RB

=

-7kNF

SB左1kN7kNbDFB右=0设D

截面到的C

距离为bF

SD

=

RA

-

qb

=

0b

=

0.5m+-AC

段为水平直线FS

=

RA

=1kNCB

段为斜直线FSC

=

RA

=1kNCBAqM04m2mFBFA1kN7kNbD+-CBAqM04m2mFBFAM

C右=2RA

+M

0

=12kN

.mM2D

A

0=

R

(2

+

b)

+

M

-

1

qb2=12.25kN

.mM

B

=

0（2）弯矩图AC

段为斜直线M

A

=

0M

C左=2RA

=2kN

.mCB

段为下凸的二次抛物线2kN·m+12kN·m12.25kN·mFSm当梁上有横向外力作用时，一般情况下，梁的横截面上既有弯矩M

，又有剪力FS。mM§9-3

弯曲正应力zzdAdAdAFSMtdAsdAsdAyy只有与切应力有关的切向内力元素dFS

=tdA

才能合成剪力只有与正应力有关的法向内力元素dFN

=sdA

才能合成弯矩所以，在梁的横截面上一般既有正应力，又有切应力一,纯弯曲时梁内的正应力MeMeBAFA=0FB=0(+)只有弯矩而无剪力作用的梁称为纯弯曲梁纯弯曲梁横截面上只有正应力,而无切应力即有弯矩又剪力作用的梁称为横力弯曲梁MeMeBA1，几何方面aabb梁在加力前先在其侧面上画上一系列的横向线（如mm

，nn

等）以及横向线相垂直的一系列的纵向线（如aa

，bb

等）。mmnn梁变形后观察到的现象（1）变形前相互平行的纵向直线（aa，bb等），变形后均为圆弧线（a'a'，b'b‘等)，且靠上部的缩短靠下部的伸长。maabbmmmnnmmaabbmmnn（2）变形前垂直于纵向直线的横向线（

mm

,nn

等）变形后仍

为直线（

m'm',n'n'等），但相对转了一个角度，且与弯曲后的纵向线垂直。m'm'n'n'mmaabbmmnnm'm'n'n'平面假设：梁在受力弯曲后,原来的横截面仍为平面，它绕着该横截面上的某一轴旋转了一个角度，且仍垂直于梁弯曲后的轴线。dq（3）公式推导用两个横截面从梁中假想地截取长为dx

的一段。由平面假设可知，在梁弯曲时，这两个横截面将相对地旋转一个角度dq

。dqO1O2dx横截面的转动将使梁的凹边的纵向线段缩短，凸边的纵向线段伸长。由于变形的连续性，中间必有一层纵向线段O1O2

无长度改变。此层称为中性层

。O1O2

的长度为dx

。dqO1O2dx中性轴与横截面的对称轴成正交。中性层与横截面的交线称为中性轴

。dqO1O2dx中性层中性轴横截面横截面的对称轴dqO1O2dxzxy将梁的轴线取为x

轴。横截面的对称轴取为y轴。中性轴取为z

轴。dqO1O2dxrBB1dqy在横截面上取距中性轴为y处的纵向线AB。r

为中性层上的纵向线段O1O2变弯后的曲率半径。作O2B1

与O1A

平行。O2B1

的长度为y

。AydqO1O2dxrAByB1dqydxAB1

为变形前AB

的长度

B1B

为AB1

的伸长量D

AB1e

为A

点的纵向线应变。ldx=

y(dq

)AB1

O1O2e

=

Dl

=

DAB1

=

B1

Br

dx中性层的曲率为1

=

dqye

=r2，物理方面假设：材料在线弹性范围内工作，且拉，压弹性模量相等。由胡克定律可得物理关系s

=

Ers

=

Ee=

E

yre

=

ys

=

Ee上式为横截面上正应力变化规律的表达式。上式说明，横截面上任一点处的正应力与该点到中性轴的距离y

成正比；在距中性轴为y

的同一横线上各点处的正应力均相等。Oxyzy1yrs

=

Ee

=

E

y需要解决的问题如何确定中性轴的位置？如何计算r

?yzxM3，静力学方面OdAzys

dA

F

x

=

0,AsdA

=

0Az

M=

0,y(sdA)

=

Mrs

=

Ee

=

E

yA

sdA

=

0AAr

sdA

=

E

ydA

=

0A

ydA

=

Sz

=

0中性轴必通过横截面的形心中性轴过截面形心且与横截面的对称轴y

垂直yyzz中性轴中性轴CC中性轴将横截面分为受拉和受压两部分。MMyyCzCz中性轴中性轴拉拉压压rs

=

Ee

=

E

yA

y(sdA)

=

MAAy2

dA

=Mry(sdA)

=

EEIz=

MrEI

zr1

=

MEIz

称为截面的抗弯刚度EI

zr1

=

Mrs

=

Ee=

E

yys

=

MI

z该式为等直梁纯弯曲时横截面上任一点处正应力的计算公式式中：M

—横截面上的弯矩。Iz

—横截面对中性轴的惯性矩。y

—求应力点的y

坐标。M

yI

zs

=zyMyI

zs

=

M

y4，讨论（1）应用公式时，一般将

M

，y

以绝对值代入。根据梁变形的实际情况直接判断

s

的正，负号。以中性轴为界{梁变形后凹入边的应力为压应力（

s

为负号）梁变形后凸出边的应力为拉应力（

s

为正号）s

=

M

yI

z横截面中性轴上各点的正应力最小。且smin=

0最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处yzCyc

maxyt

maxMstmaxsCmax压拉I

z

中性轴为对称轴s

=

M

yyzCyc

maxyt

maxMstmaxsCmax压拉IM

yzs

=yt

max

=

yc

max

=

ymax用ymax表示最大拉（压）应力点到中性轴的距离。yzCyc

maxyt

maxMstmaxsCmax压拉Izs

=

M

yI

zmaxM

y=

maxsI

zymaxW

z

=Wz

称为抗弯截面模量。yzCyc

maxyt

maxMstmaxsCmax压拉W

z=

Msmax中性轴是对称轴的梁横截面上最大正应力的计算公式为yzh6=bh2h

2bh3

12I

zW

z=h

2

=I

zmaxW

z

=

y矩形截面的抗弯截面系数b圆形截面的抗弯截面系数32πd

4

64d

2

d

2I

zpd

3==W

z

=yzyWI

zzmax=d

2d

2ys

=

MI

Z中性轴上正应力

s

=

0

；复习一,中性轴的位置:

中性轴过截面形心与对称轴垂直二，纯弯曲时横截面上正应力公式W

z=

M=

s

=

ssmaxC

,maxt

,max横截面上离中性轴最远的各点处，正应力值最大。当中性轴是对称轴时y

对于中性轴不是对称轴的横截面Mzyt

maxstmaxyc

maxsCmax应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离

ytmax

和yCmax

直接代入公式。求得相应的最大拉应力和最大压应力。yMzyt

maxstmaxyc

maxsCmaxσI

Zc,maxσI

Z=

M yc

max=

M

yt

maxt

,maxσ

c

maxσt

maxyMzyt

maxstmaxyc

maxsCmax例9-6：求图示T

形截面梁横截面上的最大拉应力

st,max，及最大压应力

sC,max

。梁的横截面尺寸及形心

C

的位置如图所示，且已知

Iz

=

290.

6·10-8

mm4

。Me

=

3kN.m

。MeMe6580208035y20zCMeMe6580208035zC解：这是纯弯曲,横截面上的弯矩为Me,中性轴为水平的形心轴z横截面上最大拉应力在上边缘处，y

=35mm横截面上最大压应力在下边缘处，y

=65mms

t

,maxy

s

C

,max20MeMe65802035zC80s

t

,maxy

s

C

,max20=290.6·10-8(3·103)(35·10-3)=

36.1MPa

(+)IzM

e

yt

maxs

t,max

==290.6·10-8(3·103)(65·10-3)=

67.1MPa

(-)IzM

e

yC

maxs

C

,max

=三,

纯弯曲理论的推广

•

梁内正应力强度条件1,

横力弯曲时梁内的正应力当梁上有横向力作用时，横截面上既又弯矩又有剪力。梁在此种情况下的弯曲称为横力弯曲。横力弯曲时，梁的横截面上既有正应力s

，又有切应力t。切应力使横截面发生翘曲横向力引起与中性层平行的纵截面的挤压应力纯弯曲时所作的平面假设不适用但工程中常用的梁，纯弯曲时的正应力计算公式可以精确的计算横力弯曲时横截面上的正应力。s

(x)

=

M

(x)

yI

z梁上最大的正应力发生在弯矩最大截面离中性轴最远的边缘上当中性轴是对称轴时s

max

=

M

maxW

z当中性轴不是对称轴时σI

z=

M yc

maxc

maxIzM

yt

maxσt

max

=803565202080z例9-7：T形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示。求横截面最大拉应力

st,max

,

和最大压应力

sC,max,已知

Iz=

290.

6·10-8

m4

.F1=8kNF2=3kNACBD1m1m1mF1=8kNF2=3kNACBD1m1m1m解：支座反力为F

A

=

2.5kN画出弯矩图。FA2.5C3B(-)(+)F1=8kNF2=3kNACBD1m1m1mFA2.5C3B(-)(+)803565202080z最大正弯矩在截面C

上最大负弯矩在截面B上MC

=

2.5KN

.mM

B

=

3KN

.mF1=8kNF2=3kNACBD1m1m1mFA2.5C3B(-)(+)803565202080zB

截面{I

zs

t

max

=

M

B

·0.035

=

36.1MPaI

zs

c

max

=

M

B

·0.065

=

67.1MPa

(-)st,maxsC,maxF1=8kNF2=3kNACBD1m1m1mFA2.5C3B(-)(+)803565202080zC

截面{I

zs

t

max

=

MC

·0.065

=

56.0MPaI

zs

C

max

=

MC

·0.035

=

30.2MPa

(-)st,maxsC,maxF1=8kNF2=3kNACBD1m1m1mFA803565202080z发生在C

截面的下边缘发生在B

截面的下边缘30.256.0

67.1st,max

=

56.0MPasC,max

=

67.1MPa36.12,

梁内正应力强度条件在工程设计中，首先要求梁的横截面上的最大弯曲正应力不超过材料的许用正应力。s

max

£

[s

](1)

当中性轴为横截面的对称轴时s

max

=

M

max

£[s

]W

z(2)当中性轴不为横截面的对称轴，且梁的材料拉，压强度不等，在计算中分别要求s

t,max

£

[s

t

]s

C

,max

£

[s

C

]利用梁的正应力强度条件可以对进行三种不同形式的强度计算：

强度校核；

选择截面尺寸或型钢号码；

确定许可荷载。yz一,静矩和形心dAoyzS

z

=

A

ydAS

y

=

A

zdASz

,Sy

为平面图形对z

轴和y

轴的静矩§9-4

惯性距的平行移轴公式oyzydACzzyC

为截面的形心(y,z

)为截面形心的坐标oyzydACzzz

=

A

zdA

=

S

yA

Ay

=

A

ydA

=

SzA

Ay形心坐标的计算公式为：oyzdAycyzzS

y

=

AzSz

=

AyoyzdAyCzzS

y

=

AzSz

=

Ayy若图形对某一轴的静矩等于零，则该轴必过图形的形心。截面对形心轴的静矩等于零。zor二,

极惯性矩

惯性矩1，截面对o

点的极惯性矩ydAdAAPI

=r2yzor2，截面对y,z

轴的惯性矩dAyzdAAzI

=

y2AI

y

=

z2dAIy

,

Iz

称为截面对

y,

z

轴的惯性矩yzodAyzdAAzI

=

y2AI

y

=

z2dAdAIAP=r2r2

=

z2

+

y2I

P

=

I

y

+

I

zr极惯性矩，惯性矩的数值恒为正bhzyC例题：求矩形截面对其对称轴z,y

轴的惯性矩。ydydAyAzI

=2解：取dA

=

bdybh32dyy2dAh

2=

12I

z

=

A=

-h

2

byhb3I

y

=

12例题：求圆形截面对其对称轴的惯性矩。yz解:截面对其圆心O

的极惯性矩为64I

z

I

y4=

pd=pd

4I

P

=

32z

y

r=

II

+

IIyz=

IObhzyCbh3I

z

=

12hb3I

y

=

12pd

4I

z

=

I

y

=

64yoz三,平行移轴公式CzCyCozaybCzCyCoyabz已知截面对形心轴zC，yC

的惯性矩和惯性积求截面对与形心轴平行的z

，y

轴惯性矩和惯性积CzCyCozyab则平行移轴公式为I

z

=

I

zC

+

a2

AI

y

=

I

yC

+

b2

AI

z

=

I

zii=1n

nI

y

=

I

yii=1组合截面的惯性矩，惯性积例题：求梯形截面对其形心轴z

轴的惯性矩。8020803565z208020803565z20解：将截面分成两个矩形截面。I

z

=

I1

+

I

2z

z8020803565z20Iz=

I1

+

I

2z

zz11

21I

z

=

I

z

+

a

A14212105.3·10

m·

20)

=+(35-10)

(8080·203=-88020803565z20I

z

=

I1

+

I

2z

z42

(8012·

20)

=185.3·10

m+

(65-40)20·803-8z2

=z2+

a2

AI

2

=

Iz2IIIz2z1z290.6·10=+=-8

m4zhb§9-5

弯曲切应力一，矩形截面梁横截面上的切应力FSyzhbFSy上式为矩形截面梁对称弯曲时横截面上任一点处的切应力计算公式。FS*t

=

S zI

z

bFI

z

bFS

—横截面上的剪力Iz

—横截面对中性轴的惯性矩b

—

矩型截面的宽度S*t

=

S zSz*

—

过求切应力的点做与中性轴平行的直线，该线任一边的横截面面积A*

对中性轴的静矩。zhbFSyA*FS*t

=

S zI

z

bzhbyA*)2

42

222*yhSb1

hh2z--

y)]

=

(-

y)][y

+

(=[b(FSFS*t

=

S zI

z

b*

*Sz

=

A

yyzhbyA*2

4b

h2z(

-

y2)S*

=FS2h2-

y

)42I

Zτ

=

(FSFI

z

bS*t

=

S z可见，切应力沿截面高度按抛物线规律变化。2(1)

y

=

–

h即在横截面上距中性轴最远处，切应力等于零(t=0

)(2)

y

=

0即在中性轴上各点处，切应力达到最大值2

Atmax

=

3

FSFS2h242I

Zτ

=

(

-

y

)tmax式中

，

A

=

bh

,

为矩形截面的面积

。矩形截面剪应力沿截面高度的变化如图所示。2

A=

3

FStmaxzhbFSyFS2h2-

y

)42I

Zτ

=

(横截面上距中性轴最远处，切应力等于零(t=0

)中性轴上各点处，切应力达到最大值2

Atmax

=

3

FS复习FS*t

=

S zI

z

b例9-9(P208):

矩形截面外伸梁如图所示.试求:(1)

横截面1-1上点1bhz处的应力;(2)

横截面2-2

上点2,3,4

处的应力FF/2l/2h/4ll/2l/41234112

3F/22bhzFF/2l/2h/4ll/2l/41234112

3F/22Z

F

S

2h2τ

=

(

-

y

)2I

42

Amax=

3

FStI

zM

(x)

ys

(x)

=W

zM

(x)s

max

=bhzFF/2l/2h/4ll/2l/41234112

3F/22解：(1)

点1

处的应力42M

1

=

-

FlFS1

=

-

F

,3F3

FS12

A

=

4

As1

=

0

t1

=bhzFF/2l/2h/4ll/2l/41234112

3F/224M

2

=

-

FlFS

2

=

F

,(+),t2

=

0s

2

=

M

2

=

Fl

4

=

3FlW

z

bh2

6

2bh2bhzFF/2l/2h/4ll/2l/41234112

3F/22t3

=

3F

2

=

3F2

A

2

As

3=0,4M

2

=

-

FlFS

2

=

F

,bhzFF/2l/2h/4ll/2l/41234112

3F/22zz

FS

8A9F)h442I42Ih2FS

22h24]

=[

-(=

(

-

y

)

=t4(-)4bh22bh3

12=

M

2

y4

=

(Fl

4)(h

4)

=

3FlI

zs4M

2

=

-

FlFS

2

=

F

,tbztdh二,工字形截面梁腹板上的切应力腹板1，腹板上的切应力下翼缘上翼缘tbztdhI

z

dF

S*t

=

S

zFS

—横截面上的剪力。Iz

—横截面对中性轴的惯性矩d

—腹板的宽度S

*

—面积A*

对中性轴的静矩zA*

—过欲求应力点的水平线，到截面边缘的距离。A*tmaxtb切应力沿腹板高度按抛物线规律分布。最大的切应力tmax仍发生在截面的中性轴上。ztdhI

z

dFS

S*tmax

=

z,maxzzI

z

dFS

S*tmax

=

z,maxI

z

dFS

S*t

=

z腹板腹板三,梁的切应力强度条件max

£

[t]对于等直梁,可写作I

z

b

z,max

£

[t]FS

,max

S*矩形截面梁2

A3FS

,max

£

[t]一般梁，其强度主要受到按正应力强度条件控制。所以在选择截面尺寸或确定许可荷载时，都先按正应力强度条件进行计算。£

[s

]s

max

=M

maxW

z(P213)例9-11：一简支梁受四个集中荷载F1=120kN,

F2

=30kN,F3=40kN,F4=12KN。此梁由两根槽钢组成,已知梁的许用应力[s]=170MPa,[t]=100MPa

。试选择槽钢型号。zyoI

z

b

z

£[t]FS

,max

S*0.60.4

0.40.32.4ABF1

F2F3F4zyo0.60.4

0.40.32.4ABF1F2F3F4FAFB解：支座反力为FA

=

138kNFB

=

64kN0.60.4

0.40.32.4ABF1F2F3F4FAFBFS,max

=

138k-)(+)0.60.4

0.40.32.4ABF1F2F3F4FAFBMmax

=

62.4kN.m55.262.45438.4(+)（1）由正应力强度条件选择槽钢型号-6

310

m=

367·‡M

max[s

]Wzs

max

=

M

max

£

[s

]W

z2=183.5·10-6

m3367

·10-6W

z

=每一槽钢所需要的抗弯截面系数为从型钢表中选用20

号槽钢W

z

=191·10-6

m3能满足正应力强度要求55.262.45438.4(+-)(+)-6

310

m=

367·‡M

max[s

]Wzs

max

=

M

max

£

[s

]W

z2=183.5·10-6

m3367

·10-6W

z

=每一槽钢所需要的抗弯截面系数为从型钢表中选用20

号槽钢W

z

=191·10-6

m3能满足正应力强度要求55.262.45438.4(+-)(+)（1）由正应力强度条件选择槽钢型号I

z

b z

max

£

[t]F

S

,max

S*75119（2）校核最大切应力F

S

,max

=138kN由于梁是由两根槽钢组成，故每一根槽钢分担的最大剪力为F

S

,max

=

69kN2=

[11·75·(100-11)

+

(100-11)

·9·

(100-11)]

=113.6·10-6

m32

2S*z

max由型钢表查得20

号槽钢的Iz

=19100

cm4。tmax

=

z

max

=

45.5MPa

<

[t]F¢S

,max

S*I

z

d由此可见，所选的20号槽钢满足正应力强度条件，也满足切应力强度条件，因而可用。一，基本概念1，取梁的左端点为坐标原点，梁变形前的轴线为x轴，横截面的铅垂对称轴为y

轴。§9-7挠度和转角xywqxy2，度量梁变形后横截面位移的两个基本量挠度（

w）:

横截面形心

C(即轴线上的点)在垂直于

x轴方向的线位移，称为该截面的挠度。转角（q）：横截面对其原来位置的角位移（横截面绕中性轴的转动）,称为该截面的转角。wqxy挠曲线（3）挠曲线：梁变形后的轴线称为挠曲线挠曲线方程为w

=

w(x)qxy3,

挠度与转角的关系q(x)

»

tanq(x)

=

w

(x)xwy4，挠度和转角符号的规定挠度：向下为正，向上为负。转角：