2020辽宁省葫芦岛市高二上学期期末数学试题(解析版)

辽宁省葫芦岛市高二上学期期末数学试题一、单选题1.过点（3,2）,斜率是-的直线方程是（2A.y-3χ+42B.y——x+23)C.2X-3y=0D.3x-2y=0【答案】C【解析】直接由直线方程的点斜式写出直线方程,化为一般式得答案.【详解】解：:直线过点（3,2）且斜率为3,2由直线方程的点斜式得：y-2=3（X-3）,整理得：2X-3y=0.故选：C.【点睛】本题考查了直线的点斜式方程,考查了点斜式和一般式的互化,是基础题.2.下列可作为数列1,2,1,2,1,2,…的通项公式的是（ ）A 1+(-l1-1 D 3+(-1>A.a= B.a= n 2 n2n兀C.a=2-Sm——

n 2【答案】BD.a=2-CoS[(n-1)兀]【解析】将a2=2,a3=1代入排除可得结果.【详解】解：当n=2时，A,a=0；B,a=2；C,a=2；D,a=3，故排除AD；2222当n=3时，B,a3=1；C,a3=3，故排除C；故选：B.【点睛】本题考查观察法求数列的通项公式,利用排除法可准确得到答案,是基础题.3.已知直线4X+my-6=0与直线5X-（m-1）y+8=0垂直，则实数m的值为（）A.-4或5B．－4C.5D.4或一5【答案】A【解析】由两条直线互相垂直的条件，建立关于m的方程，解之即可得到实数m的值.【详解】解：因为直线4X+my-6=0与直线5X_(m-1)y+8=0垂直，4×5+m-(m-1)=0，解得：m=5或m=-4,故选：A.【点睛】本题给出含有字母参数m的直线方程，在它们相互垂直的情况下求参数m的值.着重考查了两条直线相互垂直的充要条件，属于基础题..设ABCD-ABCD是棱长为a的正方体，AC与BD相交于点。，则有（ ）1111 1 1A.AB∙AC=A2a2B.AB∙AC=a211 1【答案】B.已知等差数列｛a｝的公差为d（d≠0）,

nC.AB∙AO=—aD.2BC∙DA=a21且a+a+a+a+a=40

5 6 8 10 11若a=8,

m，则m的值为（ ）A.2B.4C.6D.8【答案】DX2 y2.双曲线一-——=1（a>0,b>0）与抛物线y2=8X有一个公共焦点F，双曲a2b2线上过点F且垂直实轴的弦长为2√'2，则双曲线的离心率等于（ ）A.至3 B.m C.√2 D.v3\o"CurrentDocument"3 2【答案】C.直线/:kx-y-k+√3=0与圆X2+y2=8交于A,B两点，且|ABI=4√2，过点A,B分别作l的垂线与X轴交于点M,N，贝MMNl等于（ ）A.4 B.4√2 C.8 D.822【答案】D.点M（5,3）到抛物线y=ax2（a≠0）的准线的距离为6,那么抛物线的方程是（ ）A.y=12x2C.y=-36x2【答案】DB.y=12x2或y=-36x2D.y=—x2或y= x212 36二、多选题.若a=(―1,λ,-2),b=(2，—1j),a与b的夹角为120。，则λ的值为( )A.17 B.-17 C.-1 D.1【答案】AC.若P是圆C：G+3、+G—3)=1上任一点，则点P到直线y=kχ—1距离的值可以为()A.4 B.6 C.3√,2+1 D.8【答案】ABC【解析】由题意画出图形，求出圆心到直线y=息—1距离的最大值，加半径可得点P到直线y=kx—1距离的最大值，观察选项大小得答案.【详解】解：如图，圆C：(X+3)2+(y—3)2=1的圆心坐标为(—3,3)，半径为1,直线y=kx—1过定点(。,一1)，由图可知，圆心C到直线y=kx—1距离的最大值为《(-3-0)2+(3+1)2=5,则点P到直线y=kx—1距离的最大值为5+1=6.ABC中的值均不大于6,只有D不符合.故选：ABC.【点睛】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，是中档题.X2y211.椭圆一+2_=1上的一点P到椭圆焦点的距离的乘积为m,当m取最大值时，点1625P的坐标不可能为（ ）A.（4,0） B.（0,5） C.（-4,0） D.（0,—5）【答案】BD【解析】根据IPFHPF2I≤(IPFI+1PF|)当PFI=PF2时m最大，进而求出点、2-

一)2,2,P的坐标.【详解】解：记椭圆的两个焦点分别为FJ有PF+PF1 :=2a=10,2则知m=IPF∣∙IPFJ≤(IPFI+1PFn2、2-

一)2=25,当且仅当IPFII=IPFJ=5，即点P位于椭圆的短轴的顶点处时，m取得最大值25,・•・点P的坐标为（一4,0）或（4,0）,故选：BD.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程的性质,灵活运用椭圆的定义是解这道题的关键..已知数列｛a｝中，a=1,an 1 n+11——=n(1\I1+Va,

nn∈N*.若对于任意的te11,2］,不等式f<一212-（a+1）t+a2-a+2恒成立，则实数a可能为（ ）nA.—4B.-2C.0D.2【答案】AB\o"CurrentDocument"aa1 1【解析】变形条件可得f-f=---7n+1nnn+1 .、一a 1一利用累加法可求得f=2--<2，将n n原不等式恒成立转化为［21-（a-1）］（t+a）≤0对于任意的t∈I1,2］恒成立，将ABCD选项中的数值代入验证即可得结果.【详解】aa1解：a1n+1——― a11n+1n—n，

n—n11n+1 nn(n+1)nn+1，a则—nn—a—n―■11—1n—1n—1n,a—n―■1—a-n2n—1n—211—n—2n—1, ，aT2—aT1-1-2,a上述式子累加可得：f—a

n1a-1—1

,

n―2—1<2

,

nn∙,∙—2t2—(a+1)t+a2—a+2≥2对于任意的teH,2]恒成立，整理得[21—(a—1)](t+a)≤0对于任意的tWL,2]恒成立，对A,对B,对C,当a——4时，不等式(2t+5)(t—4)≤0,/ 5/解集一展4包含11,2]故A正确;当a——2时，不等式(2t+3)(t—2)≤0,3C解集-Y包含『,2]故B正确;当a=0时，不等式(21+1)t≤。，解集-2内，不包含限21，故C错误;,,对D,当a=故选:AB.,,,,2时，不等式(2t—1)(t+2)≤0，解集—2,2，不包含『,2]，故D错误，,,,【点睛】本题考查累加法求数列通项公式以及不等式恒成立问题，将选项逐一代人验证可得准确得到答案，避免分类讨论，是中档题.三、填空题.过点(3,√5)作圆C：G—1)2+w—r2的切线有且只有一条，则圆C的半径为【答案】3【解析】根据题意说明点在圆上，代入点的坐标列方程求解即可.【详解】解：由已知得点Q,J5^)在圆C：(X—1>+w―r2上，得(3—1)2+5—r2,:.r=3,故答案为：3.【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，推出点在圆上是关键，是基础题..已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，ZABC=120。，AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB^与BC1所成角的正弦值为.【答案】1515【解析】先求出AB1、bci的长度以及abi∙BCI,再利用公式Cos<AB,BC>=1 1AB∙BC 1 1AB∙BC1 1求得夹角的余弦值，进而可得正弦值.【详解】如图，由已知得AB^=√22+12=BBC1=√Γ+1=√2,AB∙BC=^AB+BB)∙Qc+CC)=AB∙BC+AB∙CC+BB∙BC+BB∙CC11 1 1 1 1 11=2×1×cos60+1=2,.∙.cos<AB,BC>=11AB∙BC2 √10 1—: 1-=—： ：—= AB1∣∙∣BC1∣√5∙√2 5・•.Sin<AB,BC>=11√15，故答案为：Q55【点睛】本题考查异面直线的夹角问题，利用向量法可方便求出，关键是要将目标向量用知道夹角和模的向量来表示出来，是中档题.y2.在平面直角坐标系xOy中，p为双曲线X2--=1右支上的一个动点.若点P到4直线2x-y+5=0的距离大于m恒成立，则实数m的最大值为.【答案】J5【解析】双曲线x2-丝=1的渐近线方程为2X±y=0,m的最大值为直线42χ-y+5=0与直线2X-y=0的距离.【详解】解：由题意，双曲线X2-y2=1的渐近线方程为2X±y=0,4由点P到直线2X-y+5=0的距离大于m恒成立,；.m的最大值为直线2X-y+5=0与渐近线2X-y=0的距离d-|5|∖∙'2+12故答案为：√5.【点睛】本题考查双曲线的性质，考查两平行线之间的距离公式，考查学生的计算能力，属于中等题..“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等.某仓库中部分货物堆放成如图所示的“茭草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n件.已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的7,第n层的货物的价格为 ，若这堆货物总价是8(7An-1【答案】n- 6(8J【解析】由题意可得第n层的货物的价格为a=nn（7）18Jn-1根据错位相减法求和即可求出.【详解】解：由题意可得第n层的货物的价格为a=nnn-1，(7设这堆货物总价是S=1•—187则一S=1・8n（7,（7、318）+.・・+n•2+…+n・n-1,①，n，②，1 （7由①-②可得RS=1+-1（7、+——（7、18）n-1-n・1-8（7=8-（8+n）・一18（7S=64-8（8+n）・一18(7•・•这堆货物总价是64-112—18n万元，・•・8（8+n）=112,λn=6,(7、n-1故答案为：n—18)【点睛】本题考查了错位相减法求和，考查了运算能力以及分析问题和解决问题的能力，属于18J0+2・n7（7、18）1+3・（7、18）1-（7、18Jnn,（7、18）18）+2•（7、218）+3•（7、18）nV8718）2+3+…+（7、18）（7、18）n-n・（7、18）nn，n7,、7;6.，中档题.四、解答题.知数列｛a｝是公差d不为0的等差数列，

n首项α1=1，且a2,a4,a8成等比数列.(1)求数列｛a｝的通项公式;n⑵设数列'卜满足b=2a-2an-1,求数列｛b｝的前n项和T.n nnnn【答案】（1）a=n（2）T=n（n+1）-2n+1nn【解析】(1)利用等差数列的通项公式列方程求出公差，进而可得通项公式.(2)利用分组法求出数列的和.【详解】(1)4=1,且%,QjA成等比数列得(1+34»=(l+d)G+7d),：.d-∖:.a-n.9n(2)根据题意：b二2"一2"-1,nT=G-2o)+(4-2i)+……+(2n-2«-i)n=(2+4+6+ +2〃)—C∑o+2ι+ +2〃-1),T=∏(jι+l)-2n+1n【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，利用分组法求出数列的和，是基础题.18.已知圆C：x2+>2+4x=0,直线/：ax+y-2a=Q,(1)直线恒过点尸，求点尸的坐标；(2)当“为何值时，直线/与圆C相切；(3)当直线/与圆C相交于A,B两点、,且IA5l=2j7时，求直线/的方程.【答案】(1)尸(2,0)(2)a=±g(3)X+√7y-2=0或x—/y—2=0【解析】(1)直/：α%+y-2α=°的方程可化为“(x—2)+y=0,可得直线/过定点P;(2)利用圆心到直线的距离等于半径，列方程求解;(3)根据弦长和半径求出弦心距，然后利用点到直线的距离公式构建关于。的方程.【详解】(1)直线/：ωc+y-2a=0y可化为/：〃(x—2)+y=0,(2)将圆C的方程X2+>2+4x=0化成标准方程为(x+21+丁2=4,\o"CurrentDocument"-2a+0-2a 3若直线l与圆C相切，则有J 」=2，解得a=±—；\o"CurrentDocument"a2+1 3（3）直线l与圆C相交于A，B两点，且IABI=2√2，-2a+0-2al圆的圆心C(-2,0)到直线的距离 , I,a2+1.「；22-_-2a+0-2a∖1堂)2aa2+1解得a=±豆,7故所求直线方程为X+√7y-2=0或X-√,7y-2=0.【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，第一问的关键是要a的系数为零；第二三问关键都是利用圆心到直线的距离来解决问题，是基础题.19.已知椭圆C：—+y2=1(a>b>0)与双曲线M：—-y2=1有相同左右焦点F,a2b2 2 1F2，且椭圆上一点P的坐标为（1）求椭圆C的方程；1-1∖

-.L 2√⑵若直线l过M（0,2）且与椭圆C交于A，B两点，若OA∙OB>0，求直线l的斜率取值范围.X2【答案】（1）—+y2=1（2）

4-2TI2Dl与17【解析】（1）由已知可得焦点坐标，可得方程a2-b2=3，在利用点在曲线上可得「1丫LlIb21，解方程组即可；二1⑵设A(X,()、B(X,y)，112 2X2 .l：y=kX+2，与_+y2=1联立，利用判别式和4韦达定理，计算OA∙OB=XX+yy，列不等式求解k的取值范围.12 12【详解】(1)因为椭圆C：x2+"=1(a>b>0)与双曲线M：x2一y2=1有相同左、右焦a2 b2 2点JJ且椭圆上一点P的坐标为’l2,)a2-b2=3,所以勺⑴2l2J=I，b2F，2解得a2=4,b2=1,X2 .所以椭圆C方程为—+W=1；4X2(2)由题意得直线l的斜率存在且不为0,设l：y=kX+2代入一+y2=1整理，4得(I+4k2)X2+16kX+12=0,∆=(16k)—4(I+4k2)12=16(4k2—3)>0nk2>4①设A(X1，y1),B(X2,y2)，16k121+4k2，・•・χι+X2= X∙X1+4k2, 12OA∙OB=XX+yy>0,12 12=(kx+2)(kx+2)=k・•・x1X2+叩2=2+k2)XX+122XX+2k(X+X)+412 1 2 ，2k(X+X)+412又学21=(I+k2)12+2k1+4k24(4-k2)+4= >0，1+4k2(16k\(1+4k2/・•・k2<4②，3， /由①、②得4<k2<4,3 W・•.k的取值范围是一2，——-l2√【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，关键是韦达定理的应用，档题..如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是梯形，注意不要忽略判别式，是中且BC//AD,AD=2BC,点Q是线段AD的中点，过BQ的平面BQMN交平面PCD于MN，且PQ±AB,AP=PD，且/APD=120o,BD=2AB=4,ZADB=30。.（1）求证：BQ//MN；（2）求直线PA与平面PCD所成角的余弦值.【答案（1）证明见解析（2）』3319【解析（1）先证明四边形BCDQ是平行四边形，可得BQ//CD，则可证明BQ//平面PCD，再利用线面平行的性质定理证明BQ//MN；（2）先证明QA，QC，QP两两垂直，则可建立如图所示的空间直角坐标系Q一孙Z，求出AP，再求出平面PCD的一个法向量，可得直线PA与平面PCD所成角的正弦值,进一步求解余弦值.【详解】（1）证明：因为BC//DQ且BC=DQ,所以四边形BCDQ是平行四边形，所以BQ//CD，BQ亡平面PCD,CDU平面PCD,所以BQ//平面PCD,BQU平面BQMN,平面BQMN平面PCD=MN,所以BQ//MN；（2）在AABD中，因为BD=2AB=4ZADB=30o,，AB所以由正弦定理SinzADBBDSinZBAD2即 SinZ30o4SinZBAD'，AB所以SmZBAD=1,.∙.ZBAD=90。，.∙.在RtABAD中^D=tan30°所以AD=2*3，因为AAPD是等腰三角形，且ZAPD=120。，点Q是线段AD的中点,得AQ=QD=√3,PA=PD=2,PQ=DQtan30。=1,在ARAQ中，PA=PD,。为中点，所以PQ_LA。，又由已知PQ,A8且ADCAN=A,故尸Q_L平面ABCZ),又QCU平面ABCD,所以PQ_LQC；在AABD中,由即=2AB=4,ZADB=30°,可知ABLAD,易知四边形ABCQ为平行四边形，所以QC_LA。，故QA,QC,。〃两两垂直；所以建立如图所示的空间直角坐标系Q-孙Z,(∕3,θ,θ)c(θ,2,θ),dC√3,O,o),p(o,o,i),设平面PeD的一个法向量为〃=G,y,z),Sgu),3Cd,所以MN则A为平面PCD的一`个法向量,因为A尸二设直线PA与平面PCD所成的角为θ,AP∙nsinθ= 则APn故直线PA与平面PCD所成角的余弦值为U3.【点睛】本题考查直线与直线平行的判定，空间直线与平面所成的角的计算，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解线面角，是中档题..已知数列｛〃｝为等差数列，且满足a=0,a=12，数列｛b｝的前n项和为S,n 2 6 n n且b=1,b=2S+1.1 n+1 n(1)求数列｛4｝的通项公式；n⑵证明：｛b｝是等比数列，并求｛b｝的通项公式；nn/1L(3)若对任意的n∈N*，不等式k∙S+-≥a恒成立，求实数k的取值范围.In2Jn【答案】(1)a=3n—6(2)证明见解析，b=3n-1,(3)

n n2 \9,十：【解析(1)列方程求出数列｛a｝的公差，进而可直接求出其通项公式.n(2)利用b—b=2(S—S),可得｛b｝是等比数列，进而可求其通项公式;n+1 n n n-1 n(3)代入S和a,

nn/1V将k∙s+刀≥a恒成立，转化为k≥In 2J n6(n-2) 对n∈N*恒成立,

3n6(n-2)求出 的最大值，即可得实数k的取值范围.3n【详解】(1)设等差数列｛a｝的公差为d,∙.∙a-a=4d=12,.∙.d=3,n 6 2.∙.a=a+(n-2)d 即a=3n-6；\o"CurrentDocument"n2 'n '(2)∙.∙b=2S+1,.∙.b=2S +1(n≥2),n+1 n n n-1.∙,b-b=2(S-S),.∙.b=3b(n≥2),O=3(常数)n+1 n n n-1 n+1 n bn又b=2S+1=3b=3b也成立，2 1 '21 '.∙.｛b｝是以1为首项，3为公比的等比数列，・•・b=3n-1∙nn〔浮+2J1-3n 3n-1,・•.k∙(3)S=n1-3 2≥3n-6对n∈N*恒成立,即k≥6(n-2)对n∈N*恒成立,c-cnn-1n—2n—3-2n+7

- = 3n 3n-13n当n≤3时，.∙.(c)=cnmax3>cn-11当n≥4时，C<C,n n-12故k≥6c=—,393nn-2令c= n3ncn27'2即k的取值范围为-,+∞,

_9J【点睛】本题考查数列的通项公式的求法及应用，等比数列的前n项和公