2021年辽宁省丹东市总工会涉外旅游服务职业中学高三数学理上学期期末试题含解析

2021年辽宁省丹东市总工会涉外旅游服务职业中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.为得到函数y=sin（x+）的图象，可将函数y=sinx的图象向左平移m个单位长度，或向右平移n个单位长度（m，n均为正数），则|m﹣n|的最小值是(

) A． B． C． D．参考答案：B考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：依题意得m=2k1π+，n=2k2π+（k1、k2∈N），于是有|m﹣n|=|2（k1﹣k2）π﹣|，从而可求得|m﹣n|的最小值．解答： 解：由条件可得m=2k1π+，n=2k2π+（k1、k2∈N），则|m﹣n|=|2（k1﹣k2）π﹣|，易知（k1﹣k2）=1时，|m﹣n|min=．故选：B．点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，得到|m﹣n|=|2（k1﹣k2）π﹣|是关键，考查转化思想．2.已知奇函数是定义在R上的可导函数，其导函数为，当时，有，则不等式的解集为()A.(－∞,－2016) B.(－2016,－2012) C.(－∞,－2018) D.(－2016,0)参考答案：A【分析】构造新函数，根据条件可得是奇函数，且单调增，将所求不等式化为，即，解得，即【详解】设，因为为R上奇函数，所以，即为上奇函数对求导，得，而当时，有故时，，即单调递增，所以在R上单调递增不等式，即所以，解得故选A项.【点睛】本题考查构造函数解解不等式，利用导数求函数的单调性，函数的奇偶性，题目较综合，有一定的技巧性，属于中档题.3.设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＝()参考答案：A略4.已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数）．下面四个图象中，的图象大致是（）．

．

．

．参考答案：C由条件可知当时，，函数递减，当时，，函数递增，所以当时，函数取得极小值.当时，，所以，函数递增，当，，所以，函数递减，所以当时，函数取得极大值.所以选C.5.已知函数上的最小值为－2，则的取值范围是

A．

B．C．

D．参考答案：D6.已知函数f（x）、g（x）：x0123f（x）2031

x0123g（x）2103则f（g（2））=（）A．2 B．1 C．3 D．0参考答案：A【考点】3T：函数的值．【分析】由函数f（x）、g（x）对应的函数值表先求出g（2）=0，从而f（g（2））=f（0），由此能求出结果．【解答】解：由函数f（x）、g（x）对应的函数值表知：g（2）=0，f（g（2））=f（0）=2．故选：A．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．7.（5分）已知函数f（x）=ex﹣mx+1的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y=ex垂直的切线，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．（，+∞）C．（，e）D．（e，+∞）参考答案：B【考点】：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】：导数的概念及应用．【分析】：求函数的导数，利用导数的几何意义以及直线垂直的等价条件，转化为（ex﹣m）e=﹣1，有解，即可得到结论．解：函数的f（x）的导数f′（x）=ex﹣m，若曲线C存在与直线y=ex垂直的切线，则切线斜率k=ex﹣m，满足（ex﹣m）e=﹣1，即ex﹣m=﹣有解，即m=ex+有解，∵ex+＞，∴m＞，故选：B【点评】：本题主要考查导数的几何意义的应用，以及直线垂直的关系，结合指数函数的性质是解决本题的关键．8.已知函数的周期为π，当时，方程恰有两个不同的实数解，，则（）A.2 B.1 C.﹣1 D.﹣2参考答案：B【分析】对进行化简，利用周期为，求出，根据在上的图象，得到的值，再求出的值.【详解】由，得．．作出函数在上的图象如图：由图可知，，．故选B项．【点睛】本题考查正弦型函数的化简及其图像与性质，属于简单题.9.已知函数f（x）=且f（a）=﹣3，则f（6﹣a）=(

)A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣参考答案：A【考点】分段函数的应用；函数的零点．【专题】函数的性质及应用．【分析】由f（a）=﹣3，结合指数和对数的运算性质，求得a=7，再由分段函数求得f（6﹣a）的值．【解答】解：函数f（x）=且f（a）=﹣3，若a≤1，则2a﹣1﹣2=﹣3，即有2a﹣1=﹣1＜0，方程无解；若a＞1，则﹣log2（a+1）=﹣3，解得a=7，则f（6﹣a）=f（﹣1）=2﹣1﹣1﹣2=﹣．故选：A．【点评】本题考查分段函数的运用：求函数值，主要考查指数和对数的运算性质，属于中档题．10.已知集合A={0，b}，B={x∈Z|x2﹣3x＜0}，若A∩B≠?，则b等于(

) A．1 B．2 C．3 D．1或2参考答案：D考点：交集及其运算．专题：集合．分析：解不等式求出集合B，进而根据A∩B≠?，可得b值．解答： 解：∵集合B={x∈Z|x2﹣3x＜0}={1，2}，集合A={0，b}，若A∩B≠?，则b=1或b=2，故选：D．点评：本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.数列{2n﹣1}的前n项1，3，7，…，2n﹣1组成集合（n∈N*），从集合An中任取k（k=1，2，3，…，n）个数，其所有可能的k个数的乘积的和为Tk（若只取一个数，规定乘积为此数本身），记Sn=T1+T2+…+Tn，例如当n=1时，A1={1}，T1=1，S1=1；当n=2时，A2={1，3}，T1=1+3，T2=1×3，S2=1+3+1×3=7，试写出Sn=．参考答案：﹣1【考点】元素与集合关系的判断．【分析】通过计算出S3，并找出S1、S2、S3的共同表示形式，进而利用归纳推理即可猜想结论．【解答】解：当n=3时，A3={1，3，7}，则T1=1+3+7=11，T2=1×3+1×7+3×7=31，T3=1×3×7=21，∴S3=T1+T2+T3=11+31+21=63，由S1=1=21﹣1=﹣1，S2=7=23﹣1=﹣1，S3=63=26﹣1=﹣1，…猜想：Sn=﹣1，故答案为：﹣1．12.抛物线x2=2py（p＞0）上一点A（，m）（m＞1）到抛物线准线的距离为，点A关于y轴的对称点为B，O为坐标原点，△OAB的内切圆与OA切于点E，点F为内切圆上任意一点，则的取值范围为．参考答案：【考点】直线与抛物线的位置关系；抛物线的简单性质．【分析】利用点在抛物线上，求出m，点A到准线的距离为，求出p，即可解出抛物线方程，设点F（cosθ，2+sinθ）（θ为参数），化简数量积，求解范围即可．【解答】解：因为点在抛物线上，所以，点A到准线的距离为，解得或p=6．当p=6时，，故p=6舍去，所以抛物线方程为x2=y，∴，所以△OAB是正三角形，边长为，其内切圆方程为x2+（y﹣2）2=1，如图4，∴．设点F（cosθ，2+sinθ）（θ为参数），则，∴．故答案为：．【点评】本题考查抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力．13.计算矩阵的乘积______________参考答案：略14.已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为60°，且与椭圆有相等焦距，则C的方程为_____参考答案：x21【分析】根据渐近线倾斜角求出斜率得到，结合焦距即可求得方程.【详解】由椭圆的方程可得焦距为4，再由双曲线的渐近线方程可得：tan60°，由题意可得a2+b2＝4，解得：a2＝1，b2＝3，所以双曲线的方程为：x21；故答案为：x21．【点睛】此题考查求双曲线的方程，根据椭圆求得焦距，根据渐近线的倾斜角得出斜率，建立等量关系求解基本量a，b，c.15.若对任意，（）有唯一确定的与之对应，则称为关于的二元函数。定义：满足下列性质的二元函数为关于实数的广义“距离”:

（1）非负性：,当且仅当时取等号;（2）对称性：;

（3）三角形不等式：对任意的实数均成立．给出三个二元函数:①;②;③．请选出所有能够成为关于的广义“距离”的序号_______________．参考答案：【知识点】新定义概念；不等式；函数.B1，E2【答案解析】②解析：解解：对于①，不妨令x-y=2，则有此时有（x-y）2=4，而故f（x，y）≤f（x，z）+f（z，y）不成立，所以不满足三角不等式，故①不满足,对于②，f（x，y）=|x-y|≥0满足（1）；f（x，y）=|x-y|=f（y，x）=|y-x|满足（2）；f（x，y）=|x-y|=|（x-z）+（z-y）|≤=f（x，z）+f（z，y）满足（3），故②能够成为关于的x、y的广义“距离”的函数

对于③，由于x-y＞0时，无意义，故③不满足

故答案为：②【思路点拨】通过令特殊值的形式说明关系式是否成立，根据不等式的关系进行证明.16.设x，y满足约束条件，向量，且a∥b，则m的最小值为_______________．参考答案：-6略17.已知向量、的夹角为，且，，则向量与向量的夹角等于

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在平面直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为（t为参数），以O为极点x轴的正半轴为极轴建极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ（cosθ﹣sinθ）=4，且与曲线C相交于A，B两点．（Ⅰ）在直角坐标系下求曲线C与直线l的普通方程；（Ⅱ）求△AOB的面积．参考答案：【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）利用三种方程的转化方法，求曲线C与直线l的普通方程；（Ⅱ）求出|AB|，O到直线l的距离，即可求△AOB的面积．【解答】解：（Ⅰ）已知曲线C的参数方程为（t为参数），消去参数得y2=4x，直线l的极坐标方程为ρ（cosθ﹣sinθ）=4，由x=ρcosθ，y=ρsinθ得普通方程为x﹣y﹣4=0；（Ⅱ）已知抛物线y2=4x与直线x﹣y﹣4=0相交于A，B两点，由，得，O到直线l的距离，所以△AOB的面积为．19.设，解关于的不等式参考答案：20.已知函数（1）求的最小正周期和最小值；（2）已知，求证：．参考答案：解：（1），和最小值为-2.（2）证明：由已知得两式相加得，

略21.（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=3，sinC=2sinB，求b、c的值．参考答案：【考点】：余弦定理；正弦定理．【专题】：解三角形．【分析】：（1）由已知利用正弦定理余弦定理可得：=，化为2sinCcosA=sin（A+B）=sinC，即可得出；（2）利用正弦定理余弦定理即可得出．

解：（1）由正弦定理余弦定理得=，∴2sinCcosA=sin（A+B）=sinC，∵sinC≠0，∴，∵A∈（0，π），∴．（2）由sinC=2sinB，得c=2b，由条件a=3，，由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc=3b2，解得．【点评】：本题考查了正弦定理余弦定理的应用、两角和差的正弦公式、三角形内角和定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.（12分）某校高三（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：（1）求全班人数，并计算频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高；（2）若要从分数在[80，100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，则在抽取的试卷中，求至少有一份分数在[90，100]之间的概率．参考答案：【考点】：古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图；茎叶图．【专题】：概率与统计．【分析】：（1）由茎叶图先分析出分数在[50，60）之间的频数，结合频率分布直方图中该组的频率，可由样本容量=，得到全班人数，再由茎叶图求出数在[80，90）之间的频数，结合频率分布直方图中矩形的高==，得到频率分布直方图中[80，90]间的矩形的高；（2）先对分数在[80，100]之间的分数进行编号，并统计出从中任取两份的所有基本事件个数，及至少有一份分数在[90，100]之间的所有基本事件个数，代入古典概型概率计算公式可得答案．解：（1）由茎叶图知，分数在[50，60）之间的频数为2，频率为0.008×10=0.08，∴全班人数为=25人．又∵分数在[80，90）之间的频数为25﹣2﹣7﹣10﹣2=4频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高为=0.016．

（7分）（2）将[80，90）之间的4个分数编号为1，2，3，4，[90