2022-2023学年湖南省长沙市高塘岭镇第一中学高三数学文下学期期末试卷含解析

2022-2023学年湖南省长沙市高塘岭镇第一中学高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算．【分析】正方体上下底面中心的连线平行于BB1，上下底面中心的连线与平面ACD1所成角，即为BB1与平面ACD1所成角，直角三角形中，利用边角关系求出此角的余弦值．【解答】解：如图，设上下底面的中心分别为O1，O，设正方体的棱长等于1，则O1O与平面ACD1所成角就是BB1与平面ACD1所成角，即∠O1OD1，直角三角形OO1D1中，cos∠O1OD1===，故选D．【点评】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D到平面ACD1的距离是解决本题的关键所在，这也是转化思想的具体体现，属于中档题．2.已知,若在上恒成立,则实数的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D略3.已知复数,是的共轭复数,则等于(

)A.16

B.4

C.1

D.参考答案：C4.函数f（x）=的图象可能是（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】函数的图象．【分析】由函数的解析式，可求出函数的定义域，可排除B，D答案；分析x∈（﹣2，﹣1）时，函数值的符号，进而可以确定函数图象的位置后可可排除C答案．【解答】解：若使函数的解析式有意义则，即即函数的定义域为（﹣2，﹣1）∪（﹣1，+∞）可排除B，D答案当x∈（﹣2，﹣1）时，sinx＜0，ln（x+2）＜0则＞0可排除C答案故选A【点评】本题考查的知识点是函数的图象，熟练掌握函数定义域的求法及函数值符号的判定是解答的关键．5.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是

A．

B．

C．－ D．0参考答案：B略6.

设球的半径为时间t的函数。若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长速度与球半径(

)A．成正比，比例系数为C

B．成正比，比例系数为2CC．成反比，比例系数为C

D．成反比，比例系数为2C参考答案：D7.偶函数满足，且在x∈0，1时,，则关于x的方程，在x∈0，3上解的个数是（

）A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：D8.如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是 （）A． B． C． D．参考答案：B9.直线与平面成45°角，若直线在内的射影与内的直线成45°角，则与

所成的角是

（

）

A．30°

B．45°

C．60°

D．90°参考答案：答案：C10.下列结论正确的是（）A．当x＞0且x≠1时，lgx+≥2 B．当x＞0时，+≥2C．当x≥2时，x+的最小值为2 D．当0＜x≤2时，x﹣无最大值参考答案：B【考点】7F：基本不等式．【分析】本题中各选项都是利用基本不等式求最值，注意验证一正、二定、三相等条件是否满足即可．A中不满足“正数”，C中“=”取不到．【解答】解：A中，当0＜x＜1时，lgx＜0，lgx+≥2不成立；由基本不等式B正确；C中“=”取不到；D中x﹣在0＜x≤2时单调递增，当x=2时取最大值．故选B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在实数集R中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”，类似的，我们在平面向量集D={|=（x，y），x∈R，y∈R}上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“＞＞”．定义如下：对于任意两个向量=（x1，y1），=（x2，y2），当且仅当“x1＞x2”或“x1=x2且y1＞y2”时，＞＞成立．按上述定义的关系“＞＞”，给出如下几个命题：①若=（1，0），=（0，1），=（0，0），则＞＞＞＞；②若＞＞，＞＞，则＞＞；③若＞＞，则对于任意∈D，+＞＞+；其中真命题的序号为．（把你认为正确的命题序号都填上）参考答案：①②③考点：进行简单的合情推理．专题：推理和证明．分析：根据已知中任意两个向量=（x1，y1），=（x2，y2），当且仅当“x1＞x2”或“x1=x2且y1＞y2”时，＞＞成立．逐一判断四个结论的真假，可得答案．解答：解：∵任意两个向量=（x1，y1），=（x2，y2），当且仅当“x1＞x2”或“x1=x2且y1＞y2”时，＞＞成立．∵若=（1，0），=（0，1），=（0，0），则》》，故①正确；（2）设=（x1，y1），=（x2，y2），=（x3，y3），由＞＞，得“x1＞x2”或“x1=x2且y1＞y2”由＞＞，得“x2＞x3”或“x2=x3且y2＞y3”若“x1＞x2＞x3”，则》；若“x1＞x2”，且“x2=x3且y2＞y3”，则“x1＞x3”，所以＞＞若“x1=x2且y1＞y2”且“x2＞x3”，[来源:学+科+网]则x1＞x3，所以＞＞若“x1=x2且y1＞y2”且“x2=x3且y2＞y3”，则x1=x3且y1＞y3，所以＞＞，综上所述，若＞＞，＞＞，则＞＞，所以②正确（3）设=（x1，y1），=（x2，y2），=（x，y），则+=（x1+x，y1+y），+=（x2+x，y2+y），由＞＞，得“x1＞x2”或“x1=x2且y1＞y2”若x1＞x2，则x1+x＞x2+x，所以+＞＞+；若x1＞x2”或“x1=x2且y1＞y2，则x1+x=x2+x且y1+y＞y2+y，所以+＞＞+；综上所述，若＞＞，则对于任意∈D，+＞＞+；所以③正确，综上所述，①②③正确，故答案为：①②③[来源:Zxxk.Com]点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了新定义“＞＞”．正确理解新定义“＞＞”的实质，是解答的关键．12.已知函数的图象上任意一点处的切线方程为，那么

的单调减区间

参考答案：13.f（x）=，函数y=f[f（x）]+1的所有零点所构成的集合为

．参考答案：【考点】函数的零点．【专题】函数的性质及应用．【分析】函数y=f[f（x）]+1的零点，即求方程f[f（x）]+1=0的解，下面分：当x≤﹣1，﹣1＜x≤0，0＜x≤1，x＞1时4中情况，分别代入各自的解析式求解即可．【解答】解：当x≤﹣1时，f（x）=x+1≤0，∴f[f（x）]+1=x+1+1+1=0，∴x=﹣3；当﹣1＜x≤0时，f（x）=x+1＞0，∴f[f（x）]+1=log2（x+1）+1=0，∴x=﹣；当0＜x≤1时，f（x）=log2x≤0，∴f[f（x）]+1=log2x+1+1=0，∴x=；当x＞1时，f（x）=log2x＞0，∴f[f（x）]+1=log2（log2x）+1=0，∴x=所以函数y=f[f（x）]+1的所有零点所构成的集合为：{}故答案为：{}．【点评】本题考查函数的零点、方程的解法以及分类讨论的思想．属基础题．14.设，其中.若对一切恒成立，则以下结论正确的是

.（写出所有正确结论的编号）．①；②；③既不是奇函数也不是偶函数；④的单调递增区间是；⑤

经过点的所有直线均与函数的图象相交．参考答案：①③⑤略15.下列说法中错误的是（填序号）①命题“?x1，x2∈M，x1≠x2，有[f（x1）﹣f（x2）]（x2﹣x1）＞0”的否定是“?x1，x2?M，x1≠x2，有[f（x1）﹣f（x2）]（x2﹣x1）≤0”；②已知a＞0，b＞0，a+b=1，则+的最小值为5+2；③设x，y∈R，命题“若xy=0，则x2+y2=0”的否命题是真命题；④已知p：x2+2x﹣3＞0，q：＞1，若命题（￢q）∧p为真命题，则x的取值范围是（﹣∞，﹣3）∪（1，2）∪[3，+∞）．参考答案：②③【考点】命题的真假判断与应用．【分析】对4个命题分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：①命题“?x1，x2∈M，x1≠x2，有[f（x1）﹣f（x2）]（x2﹣x1）＞0”的否定是“?x1，x2∈M，x1≠x2，有[f（x1）﹣f（x2）]（x2﹣x1）≤0”，故不正确；②已知a＞0，b＞0，a+b=1，则+=（+）（a+b）=5++≥5+2即+的最小值为5+2，正确；③设x，y∈R，命题“若xy=0，则x2+y2=0”的否命题是“若xy≠0，则x2+y2≠0”，是真命题，正确；④已知p：x2+2x﹣3＞0，q：＞1，若命题（￢q）∧p为真命题，则￢q与p为真命题，即，则x的取值范围是（﹣∞，﹣3）∪（1，2]∪[3，+∞），故不正确．故答案为：②③．16.△ABC为等腰直角三角形，是△ABC内的一点，且满足，则的最小值为

．参考答案：17.如图所示，三棱锥P﹣ABC中，△ABC是边长为3的等边三角形，D是线段AB的中点，DE∩PB=E，且DE⊥AB，若∠EDC=120°，PA=，PB=，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为．参考答案：13π【考点】LR：球内接多面体；LG：球的体积和表面积．【分析】由题意得PA2+PB2=AB2，即可得D为△PAB的外心，在CD上取点O1，使O1为等边三角形ABC的中心，在△DEC中，过D作直线与DE垂直，过O1作直线与DC垂直，两条垂线交于点O，则O为球心，在△DEC中求解OC，即可得到球半径，【解答】解：由题意，PA2+PB2=AB2，因为，∴AD⊥面DEC，∵AD?PAB，AD?ABC，∴面APB⊥面DEC，面ABC⊥面DEC，在CD上取点O1，使O1为等边三角形ABC的中心，∵D为△PAB斜边中点，∴在△DEC中，过D作直线与DE垂直，过O1作直线与DC垂直，两条垂线交于点O，则O为球心．∵∠EDC=90°，∴，又∵，∴OO1=，三棱锥P﹣ABC的外接球的半径R=，三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为4πR2=13π，故答案为：13π．【点评】本题考查了几何体的外接球的表面积，解题关键是要找到球心，求出半径，属于难题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，四棱锥中，底面为菱形，，是的中点.（1）若，求证：；（2）若平面，且点在线段上，试确定点的位置，使二面角的大小为，并求出的值.

参考答案：（1）略（2）解析：（1），为的中点，，又底面为菱形，，,又平面，又平面,平面平面;----------------6分（2）平面平面,平面平面,平面.以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系如图.则,设(),所以，平面的一个法向量是，设平面的一个法向量为，所以取，-----------------------------------------9分由二面角大小为，可得：，解得，此时--------------------------------12分

略19.设计算法求的值，画出程序框图.参考答案：这是一个累加求和问题，共99项相加，可设计一个计数变量、一个累加变量用循环结构实现这一算法.程序框图如下图所示.20.（本题满分13分）现有3所重点高校A,B,C可以提供自主招生机会，但由于时间等其他客观原因，每位同学只能申请其中一所学校，且申请其中任一所学校是等可能的。现某班有4位同学提出申请，求：（1）恰有2人申请A高校的概率；（2）4人申请的学校个数的分布列和期望.参考答案：【知识点】离散型随机变量的期望与方差．K6（1）；（2）见解析。

解析：（I）由题意知本题是一个等可能事件的概率试验发生包含的事件是4个人中，每一个人有3种选择，共有34种结果，满足条件的事件是恰有2人申请A学校，共有种∴根据等可能事件的概率公式得到P==

（6分）（II）由题意知ξ的可能取值是1，2，3P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=∴ξ的分布列是：ξ123P∴Eξ=

（13分）

【思路点拨】（1）所有可能的方式有34种，恰有2人申请A大学的申请方式有种，从而然后利用概率公式进行求解；（2）=1，2，3，然后分别求出相应的概率，列出分布列，根据数学期望公式进行求解即可；21.已知数列的各项均为正数，满足，．（1）求证：；（2）若是等比数列，求数列的通项公式；（3）设数列的前项和为，求证：．参考答案：（1）详见解析；（2）；（3）详见解析．考点：数列综合题．22.如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=2，DC=2，AA1=，AD⊥DC，AC⊥BD，垂足为E，（Ⅰ）求证：BD⊥A1C；（Ⅱ）求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．【分析】（I）由已知得AC是A1C在平面ABCD上的射影，由此利用BD⊥AC，能证明BD⊥A1C．（II）连结A1E，C1E，A1C1，推导出BD⊥A1E，BD⊥C1E，则∠A1EC1为二面角A1﹣BD﹣C1的平面角，由此能求出二面角A1﹣BD﹣C1的大小．【