【东南大学】《几何与代数》总复习资料教学课件

【东南大学】《几何与代数》总复习资料东南大学线性代数课程几何与代数慈复习主讲:关秀翠东南大学数学系甲加法和数乘判别解:b可由A的列向量组AB:交换律消去律1<2无解A1A2A线性表示转置:AB)=BAr般r1=2=1矩唯一解,性平时别续和獸(4行列秩矩=<l初等行列变趣阵无穷多解方方阵的特征值和特分块运算:分块转置征向量Aa=a(a≠6的/线性程方阵的相似对角化Ak,f(A)方程组组问题PARR如→R运LAx=b实对称阵正交相似对角mA0=2F→R方算的化QMAQ=ag2A-I:AB=BA=EA'=(A):AA=AIEHEE计算」应正交变换化实二次Ep:Aa=Aa(a≠6Ab)→ref用型为标准形相亻似:PP=B基解:非主列变相合:PAP=B量=e1,.nx直角坐标变换化二次特解:非主列曲面为标准形正定AT4,xAx>0变量=0《几何与代数》复习要点方阵方阵方阵对称的反对称矩阵可逆特殊矩阵对角矩阵形矩阵数量正交正定初等矩阵矩阵矩阵矩阵零矩阵单位矩阵《几何与代数》复习要点特殊矩阵行矩阵A1x:只有一行,又名行向量列矩阵Amxi:只有一列,又名列向量零矩阵:每个元素都是0,常记为Omxn或O单位矩阵:主对角线元素都是1,其余元素都是0,常记为E或I数量矩阵:kE,M,其中k为常数对角矩阵:diag{41,a2,…,an},常用A表示对称矩阵:AT=A反对称矩阵:AT=-A方阵:行数=列数正交矩阵:QQ=QQl=E正定矩阵:AT=A且Vx≠有xTAx>0.可逆矩阵:AB=BA=E初等矩阵:由单位矩阵经过一次初等变换所得《几何与代数》复习要点矩阵乘法的交换律和消去率矩阵乘法交换率一般不成立(AB)≠AB(A+B)2≠A2+B2+2AB(A+B)(A-B)≠A2-B2矩阵乘积可交换的情况:1.方阵AA=AA2.对角矩阵AT=TA3.(aEm)Amxn=Amxn(aen4.AA=AA=AE5.AA=AA=E·矩阵乘法消去率一般不成立AB=0xA=OorB=O但是,消去率在A可逆时成立AB=O,A≠0→B=O矩阵的秩非零子式的最高阶数l)r(Amxn)≤min{m,n}2)A,B相抵兮AB同型,rA)=r(B)=r(PAQ(PQ可逆3)r()=r台A→E分丑Q可逆A=PEm,Q台>A中至少有一个r级子式≠0,任一k(>r)级子式=0A∈RBER,(A)+r(B)-nsr(aB)smin((a),(B))5)矿AB=0,thenr(A)+r(B)≤n6)r(4)-r(B)≤r(A±B)≤r(4)+r(B)7)max{r(4),r(B)}≤r(4,B)≤r(4)+r(B)AAOcB0B9)设A是n(≥2阶方阵,则(4)={1(4)=n-10,ifr(a)sn-2H4作用初等变换终止矩阵结果秩行变换阶梯阵r(A)=非0行数关组基)行变人阶梯阵极大无主列对应原矩阵的列行最简形非主列的线性表示关系解线性(Ab)判别解r<2无解r1=r2=n方程组行变换阶梯阵唯一解,=2<无穷多解AX=B)行变换行最简形基解;主列变量为e-nAx=b(AB)特解:非主列变量为0逆矩阵行变换行最简形(AE→(EA行列式行例三角形注意对角线方向的符号变换某行列)有按此行(列展开0元素初等阵与初等变换(左行右列)次初等次初等行变换今B冷B=PAA列变换BsB=AP二.用初等变换求逆矩阵)等行变换EA-)三.用初等变换解矩阵方程(左行右列)(AB)初等行变换(EA-1B)解AX=B→X=AB初等(EB列变换(BA解x4-B二x=BA●方阵的行列式定义∑(-1)N(Al2…Jn)性质4=.c-.·re+aLAA,…AA…A.=A1.化为三角形行列式2.箭形行列式的计算计算3行列式按行()展开∑4=1,4提公因子法5降阶递推法6,分解行列法R元方程组Ax=地A10克拉默法则:x=D/D1伴随矩阵:A=A24AAE矩阵逆矩阵:A1=AA秩r(A)=级子式≠0,任一k(>)级子式0应用特征多项式:|aE-A叉积混合积几何[面积体积行列式与矩阵的区别m×m矩阵n阶行列式定义A∈RA:R"→R加法A士B=(an±b)A±B≠A±B(4…4…A)+(4…42…)|A…A2…4士A,…A2…A(2A42+A2…2A)士A(40.…A2数乘2A=(aZA=AA乘法AB=∑AB≠BAAB=14|B=A1B=0A=OorB=0AB=061A=Oor符号山或(初等变换时用→初等变换时用

1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲

2、最困