热力学及统计物理答案

热力学及统计物理答案热力学及统计物理答案PAGEPAGE23热力学及统计物理答案PAGE第一章热力学的基本规律

习题1.1试求理想气体的体胀系数,压强系数和等温压缩系数T。

解：由PVnRT得：VnRT;PnRTPV因此,1V1nR1V(T)PVPT习题1.2试证明任何一种拥有两个独立参量的物质T,p,其物态方程可由实验测得的体胀系数及等温压缩系数T,1依据下述积分求得:lnV(dTTdp)假如T

1,试求物态方程。p

解：因为f(T,V,p)0,因此,我们可写成VV(T,p),由此,dV(V)pdT(V)Tdp,1V1VTp因为()p,TV()TVTp因此,dVVdTVTdp,dVdTTdpV因此,lnVdTTdp,当1/T,T1/p.4.85*105K1和7.8*107pn1习题1.3测得一块铜块的体胀系数和等温压缩系数辩解为T，,T可近似看作常量，今使铜块加热至10°C。问〔1压强要增加多少pn才能使铜块体积不变？〔2若压强增加100pn，铜块的体积改多少解：辩解设为xpn;V，由界说得：因此，x622pn,V4.07*104习题1.4描绘金属丝的几何参量是长度L，力学参量是张力，物态方程是f(,L,T)0实验凡是在1pn下进1LYL)T此中A是金属丝的截面积，行，其体积变化可忽视。线胀系数界说为()等杨氏摸量界说为(LLTA正常说来，和Y是T的函数，对仅有幽微的依靠关系，假如温度变化范不大，可看作常数。假定金属丝两头牢靠。试证明，当温度由T1降T2时，其张力的增加为YA(T2T1)解：f(,L,T)0,LL(,T)dL(L)Td(LdT因此，)T

因1LL(L)TL;( )TAY()T(T1)因此,YAT2习题1.7在25C下，压强在0至1000pn之间，测得水的体积V(18.0660.715103p0.046106p2)cmmol1假如保持温度不变，将1mol的水从p31n加压至1000pn，求外界所做的功。解：外界对水做功:习题1.8解：外界所作的功：习题1.10抽成真空的小匣带有活门，翻开活门让气体充入。当压强达到外界压强p0时将活门关上。试证明：小匣内的空气在没有与外界互换热量以前，它的内能U与本来大气中的U0之差为UU0p0V0，此中V0是它本来在大气中的体积。若气体是理想气体，求它的温度和体积。解：假定先前的气体状态是〔P0，dV0,T0〕内能是u0，当把这些气体充入一个盒子时，状态为〔P0,dV,T〕这时的内能为u，0压缩气体所做的功为：p0dV0,依绝热过程的热力学第必定律，得UU0P0dV00V0积分得UU0p0V0对于理想气体，上式变成vcVT1T0vRT0故有cVT1cVRT0因此T1cPT0V0cV对于等压过程V1V0T1V0T0习题1.15热泵的作用是经过一个循环过程将热量从温度较低的情况传达扫温度较高的物体上去。假如以理想气体的逆卡诺循环看作热泵的循环过程，热泵的效率能够界说为传达到高温物体的热量与外界所作的功的比值。试求热泵的效率。假如将功直接转变成热量而令高温物体汲取，则“效率”为什么？解：A→B等温过程B→C绝热过程C→D等温吸热D→A绝热，Q1Q1AQ1Q2由绝热过程泊松方程：T1VBr1T2VCr1；T2VDr1T1VAr1

VBVAVAVD∴VD；VCVCVB∴T1T1T2T21T2T1T2T1T2T1T2将功A直接转变成热量Q1，令高温物体汲取。有1∴Q11。A=QA习题1.16假定理想气体的Cp和CV之比是温度的函数，试求在准静态绝热过程中T和V的关系。该关系试中要用到一个函数F(T)，其表达式为：解：准静态绝热过程中：dQ0，∴dUpdV(1)对于理想气体，由焦耳定律知内能的全微分为

dUCvdT(2)物态方程pVnRTPnRT(3)V(2)，(3)代入(1)得：CVdTnRTdV〔此中CVnR〕V1dV1VdT关系式1为T的函数-11F(T)V1。∴V为T的函数。∴F(T)V第二章平匀物质的热力学性质习题2.2已知在体积保持不变的情况下,一气体的压强正比于其绝对温度.试证明在温度保持不变时,该气体的熵随体积

而增加。

解：由题意得：pk(V)Tf(V)。

因V不变,T、p高升,故k(V)>0

(V)T=(T)V=( )(( )>0)SpkVkV因为( )>0,当V高升时(或0→,>0),于是kVVVVVT不变时,S随V的高升而高升。2.3设一物质的物态方程拥有以下形式Pf(V)T，试证明其内能与体积没关。解：Pf(V)T，(U(V,T))T=T(P)V-p=Tf(V)Tf(V)=0得证。VT习题2.4求证：(ⅰ)(S)H<0(ⅱ)(S)U>0PV证dHTdSVdP

等H过程:(TdS)H(VdP)H

S〕H=-V<0(V>0;T>0)PT由基本方程：dUTdSPdVdS1pdUdV;TTS〕U=p>0.T

U求证(U)T=0。习题2.5已知( )T=0,pV解(U)T=T(p)V-p;(U)T=0;pT(p)VVTVT(U)T=(U,T)=(U,T)(p,T)=0=(U)T(p)TV(V,T)(p,T)(V,T)pV∵(p)T≠0;(U)T=0。Vp习题2.6试证明一个平匀物体在准静态等过程中熵随体积的增减取决于等压下温度

解：F=U-TS,将自由能F视为P,V的函数;F=F(p,V)

随体积的增减。

S,pSSS,p=S,pT,pT,pT=VpV,pT,pV,pV,pVT,pT由关系CpTS;SCpT。TVpTVppp

p

习题2.7试证明在相同的压强下降下,气体在准静态绝热膨胀中的温度下降大于在节流过程中的温度下降。〔提示:证明

T-T>0〕pSpHTT(p,S)

TdTdppS

证：TT(p,H)T

dTdppHT

dS1Sp

TdHHp

TdpTpHHT

pp

HHdpHdSpSSpTHT联立〔1〕，〔2〕式得：dp〔2〕HppdSSSpTpS

T-p

TH=HHpp

=

S

H

p

H

T

H

pS=SCp

p

据：dUTdSpdV

熵不变时，〔dS=0〕,dUpdV

H=VdHTdSVdppST

p-

ST=V0；原题得证。pHCp习题2.14一弹簧在恒温下的恢复力X与其延长x成正比,即.=-；今忽视弹簧的XAx热膨胀,试证明弹簧的自由能F、熵S和内能U的表达式辩解为；解：XAx,AA(T);UU(T,x)dUUUdxdT+TxxTdFSdTA(T)xdx;FFS;A(T)xTxxTSF=1dA(T)x2dB(T)TX2dTdT因为FUTS,

=1A(T)TdA(T)x2B(T)TdB2dTdT∵X=0时，U=0,即不考虑自己因温度而带来的能量。dB实质上，B(T)TdB=0或B(T)T=U(T,0)

即得：U(T,X)U(T,0)1A(T)TdA(T)x22dTF(X,T)F(T,0)1Ax2;S(X,T)S(T,0)x2dA22dT从而求U(略)。代入UuVaT4V；VcVbVdVa习题2.21如以以下列图所示，电介质的介电常数(T)D与温度相关，试求电路为闭路时电介质的热容量与充电后再令E电路断开后的热容量之差。解：当电路闭当令，电容器电场恒定当电路断开时，电容器电荷恒定(S)T(E)D，因此DTCH，若保持物质温度不变习题2.22已知顺磁物质的磁化强度为：m,使磁场由0增至H,求磁化热。CH;MT解：mmV；TS=V0m=0CHHTTHT2等T下：QTSV0CHCV0H2THdHT20习题2.23已知超导体的磁感觉强度B0Hm0；求证:(ⅰ)Cm与m没关，只是T的函数，此中m是在磁化C强度m保持不变时的热容量；(ⅱ)UCmdT0m2U0；(ⅲ)SCmdTS02T解：超导体BM0Hm0Hm(ⅰ)CHTSTH

∵Hm；CHCmTSTH(ⅱdUTdS0HdM;MmV代入Cm表达式，此中U0为0K时的内能。(ⅲ)由(ii)中已应用了TdSCmdTSCm；SCmdTS0TmTT〈忽视因体积变化带来的影响〉。习题2.24实验测得顺磁介质的磁化率(T)。假如忽视其体积的变化,试求特色函数f(m,t),并导出内能和熵。解：明显只与T相关；(T)=m；mmH,THTdUTdS0HdM;fUTS;dfdUTdSSdTdfSdT0HdM;dMVmdHmdTHTTHfV0TH；fV0TH2f0TV0m2f0TH22f既已知：SfV0m2dTS0T22dTmdUTdS0HdM；fUTS第三章单位系的相变试由Cv0及(p0证明Cpp)S0。习题3.2)T0及(VV证CpCVTpVTVTpCPH=TS;CVUTTpTpppSVTSVV

STTV

p+(1)TVS

ppS(2)TVSVTTT-pVSVSCVSTT0.T；即SVTVCV于是：p0>VT正数于是：p<0VSCV0;因此CP0习题3.4求证：〔1〕S；〔2〕VTV,nnT,VpT,nnT,p证：(1)开系吉布斯自由能dGSdTVdpdn,pp(V,T)GSpTV①V,nTVGVp②VVT,nTG③nT,V由式①SVpGTTVnV,nS第(1)式得证。nTT,VV,n习题3.7试证明在相变中物质摩尔内能的变化为：pdTuL1dpT假如一相是气相，可看作理想气体，另一相是凝集相，试将公式化简。

解UTSpV

p

VS

dpL；LTS；ULLpdTL1pdTdTTVTdpTdp习题3.8在三相点四周，固态氨的蒸气压(单位为Pa)方程为：lnp27.923754T3063液态氨的蒸气压方程为：lnp24.38，试求氨三相点的温度和压强，氨的汽化热、升华热及在三相点的熔T解热。解：(1)固态氨的饱和蒸气压方程选择了固态-气态的相均衡曲线；液态氨的饱和蒸气压方程选择了氨的液态-气态的相均衡曲线。三相点是两曲线的交点，故三相点温度T3满足方程：27.92375424.383063T；由此方程可解出TT3，计算略；(2)相变潜热可由lnpAL与前面实验公式比较较获得：LSRT3754，从而求出LS；近似可求出LQ；计算略；R(3)在三相点，有LSLQLr，可求得Lr，计算略。习题3.12蒸汽与液相达到均衡。以dv表在保持两相均衡的条件下，蒸汽体积随温度的变化率。试证明蒸汽的两相平dT1dv11L衡膨胀系数为dTTRT。v解V～0.方程近似为：pL，V—气相摩尔比容。TTV1VL1①VTTpV气相作理想气体，pV=RT②pVpVRT③联立①②③式，并消去△p、P得：RTPVTVTLV1VRTL；1V1111LVTRT2VTPTRT2TRT2121dpdpcpcp习题3.16证明爱伦费斯公式：；dTk2k1dTTv(21)证：对二级相变(dS)0；即dS2-dS1=0

(dV)0；即dV2-dV1=0

dS2S2dTS1dp；dS1S1dTS1dpTpTp0(dS)dS2-dS1S2S1dTS2S1dpTTppS2S1dpTT将CpTSdTS2;T代入得。S1pppdp1CP2Cp1TS2S1①dTpp即：S2S1V21；pp代入①得：dpCP2Cp1dTTV21似地，利用(dV)0可第二式。〔略〕第四章多元系的复相均衡和化学均衡4.1若将U看作独立数,,1,⋯k的函数，明：TVnn〔1〕UniUVU；〔2〕uiUUniVviiniV：〔1〕U(T,V,n1,nk)U(T,V,n1,nk)依据欧勒定理，xiff，可得xii〔2〕UniUVUni(UviU)niuiiniViniVi4.2明i(T,p,n1,nk)是n1,nk的零次函数，nji0。njj：(T,,n1,nk)m(T,,n1,nk)，化学是胸怀，必有m=0,pp4.3二元理想溶液拥有以下形式的化学：此中i(,P)i元的化学，i是溶液中i元的摩分数。当物的量分n1、2的两种液体在等温等gTxn

下合成理想溶液时，试证明混淆前后

〔1〕吉布斯函数的变化为GRT(n1lnx1n2lnx2)〔2〕体积不变V03〕熵变

4〕焓变

SR(n1lnx1n2lnx2)

0，因此没有混淆热。

〔5〕内能变化如何？

解：Gniin11n22〔1〕in1g1(T,p)n1RTlnx1n2g2(T,p)n2RTlnx2因此GGG0n1RTlnx1n2RTlnx2

2〕

3〕

4〕VGV(G)；0。ppSGS(G)n2Rlnx2；n1Rlnx1TTGHTS

〔5〕UHpV0习题4.4理想溶液中各组元的化学势为：

igi(T,P)RTlnxi；

假定溶质长短挥发性的。试证明，当溶液与溶剂挥发达到均衡时，相均衡条件为

此中g1'是蒸汽的摩尔吉布斯函数，g1是纯溶剂的摩尔吉布斯函数，x是溶质在溶液中的摩尔分数。

求证：在必定温度下，溶剂的饱和蒸汽压随溶液浓度的变化率为

(3)将上式积分，得pxp0(1x)此中0是该温度下溶剂的饱和蒸汽压，px是溶质浓度为x时的饱和蒸汽压。该公式称为拉乌定律。p'1,PRTln(1)解：(1)设“1”为溶剂,g1g1Tx(2)由gg1'g1RTxxvpp(1x)pTpTp

v'v

RTx；v’—蒸汽相摩尔热容

(1x)p

T

v—凝集相摩尔热容

p故有v’-v≈v’,又有pv’=RT代入xT

p

1x

(3)积分(2)式得拉乌定律

习题4.10n0v1mol的气体A1和n0v2mol的气体A2的混淆物在温度T和压强p下所占体积为V0,当发生化学变化，3A34A41A12A20；并在相同的温度和压强下达到均衡时，其体积为e。试证明反响度为V证：未发生化学变化时，有当发生化学变化时，本来有01mol的气体A1，反响了01εmol，未反响(1-ε)0v1mol,02mol的气体A2，nvnvnnv反响了ε02mol，未反响(1-ε)0v2mol,生成ε03molA3和ε04molA4，有nvnnvnv习题4.11依据第三定律证明，在T→0时。表面张力系数与温度没关。即d0。dT证：表面膜系统，FSdTdAFS;FTATAS;而实质上与A没关，即SdATATdTTAT→0时，依据热力学第三定律；limT0ST0dS0；原式得证。于是得：AdTT习题4.12试依据第三定律证明，在→0时，一级相变两均衡曲线的斜率dp为零。TdTdpSdp证：；T→0；dTVdTT0limST0；原式得证。T0

S0VT0

’习题4.14设在压强p下，物质的熔点为T0,相变潜热为L，固相的定压热容量为Cp,液相的定压热容量为Cp.试求液体的绝对熵表达式。

解：为计算T温度，p压强下，液体绝对熵，可假想如以以下列图过程。

p

液相

ABC

固相

T0T

T0CpdT①A→B,等压过程：SABT

L②B点相变过程.SB相变T0

TCp'dT③B→C,等压过程：SBC

T0T

于是SS(0)T0CpdTLTCp'dTSTT0T0T0习题4.15试依据第三定律讨论图4.6(a)(b)两图中哪一个是正确的？图上画出的是顺磁性固体在=0和i时的HH=HS-T曲线。解：图(b)正确。拒热力学第三定律。S0；T→0；S(0)=0;且T→0，xT即0K四周，S在等温过程中的变化与任何其他参量没关。第五章不能够逆过程热力学简介习题5.3带有小孔的隔板将容器分为两半，容器与外界间隔，此中盛有理想气体，双侧气体存在小的温差T和压强差p而各自处于局域均衡。以JndndU和Ju表示单位时间内经过小孔从一侧转移到另一侧的气体的物质的量dtdt和内能。试导出熵产生率公式，从而判断相映的动力。解：依据热力学基本方程TdsdUiidni得ds1dU1dnidtTdtTiidt设温度为+T的一侧熵为s1;温度为T的一侧熵为s2,则T因为dUdU0;dndn0因此dUdU;dndn，ds21dUdn熵产生率dtTdtTdtdisds1ds21dUdn1dUdndtdt=TdtTTdtTdtTdtdtT=11dUdnTTdtTTTdtT=Ju1JnTTXu1TXnTT相映的动力TT2,TT2第六章近独立粒子的最概然分布习题6.2试证明，对子一维自由粒子，再长度L内，在到d的能量限制内，量子态数为：证：一维自由粒子，Px四周的量子态为

L2PxdPx12dPx；Pxd2mdn2mmdPxdPxhmm于是。DdL2hdm而±Px对应一致能量，于是：D2L22L2hmhm习题6.3试证明，对于二维自由粒子，在长度L2内，在到d的能量限制内，量子态数为

证：二维；在Px,Py四周dPxdPy区间上内的粒子数。

dnS2dPxdPyS2PdPd(s－面积)hh因P2积分可得：只与P相关〔P>0〕,故对2mDd2SPdP2SP2，m2mSdh2h22mh2D2mS(s=L2)h2习题6.4在极其相对论情况下，粒子的能量动量关系为cp。试求在体积V内，在到d的能量限制内能量限制内三维粒子的量子态数。解：dnVdpxdpydpzVp2sindpddh3h3因为cp只与p相关，与、没关，于是以上已经代入了cpdcdp于是，D()4V2(hc)3习题6.5设系统含有两种粒子，其粒子数辩解为N和N’.粒子间的互相作用很弱，可看作是近独立的。假定粒子可辩解，处在一个个体量子态的粒子数不受限制。试证明，在均衡态下两种粒子的最概然分布辩解为：allel和allel。此中l和l是两种粒子的能级，l和l是能级简并度。证：粒子A能级，粒子数分布：l——{al}——简并度l粒子B能级，粒子数分布：l——{a’l}——简并度l

由12lnln1ln2即使最大，1ln1，2ln2达到最大。alle

l〔注：al与al在此情况下独立〕

，若将一系作子系，象征能守恒，于是参照教材玻曼分布明

⋯⋯

alalalalalallallal0lnlnll一致0，原得。也是足均衡的要求。第七章玻耳曼7.1依据公式Pall明，于非相粒子：V

2sp1(2)2(nx2ny2nz2)，nx,ny,nz=0，±1，±2，⋯2m2mL

2U有p,上述玻耳曼分布、玻色分布和米分布都建立。3V

：Pall=al1(22(nx22nz2)VV2m)nyllLL(2)2222=al2mL3(nxnynz)lV此中uall;V~L3V(一致l,nx2ny2nz2)=al1(2)2(nxnynz52))V3(222l2m31(2)22222522U=(nxnynz)33al2mL2VV(3)=l3V7.2依据公式Pall明，于极其相粒子：Vlcpc2(nx2ny21nz2)2，nx,ny,nz=0，±1，±2，⋯L

1U有p,上述玻耳曼分布、玻色分布和米分布都建立。3V：Pall；Vl极其相粒子cpc2(nx2ny2nz2)12L21123似得PlalV(2)(ni)V14=allV3V3(1)1Ul33V7.3当不一样样的能量零点，粒子第l个能的能量能够取l或l，以表示二者之差ll。明相的配分函数存在以下关系Z1eZ1，并由配分函数1和*1求得的力学函数有何差。ZZ：配分函数Z1lel之内能U例，Z1:UNlnZ1

*U*N*NlneZ1NUZ1:lnZ17.4明，于依据玻曼分布的系，函数能够表示eses,式中Ps是粒子于量子s的概率，PsNZ1粒子的全部量子乞降。s法一：出某状s几率PsS1,S2,⋯⋯Sk状的能s；Sk+1,Sk+2,⋯⋯Sw状的能s；似⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯；es出某微状的几率可作以下算：依据玻曼PS；N然NP代表粒子于某量子S下的几率，NPSesSK。于是eS代表于S状下的粒子

数。比方，于s能eSS1S个粒子在s上的K个微状的概率：

Sk似写出：PSPesSS1S⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯等等。

于是N个粒子出某一微状的概率。

1一微状数，〔鉴于等概率原理〕P将NPSe

S入SkNPSlnPS；

S

7.5固体含有A、B两种原子。明因为原子在晶体格点的随机分布惹起的混

合Sk㏑N!Nxlnx(1x)ln(1x)此中N是原子数，x是Ax)!Nx!N(1原子的百分比，〔1-x〕是B原子的百分比。注意x<1，上式出的正。：然N!N!n1!n2!(Nx)!N(1x)!S=k㏑=-Nkxlnx(1x)ln(1x)=Nklnxx(1x)(1x)；因为xx(1x)(1x)＜1，故S0；原得。7.8气体以恒定的速度沿目标作整体运。明，在均衡状下份子量的最概然分布

：能l产生：一致l中，Pz相同，而Px与Py在化，于是有：

(ppzalp0)参照教材玻耳曼分布明；有lnNE-pz,此中1222l〔pxpypZ〕2m由(1)知:VepzdpxdpydpzNh3将l代入并配方得:

(m2xy)(pzm2V)()e22mdpxdpydpzN=h3px2py2此中x2m,y2m整个体内，分布在pxpxdpx,pypydpy,pzpzdpz内份子数：

由条件〔3〕知pzf(px,py,pz)dpxdpydpzNp0计算得3m2)1)2e(xy)dpxdpy(m)e2m(pz=(dpz2mkTmfdpxdpydpzmp0=Np0代入得出分布："2mpx2py2(pzp0)2Vdpxdpydpzeh3此中'm2mp02,习题7.11试依据麦克斯韦速度分布率导出两份子的相对速度vrv2v1和相对速率vrvr的概率分布，并求相对速率的均匀值vr。

解：两份子的相对速度vr在dvrxdvrydvrz内的几率

Vr(vr)dv1V(v1)V(v2)m)3m[(v2v2v2)(v1xvrx)2(v1yvry)2(v1zvrz)2](e2kT1x1y1zdv1xdv1ydv1z同2kTmvrx2m1e2kT2(2)kTmvry2m1mvr2m1理可求得v1y,v1z重量为e2kT2()2和e2kT2()2kTkTm，速度分布变成(3mvr2vr2dvr引进)2e2kT22kT4(3mvr2vr2dvr利用球极坐标系可求得速率分布为：)2e2kT2kT3mvr28kT相对速率均匀值vr4()2vre2kTvr2dvr2v2kT0习题7.13试证明，单位时间内碰到单位面积上，速率介于v与vdv之间的份子数为：mv2dn(m)3/2e2kTv3dv2kT

证：在斜圆柱体内,分速度为vz的v目标的份子数为:

对于vx,vy从,对vz从0积分得:

dt时间碰撞到ds面积上的份子数〔vvdv〕2/2mv2=n(m)32e2kTv3cosdvdddsdt2kT00获得：若只计算介于vvdv份子数则为：〔只对,积分〕习题7.14份子从器壁小孔射出，求在射出的份子束中，份子均匀速度和方均根速度。n(mmv2)3/2e2kTv4dv解：v2kT0；变量代换mnx;dv2kTdx2mnv2kTmn()3/2e2kTv3dv2kT0习题7.15已知粒子依据经典玻耳兹曼分布，其能量表达式为：1(px2py2pz2)ax2bx此中a,b是常数，求粒子的均匀能量。2m解：p22bxb2b22ma(xa4a2)4a习题7.16气柱的高度为H，截面为S，在重力场中。试求解此气柱的内能和热容量。1(px2py2pz2)mgz解：配分函数Ze2mdxdydzdpxdpydpzh3设AS3(2m)3/21；lnZlnA(5/2)lnln1emgHhmg习题7.17试求双原子理想气体的振荡熵。/2解：振荡配分函数Z1Ve1e代入式〔〕lnZ1/2ln(1e)代入熵计算式SNkNkln(T/V).此中kV。习题7.18对于双原子份子，常温下kT远大于转动的能级间距。试求双原子份子理想气体的转动熵。r2I解〕转动配分函数Z12

lnZ1ln2I2;lnZ11/;SNkNkln(T/r);此中h2kr2I习题7.19气体份子拥有固有电偶极矩d0，在电场下转动能量的