第十七讲弯曲变形积分法教学课件

第十七讲弯曲变形积分法26、我们像鹰一样，生来就是自由的，但是为了生存，我们不得不为自己编织一个笼子，然后把自己关在里面。——博莱索27、法律如果不讲道理，即使延续时间再长，也还是没有制约力的。——爱·科克28、好法律是由坏风俗创造出来的。——马克罗维乌斯29、在一切能够接受法律支配的人类的状态中，哪里没有法律，那里就没有自由。——洛克30、风俗可以造就法律，也可以废除法律。——塞·约翰逊第十七讲弯曲变形积分法第十七讲弯曲变形积分法26、我们像鹰一样，生来就是自由的，但是为了生存，我们不得不为自己编织一个笼子，然后把自己关在里面。——博莱索27、法律如果不讲道理，即使延续时间再长，也还是没有制约力的。——爱·科克28、好法律是由坏风俗创造出来的。——马克罗维乌斯29、在一切能够接受法律支配的人类的状态中，哪里没有法律，那里就没有自由。——洛克30、风俗可以造就法律，也可以废除法律。——塞·约翰逊教学内容：梁的挠曲近似微分方程，积分法确定弯曲变形教学要求：1、了解梁变形的两个基本量（挠度和转角）及梁的挠曲近似微分方程；梁的刚度条件;简单超静定梁的解法.2、理解积分法计算梁的弯曲变形；提高梁的抗弯能力的途径重点：积分法计算梁的弯曲变形。难点：确定积分常数的位移边界、连续条件MechanicofMaterials第十七讲的内容、要求、重难点学时安排：22第六章平面弯曲§6.1工程中的弯曲变形问题目录目录§6.2挠曲线的微分方程§6.3用积分法求弯曲变形第十七讲目录MechanicofMaterials3目录机械传动机构中的齿轮轴，当变形过大时，两齿轮的啮合处将产生较大的挠度和转角，这就会影响两个齿轮之间的啮合，以致不能正常工作。还会加大齿轮磨损，同时将在转动的过程中产生很大的噪声。当轴的变形很大时，轴在支承处也将产生较大的转角，从而使轴和轴承的磨损大大增加，降低轴和轴承的使用寿命。§6.1工程中的弯曲变形问题MechanicofMaterials3、车床的主轴：6目录在工程设计中还有另外一类问题，所考虑的不是限制构件的弹性位移，而是希望在构件不发生强度失效的前提下，尽量产生较大的弹性位移。例如，各种车辆中用于减振的钣簧，都是采用厚度不大的板条叠合而成，采用这种结构，钣簧既可以承受很大的力而不发生破坏，同时又能承受较大的弹性变形，吸收车辆受到振动和冲击时产生的动能，收到抗振和抗冲击的效果。§6.1工程中的弯曲变形问题MechanicofMaterials7一、弯曲变形的度量1、梁的变形：梁承载前后形状的变化称为变形，一般用各段梁曲率的变化表示。2、梁的位移：3、挠曲线:纵向对称面上，作用横向力，变形后，轴线由原来的直线变成曲线，为纵向对称面内的一条光滑的曲线，称为挠曲线。xyPw=f(x)w

=f

(x)§6.2挠曲线的微分方程MechanicofMaterials梁变形前后位置的变化称为位移，位移包括线位移和角位移。8xyPw=f(x)5、截面转角θ：横截面变形前后的夹角wθ6、转角与挠曲线的关系：4、挠度w：在小变形和忽略剪力影响的条件下，线位移是截面形心沿垂直于梁轴线方向的位移，称为挠度w

。θ§6.2挠曲线的微分方程MechanicofMaterials逆时针向为正：向上为正9二、挠曲线的近似微分方程dxM(x)M(x)1、纯弯曲时：M（x）---x位置上的弯矩EIz---x位置上的抗弯刚度r----x位置上中性层曲线的

曲率半径，即该位置上

挠曲

线的曲率半径1）若挠曲线

w=w(x)

则§6.2挠曲线的微分方程MechanicofMaterials102）----曲线

y=y(x)在x位置的斜率即:3）挠曲线的微分方程xyxyM(x)>0M(x)<0------挠曲线的微分方程§6.2挠曲线的微分方程MechanicofMaterials略去高阶无穷小：4）挠曲线的近似微分方程在小变形的前提下，

q

为小量。11一、挠曲线的近似微分方程-------挠曲线的近似微分方程二、积分法求梁的变形原理注：C、D由梁的边界条件、连续性条件决定§6.3用积分法求弯曲变形MechanicofMaterials积分一次得转角方程为：再积分一次得挠度方程为：12

在固定铰支座和辊轴支座处，约束条件为挠度等于零：w=0;3、连续条件：梁在弹性范围内加载，其轴线将弯曲成一条连续光滑曲线。

在固定端处，约束条件为挠度和转角都等于零：w=0，θ＝0。1、依据：积分法中常数由梁的约束条件(位移边界条件)与变形连续条件确定。§6.3用积分法求弯曲变形MechanicofMaterials三、小挠度微分方程的积分常数的确定2、约束条件：是指约束对于挠度和转角的限制：梁段任意截面两侧的挠度、转角对应相等wx-=

wx+，θx-＝θx+

13积分常数C、D由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定。位移边界条件光滑连续条件3、中间支承链杆§6.3用积分法求弯曲变形MechanicofMaterialsB3、自由端2、中间铰1、梁段2、固定端1、固定铰14§6.3用积分法求弯曲变形MechanicofMaterials四、积分法求解步骤：1、写出弯矩方程。当弯矩不能用一个函数式表达时，需写出分段弯矩方程。2、将弯矩方程积分或分段积分，并写出式子。3、写出梁变形的边界条件、连续性，求积分常量。4、写出挠曲线方程和转角方程。15例1求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的EI已知。解：1）建立坐标如图，写弯矩方程2）列挠曲线近似微分方程积分一次：再积分一次：ABF§6.3用积分法求弯曲变形MechanicofMaterials4）由位移边界条件确定积分常数3）积分求转角、挠度方程

5）转角方程和挠度方程当x=0,

6）确定最大转角和最大挠度y16例2求梁的转角方程和挠曲线方程，并求最大转角和最大挠度，梁的EI已知，l=a+b，a>b。解1）由梁整体平衡分析得：2）弯矩方程§7-2用积分法计算弯曲变形

MechanicofMaterials4）积分求转角方程和挠度方程

3）列挠曲线近似微分方程175）由边界条件确定积分常数位移边界条件由光滑连续条件§7-2用积分法计算弯曲变形

MechanicofMaterials6）转角方程和挠度方程7）确定最大转角和最大挠度令则：令例218§6.3用积分法求弯曲变形例3：试求图示外伸梁A处转角，D、C挠度。ABBCMechanicofMaterials由连续条件得：;由边界条件得：例319§6.3用积分法求弯曲变形例4：求图示简支梁的转角方程、挠曲线方程。ABBCMechanicofMaterials20§6.3用积分法求弯曲变形例5：求的转角方程、挠度方程。ABBCMechanicofMaterials21MechanicofMaterials探讨例5：求的转角方程、挠曲线方程。ABBC挠曲线通用方程：qq22挠曲线通用方程：按奇异函数写出通用的弯矩方程，对之积分一次得转角方程，积分两次得挠度方程。M方程中：集中力：集中力偶：分布荷载：当时不存在，k为荷载作用的始端。MechanicofMaterialsq23挠曲线通用方程例6：按通用方程写出图示梁的挠度方程。qMechanicofMaterials当时不存在，k为荷载作用的始端。24作业作业P.1976-4a、5a

(积)

25目录①适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。④优点：使用范围广，直接求出较精确；缺点：计算较繁。②可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。③积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条件）确定。讨论MechanicofMaterials积分法求弯曲变形：261、用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积分常数,并写出其确定积分常数的边界条件xy挠曲线方程应分两段AB、BC，共有四个积分常数.边界条件连续条件MechanicofMaterials讨论272、用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积分常数,并写出其确定积分常数的边界条件xy挠曲线方程应分两段AB、BC，共有四个积分常数.边界条件连续条件MechanicofMaterials讨论283、用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问在列各梁的挠曲线近似微分方程时应分几段;将分别出现几个积分常数,并写出其确定积分常数的边界条件xy挠曲线方程应分两段AB、BC，共有四个积分常数.边界条件连续条件MechanicofMaterials讨论294、悬臂梁受力如图示.关于梁的挠曲线,由四种答案,请分析判断,哪一个是正确的?(a)(b)(C)(d)(d)直转角为常量AB、CD段挠曲线305、挠曲线近似微分方程对应的坐标系有a、b、c、d所示的四种形式,请分析判断,哪一个是正确的?A、图b、c；B、图b、a；C、图b、d；D、图c、d。（D）MechanicofMaterials讨论yyyy316、图示承受集中力的细长简支梁，在弯矩最大截面上沿加载方向开一小孔，若不考虑应力集中影响，关于小孔对梁强度和刚度的影响，有如下论述，请分析判断哪一个是正确的?A、大大降低梁的强度和刚度；B、对强度有很大的影响，对刚度的影响很小可以忽略不计；C、对刚度有很大的影响，对强度的影响很小可以忽略不计；D、对强度、刚度