2023届上海师大学附中高二数学第二学期期末联考试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若，则，就称A是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为（）A．15 B．16 C． D．2．给出下列四个说法：①命题“，都有”的否定是“，使得”；②已知、，命题“若，则”的逆否命题是真命题；③是的必要不充分条件；④若为函数的零点，则.其中正确的个数为（）A． B． C． D．3．已知O为坐标原点，点F1、F2分别为椭圆C:x24+y23=1的左、右焦点，A为椭圆C上的一点，且A．32 B．34 C．54．已知函数，，若成立，则的最小值为（）A． B． C． D．5．已知α，β表示两个不同的平面，l为α内的一条直线，则“α∥β是“l∥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．正方体中，直线与平面所成角正弦值为（）A． B． C． D．7．已知变量之间的线性回归方程为，且变量之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（）A．变量之间呈现负相关关系B．的值等于5C．变量之间的相关系数D．由表格数据知，该回归直线必过点8．已知复数满足，则的共轭复数为()A． B． C． D．9．是虚数单位，则的虚部是（）A．-2 B．-1 C． D．10．已知函数，满足和均为偶函数，且，设，则A． B． C． D．11．已知某人每天早晨乘坐的某一班公共汽车的准时到站的概率为，则他在3天乘车中，此班车恰有2天准时到站的概率为（）A． B． C． D．12．直线的斜率为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在区间上随机地取一个实数，若实数满足的概率为，则_______.14．若，，则，的大小关系是__________．15．已知幂函数的图象过点，则______．16．已知函数的导函数为，且，则_____三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知都是正数（1）若，求证：；（2）若，求证：18．（12分）我市物价监督部门为调研某公司新开发上市的一种产品销售价格的合理性，对该公司的产品的销售与价格进行了统计分析，得到如下数据和散点图：定价（元/）102030405060年销售11506434242621658614.112.912.111.110.28.9图（1）为散点图，图（2）为散点图.（Ⅰ）根据散点图判断与，与哪一对具有较强的线性相关性（不必证明）；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果和参考数据，建立关于的回归方程（线性回归方程中的斜率和截距均保留两位有效数字）；（Ⅲ）定价为多少时，年销售额的预报值最大？（注：年销售额定价年销售）参考数据：，，，，，，，，参考公式：，.19．（12分）甲将要参加某决赛，赛前，，，四位同学对冠军得主进行竞猜，每人选择一名选手，已知，选择甲的概率均为，，选择甲的概率均为，且四人同时选择甲的概率为，四人均末选择甲的概率为．（1）求，的值；（2）设四位同学中选择甲的人数为，求的分布列和数学期望．20．（12分）某公园设有自行车租车点，租车的收费标准是每小时元(不足一小时的部分按一小时计算)．甲、乙两人各租一辆自行车，若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为，一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为，两人租车时间都不会超过三小时．（1）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；（2）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望．21．（12分）甲、乙两人进行象棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．（1）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；（2）用X表示比赛决出胜负时的总局数，求随机变量X的分布列和均值.22．（10分）已知函数（为自然对数的底数）.（1）当时，求函数的极值；（2）若函数在区间上单调递增，求的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

首先确定具有伙伴集合的元素有，“和”，“和”等四种可能，它们组成的非空子集的个数为即为所求.【详解】根据伙伴关系集合的概念可知：－1和1本身也具备这种运算，这样所求集合即由－1,1,3和，2和这“四大”元素所组成的集合的非空子集．所以满足条件的集合的个数为24－1＝15.故选A.【点睛】本小题主要考查新定义概念的理解，考查集合子集的个数以及非空子集的个数，属于基础题.2、C【解析】

根据全称命题的否定可判断出命题①的真假；根据原命题的真假可判断出命题②的真假；解出不等式，利用充分必要性判断出命题③的真假；构造函数，得出，根据零点的定义和函数的单调性来判断命题④的正误.【详解】对于命题①，由全称命题的否定可知，命题①为假命题；对于命题②，原命题为真命题，则其逆否命题也为真命题，命题②为真命题；对于命题③，解不等式，得或，所以，是的充分不必要条件，命题③为假命题；对于命题④，函数的定义域为，构造函数，则函数为增函数，又，为函数的零点，则，，，则，命题④为真命题.故选：C.【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及命题的否定，四种命题的关系，充分必要的判断以及函数的零点，考查推理能力，属于中等题.3、B【解析】

根据AF2⊥F1F2且O为F1【详解】如下图所示：由AF2⊥F1∵O为F1F2中点∴OB为ΔA又AF2本题正确选项：B【点睛】本题考查椭圆几何性质的应用，关键是能够熟练掌握椭圆通径长和对称性，属于基础题.4、A【解析】

根据得到，的关系，利用消元法转化为关于的函数，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可得到结论．【详解】设，则，，令，所以，又在增函数，且，当时，，当时，，所以在上递减，在上递增．所以，即的最小值为．故选A.【点睛】本题主要考查导数的应用，利用消元法进行转化，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的极值和最值是解决本题的关键，有一定的难度．5、A【解析】试题分析：利用面面平行和线面平行的定义和性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断．解：根据题意，由于α，β表示两个不同的平面，l为α内的一条直线，由于“α∥β，则根据面面平行的性质定理可知，则必然α中任何一条直线平行于另一个平面，条件可以推出结论，反之不成立，∴“α∥β是“l∥β”的充分不必要条件．故选A．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面与平面平行的判定．6、C【解析】

作出相关图形，设正方体边长为1，求出与平面所成角正弦值即为答案.【详解】如图所示，正方体中，直线与平行，则直线与平面所成角正弦值即为与平面所成角正弦值.因为为等边三角形，则在平面即为的中心，则为与平面所成角.可设正方体边长为1，显然，因此，则，故答案选C.【点睛】本题主要考查线面所成角的正弦值，意在考查学生的转化能力，计算能力和空间想象能力.7、C【解析】分析：根据线性回归方程的性质依次判断各选项即可．详解：对于A：根据b的正负即可判断正负相关关系．线性回归方程为，b=﹣0.7＜0，负相关．对于B：根据表中数据：=1．可得=2．即，解得：m=3．对于C：相关系数和斜率不是一回事，只有当样本点都落在直线上是才满足两者相等，这个题目显然不满足，故不正确.对于D：由线性回归方程一定过（，），即（1，2）．故选：C．点睛：本题考查了线性回归方程的求法及应用，属于基础题，对于回归方程，一定要注意隐含条件，样本中心满足回归方程，再者计算精准，正确理解题意，应用回归方程对总体进行估计.8、A【解析】

根据复数的运算法则得，即可求得其共轭复数.【详解】由题：，所以，所以的共轭复数为.故选：A【点睛】此题考查求复数的共轭复数，关键在于准确求出复数Z，需要熟练掌握复数的运算法则，准确求解.9、B【解析】

根据复数的除法运算把复数化为代数形式后可得其虚部．【详解】由题意得，所以复数的虚部是．故选B．【点睛】本题考查复数的运算和复数的基本概念，解答本题时容易出现的错误是认为复数的虚部为，对此要强化对基本概念的理解和掌握，属于基础题．10、C【解析】分析：根据函数的奇偶性和周期性求出，然后即可得到答案详解：由题意可得：故，周期为故选点睛：本题考查了函数的奇偶性和周期性，运用周期性进行化简，结合已知条件求出结果，本题的解题方法需要掌握。11、B【解析】由题意，恰有2天准时到站的概率为，故选择B。12、A【解析】

将直线方程化为斜截式，可得出直线的斜率．【详解】将直线方程化为斜截式可得，因此，该直线的斜率为，故选A．【点睛】本题考查直线斜率的计算，计算直线斜率有如下几种方法：（1）若直线的倾斜角为且不是直角，则直线的斜率；（2）已知直线上两点、，则该直线的斜率为；（3）直线的斜率为；（4）直线的斜率为.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、2【解析】

画出数轴，利用满足的概率，可以求出的值即可.【详解】如图所示，区间的长度是6，在区间上随机地取一个数，若满足的概率为，则有，解得，故答案是：2.【点睛】该题考查的是有关长度型几何概型的问题，涉及到的知识点有长度型几何概型的概率公式，属于简单题目.14、【解析】分析：作差法，用，判断其符号．详解：，所以，．点睛：作差法是比较大小的基本方法，根式的分子有理化是解题的关键15、3【解析】

先利用待定系数法代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求的值.【详解】设，由于图象过点,得，，，故答案为3.【点睛】本题考査幂函数的解析式，以及根据解析式求函数值，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.16、．【解析】

由导数的运算公式，求得，令，即可求解，得到答案.【详解】由题意，函数，则，所以，解得.【点睛】本题主要考查了导数的运算，其中解答中熟记导数的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】

（1）根据基本不等式得，，再利用不等式性质三式相乘得结果，（2）根据基本不等式得，，再三式相加得结果【详解】证明：因为为正数，所以，同理，所以因为，所以（2）证明：由，且，可得，同理可得，三式相加，可得，即为，则成立．【点睛】本题考查利用基本不等式证明不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.18、(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ)答案见解析；(Ⅲ)定价为20元/时，年销售额的预报值最大.【解析】分析：（Ⅰ）由于图（2）的点更集中在一条直线附近，所以与具有的线性相关性较强.（Ⅱ）利用最小二乘法求关于的回归方程为.（Ⅲ）先得到，，再利用导数求定价为多少时年销售额的预报值最大.详解：（Ⅰ）由散点图知，与具有的线性相关性较强.（Ⅱ）由条件，得，，所以，又，得，故关于的回归方程为.（Ⅲ）设年销售额为元，令，，，令，得；令，得，则在单调递增，在单调递减，在取得最大值，因此，定价为20元/时，年销售额的预报值最大.点睛：（1）本题主要考查两个变量的相关性和最小二乘法求回归直线方程，考查利用导数求函数的最值.(2)本题的难点在第3问，这里要用到导数的知识先求函数的单调区间，再求最大值.19、(1)(2)的分布列见解析；数学期望为2【解析】

（1）根据题意，利用相互独立事件概率计算公式列出关于的方程组，即可求解出答案．（2）根据题意先列出随机变量的所有可能取值，然后根据独立重复事件的概率计算公式得出各自的概率，列出分布列，最后根据数学期望的计算公式求解出结果．【详解】解：（1）由已知可得解得（2）可能的取值为0，1，2，3，4，，，，，．的分布列如下表：01234．【点睛】本题主要考查逆用相互独立事件概率计算公式求解概率问题以及离散型随机变量的分布列和期望的求解．20、（1）；（2）见解析【解析】

（1）两人所付租车费用相同的情况有2,4,6三种，分别算出对应概率，相加得到答案.（2）的可能取值为，分别计算概率，写出分布列计算数学期望.【详解】解：（1）甲、乙两人所付租车费用相同即为元．都付元的概率为，都付元的概率为；都付元的概率为，故所付费用相同的概率为（2）依题意知，的可能取值为，；；，故的分布列为ξ4681012P所求数学期望【点睛】本题考查了概率的计算，分布列和数学期望，意在考查学生的计算能力.21、（1）；（2）分布列见解析，.【解析】

（1）根据概率的乘法公式，求出对应的概率，即可得到结论．（2）利用离散型随机变量分别求出对应的概率，即可求X的分布列以及数学期望．【详解】用A表示“甲在4局以内（含4局）赢得比赛”，表示“第k局甲获胜”，表示“第k局乙获胜”则，，.（1）.（2）X的所有可能取值为.，，，.∴X的分布列为X2345P∴【点睛】本题考查了相互独立事件、互斥事件的概率计算公式、随机变量的分布列与数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22、（1）极小值为（2）【解析