电路定理及应用课件

电路定理及应用第3章教学重点：1.熟练掌握叠加定理、替代定理、戴维南和诺顿定理、特勒根定理和互易定理；2.了解对偶原理。第3章电路定理及应用3.1叠加定理和齐性定理3.2替代定理3.3戴维南定理和诺顿定理3.4最大功率传输定理3.5特勒根定理3.6互易定理3.7对偶定理3.8

应用3.1叠加定理(SuperpositionTheorem)一、叠加定理:在线性电路中，任一支路电流(或电压)都是电路中各个独立电源单独作用时，在该支路产生的电流(或电压)的代数和。(a)原电路+-U1R1R2=U1单独作用IS=0+-U1R1R2(b)I1''I2''R1+IS单独作用U1=0R2(c)（C）IS单独作用电路同理：用支路法证明R1R2(c)I1''I2''+-UR1R2(a)+-UR1R2(b)=+（b）U单独作用电路也可以应用支路法求解:+-UR1R2解方程得思考题：应用结点法该如何求解？当一个电源单独作用时，其余电源不作用，就意味着取零值,即对电压源看作短路，而对电流源看作开路。如下图：三个电源共同作用==us1单独作用+us2单独作用++us3单独作用+R1us1R2us2R3us3i1i2i3+–+–+–iaibi1'i3'R1us1R2R3i2'+–R1R2us2R3i1''i2''i3''+–R1R2R3us3i1'''i2'''i3'''+–1.叠加定理只适用于线性电路。2.一个电源作用，其余电源为零电压源为零—短路。电流源为零—开路。3.功率不能叠加(功率为二次函数)。4.u,i叠加时要注意各分量的方向。5.含受控源(线性)电路亦可用叠加，但叠加只适用于独立源，受控源应始终保留。注意：例3-1

用叠加定理求如图所示电路中的支路电流I。

解

：

画出各个独立电源分别作用时的分电路如图

(b)和(c)所示。

对于图

(b)有

对于图

(c)有

(a)I4A4Ω6Ω10VIsR1Us–+R24Ω6Ω10VI(1)Us–+R2(b)R14A4Ω6ΩIsR2I(2)(c)R1讨论

(1)若R2处再串接一个4V的电压源，如图(a)所示，再重新求支路电流I。

图

(b)的解为

图

(c)的解为

叠加定理可以分组使用

4V–+(a)I4A4Ω6Ω10VIsR1Us–+R2(b)I(1)4A4Ω6Ω10VIsR1Us–+R2(c)I(2)4Ω6Ω4VR1–+R2US和IS为一组4V为一组（2）R1消耗的功率分别计算有

叠加定理不能用来计算功率！例3-2如图

(a)所示电路，用叠加定理求电流I。

解

按叠加定理，作出分电路如图

(b)、(c)所示。注意：受控源保留在分电路中。

对于图

(b)，列KVL方程有

对于图

(c)，列KVL方程有

(a)5AI1Ω2I+–10V–+2Ω(b)5AI(1)1Ω2I(1)+–2Ω(c)I(2)1Ω2I(2)+–10V–+2Ω例3-3典型的叠加定理解题方法

如图所示线性网络N，只含电阻。若Us=5V，Is=12A时，U=80V；若Us=－5V，Is=4A时，U=0V。求当Us=6V，Is=10A时，U为多少？解

由于N为只含电阻的线性网络，则由叠加定理可得代入已知条件得

解得：K1=4，K2=5

当Us=6V，Is=10A时，U–+Us–+IsN补例求电压Us。(1)10V电压源单独作用：(2)4A电流源单独作用：解:Us'=-10I1'+4I1'=-101+4=-6VUs"=-10I1"+2.44=-10(-1.6)+9.6=25.6V共同作用：Us=Us'+Us"=-6+25.6=19.6V+–10V6I14A+–Us+–10I14+–10V6I1'+–Us'+–10I1'46I1''4A+–Us''+–10I1''4uu二、齐性原理（homogeneityproperty):线性电路中，所有激励(独立源)都增大(或减小)同样的K倍（K为实常数），则电路中响应(电压或电流)也增大(或减小)同样的K倍。例.解:采用倒推法：设i'=1A。则求电流

i。RL=2R1=1R2=1us=51Vi2A+–3V+–8V+–21V+–us'=34V3A8A21A5A13AR1R1R1R2RL+–R2R2i'=1A

1）、当激励只有一个时，则响应与激励成正比。例3-1(a)中Us增加一倍，则I为多少？

(a)I4A4Ω6Ω20VIsR1Us–+R24Ω6Ω20VI(1)'Us–+R2(b)R14A4Ω6ΩIsR2I(2)(c)R1分开后单独计算

2）、当存在多个激励源时，一般表达式为y=k1x1+k2x2+…+knxn

，式中y为任一响应，xi为激励。采用可加性(additivityproperty)分析。例3-4求如图所示电路中各支路电压。

解

设

给定的激励比假定的激励增大

U1–+–+U3–+U2I312ΩI4I14ΩU4+–165V–+5ΩI5I218Ω6Ω(c)IS=I3=1AI1I220V–+6Ω8Ω3.2

替代定理(SubstitutionTheorem)I1=2A,I2=1A,I3=1A,U3=8V用Us=U3=8V的电压源替代

用Is=I3=1A的电流源替代

替代后电路中各支路电压和电流均保持不变！这条有固定解的支路可以被替代(a)–+U3I3I1I220V–+6Ω8Ω4V–+4Ω(b)US=U3=8VI1I220V–+6Ω8Ω–+这条有固定解的支路可以被替代先看一个例子：替代后电路中全部的电压和电流均保持不变。

替代定理：在任意线性和非线性，定常和时变电路中，如果第k条支路的电压uk和电流ik为已知，只要该支路和电路的其他支路之间无耦合，那么该支路可以用一个电压等于uk的电压源或一个电流等于ik的电流源替代，适用范围要求条件如何替代替代后结果A+–ukikAAik+–uk支路

k

证明:替代前后KCL，KVL关系相同，其余支路的u、i关系不变。A+–ukikAAik+–uk支路

k

用uk替代后，其余支路电压不变(KVL)，其余支路电流也不变，故第k条支路ik也不变(KCL)。用ik替代后，其余支路电流不变(KCL)，其余支路电压不变，故第k条支路uk也不变(KVL)。ukukAik+–uk支路

k

A+–ukAik+–uk

支路

k

uk又证:证毕!无电压源回路；无电流源结点(含广义结点)。.替代后其余支路及参数不能改变(一点等效)。例.若要使试求Rx。.替代后电路必须有唯一解+10V-0.50.5+–31RxIx–+UI0.5注意！解：用替代：U=U'+U"=(0.8-0.6)Ix=0.2IxRx=U/Ix=0.2Ix/Ix=0.2(或U=(0.1-0.075)I=0.025I)0.50.50.51–+U''1–+UI0.50.50.5=+0.50.51–+U'I0.5U1U2再叠加：3.3

戴维南定理和诺顿定理

(Thevenin-NortonTheorem)统称为发电机定理、有源二端网络定理、等效电源定理。工程实际中，常常碰到只需研究某一支路的情况。这时，可以将除我们需保留的支路外的其余部分的电路(通常为二端网络或称一端口网络),等效变换为较简单的含源支路

(电压源与电阻串联或电流源与电阻并联支路),可大大方便我们的分析和计算。戴维南定理和诺顿定理正是给出了等效含源支路及其计算方法。R3R1R5R4R2iRxab+–us(1)端口(port)端口指电路引出的一对端钮，其中从一个端钮(如a)流入的电流一定等于从另一端钮(如b)流出的电流。Aabii(2)一端口网络(network)(亦称二端网络)网络与外部电路只有一对端钮(或一个端口)联接。(3)含源(active)与无源(passive)一端口网络网络内部含有独立电源的一端口网络称为含源一端口网络。（用A表示）网络内部不含有独立电源的一端口网络称为无源一端口网络。（用P表示）1.概念解释2.戴维南定理:任何一个线性含有独立电源、线性电阻和线性受控源的一端口网络A

，对外电路来说，可以用一个电压源(Uoc)和电阻Req的串联组合来等效置换；此电压源的电压等于外电路断开时网络A端口处的开路电压(Uoc)

，而电阻等于一端口网络A中全部独立电源置零后的无源一端口P端口等效电阻Req。AabiuiabReqUoc+-u证明:(a)(b)(对a)利用替代定理，将外部电路用电流源替代，此时u,

i值不变。计算u值。（用叠加定理）=+根据叠加定理，可得电流源i为零网络A中独立源全部置零abAi+–uN'abAi+–uabA+–u'abPi+–u''Riu'=

Uoc

(外电路开路时a

、b间开路电压)

u"=-

Ri

i则u=u'+u"=

Uoc

-

Ri

i此关系式恰与图(b)电路相同。证毕！iUoc+–uN'ab+–Ri（1）先求含源一端口的开路电压uoc，要画出相应的电路，标明开路电压的极性。（2）求戴维南等效电阻Req，也必须画出相应的电路，按照前面求等效电阻的方法求得。（3）画出含源一端口的戴维南等效电路。注意：等效电压源的极性应与所求uoc的极性一致。注意：(1)

外电路发生改变时，含源一端口网络的等效电路不变(伏-安特性等效)。(2)

当一端口内部含有受控源时，控制电路与受控源必须包含在被化简的同一部分电路中。3.戴维南定理的解题过程与注意事项具体求解任务：(1)

开路电压Uoc(2)

求等效电阻等效电阻为将一端口网络内部独立电源全部置零(电压源短路，电流源开路)后，所得无源一端口网络的等效电阻。等效电阻的计算方法：当网络内部不含有受控源时可采用电阻串并联的方法计算；12加压求流法或加流求压法。开路电压，短路电流法。323方法更有一般性。戴维南等效电路中电压源电压等于将外电路断开时的开路电压Uoc，电压源方向与所求开路电压方向有关。计算一个电量的方法有很多，可以用第2章中支路法、结点法、回路法、网孔法等。例3-5求如图所示含源一端口的戴维南等效电路。。

8ΩI18V–+3Ω9V–+6Ω–+Uoc11'8Ω3Ω6ΩReq11'ReqUoc–+1'1解：先求含源一端口的开路电压Uoc。

再求戴维南等效电阻Req。

戴维南等效电路如图所示。

或结点法：设求取结点a电压UaaUOC=Ua=15V例3-5‘外加电压源一次求两个参数8ΩI118V–+3Ω9V–+6Ω–+Uoc11'ReqUoc–+1'1我们知道，上述两个电路等效是对图示电流电压而言的（端口等效）uiui+_ui+_ui因此假想两个图都接有图示电压源及电流参考方向原电路采用网孔（回路）电流方法列写方程：I1i消去I1可得：而右侧等效电路的ui

关系：比较可得

ui

作为已知量列写在方程中(1)计算Rx分别为1.2、5.2时的I；(2)Rx为何值时，其上获最大功率?IRxab+–10V4664解：保留Rx支路，将其余一端口网络化为戴维南等效电路：ab+–10V466–+U24+–U1IRxIabUoc+–RxReq补例1(1)求开路电压Uoc=U1+U2

=-104/(4+6)+106/(4+6)=-4+6=2Vab+–10V466–+U24+–U1+-Uoc(2)求等效电阻ReqRi=4//6+6//4=4.8(3)Rx

=1.2时，I=Uoc/(Ri+Rx)=0.333ARx=5.2时，I=Uoc/(Ri+Rx)=0.2AIabUoc+–RxReqRiab4664补例2电路如图：求：U=?4450533AB1A+_8V_+10VCDERLUUx第一步：求开端电压Ux。解:此值是所求结果U吗？第二步：求等效电阻Req。Req44505AB1A+_8V_+10VCDEUx44505+_E0R0579V等效电路4450533AB1A+_8V_+10VCDERLU第三步：求电压Ｕ33Ｕ例3-6用戴维南定理求图

(a)所示电路中的U0

。

(1)求开路电压Uoc。用结点电压法，有

联立解得

解:(对ab左端的一端口网络进行戴维南等效)(a)I1+2Ω12V–+U0–ba2Ω4I11Ω20V–+(b)I12Ω12V–+ba2Ω4I1Uoc(2)求戴维南等效电阻Req

：采用外加电压源法。

+–UII12Ωba2Ω4I112V–+列方程仍然采用结点法：

12V–+1/3Ω10V–+1Ω20V–++–U0然后对于ab左侧的电路从而求取：补例3.解：(1)a、b开路，I=0，0.5I=0，Uoc=10V(2)求Ri：加压求流法U0=(I0-0.5I0)103+I0103=1500I0Ri=U0/I0=1.5kabUoc+–+–UR0.5kRi(含受控源电路)用戴维南定理求图示电路中U。+–10V1k1k0.5IabR0.5k+–UI1k1k0.5Iab+–U0II0U=Uoc

500/(1500+500)=2.5VIsc=-I，(I-0.5I)103+I103+10=01500I=-10I=-1/150A即Isc=1/150A

Ri=Uoc/Isc=10150=1500ab10V+–+–U

R0.5k1.5k(3)等效电路：开路电压Uoc

、短路电流Isc法求Ri：即：Ri=Uoc/IscUoc=10V（已求出）再求短路电流Isc(将a、b短路)：或：Isc+–10V1k1k0.5IabI4.诺顿定理诺顿定理：线性含源一端口A，对外电路来说，可以用一个电流源和电导的并联组合来替代，此电流源的电流等于该一端口A的短路电流isc，电导等于一端口A中所有独立电源置零后所得无源一端口P的等效电导Geq。诺顿等效电路可由戴维南等效电路经电源等效变换得到。uoc、Req（Geq）、isc

3个参数，其关系为

uoc=Req

iscAababGeq(Req)isc但须指出，诺顿等效电路可独立进行证明。证明过程从略。两个特例:1）若一端口的输入电阻为零，其戴维南等效电路为一理想电压源，诺顿等效电路不存在。2）若一端口的输入电导为零，其诺顿电路为一理想电流源，戴维南等效等效电路不存在。

戴维南定理和诺顿定理统称为发电机定理，这两个定理在分析电路中某一电阻获得最大功率方面很有用处。如何求诺顿电路:

1）戴维南变换+电源等效变换

2）

A的短路电流isc

；

P的等效电阻Req例3-7用诺顿定理求图

(a)所示电路中电流I。12V210+–24Vab4I+–(a)解：如图，先独立出来4

电阻支路12V210+–24Vab4I+–ISCab右侧的电路求取诺顿等效电路(1)ab间短路求短路电流I1I2I1=12/2=6A

I2=(24+12)/10=3.6AIsc=-I1-I2=-3.6-6=-9.6A(2)求Req：串并联Req=102/(10+2)=1.67(3)诺顿等效电路:I=-

Isc1.67/(4+1.67)=9.61.67/5.67=2.83AReq210ab解毕！-9.6Aba4I1.67例3-8求图(a)所示电路的戴维南或诺顿等效电路。(a)1'16Ω3ii2ΩUoc+–10V–+4Ω解

先求开路电压uoc。

再求等效电阻Req。外加电压源方法：解得

：u=0，Req=u/i=0戴维南等效电路为一理想电压源，而诺顿等效电路不存在。

＋u-+5V-注意：当Req

=0时，戴维南等效电路成为一个电压源，此时对应的诺顿等效电路不存在；当Req

=∞时，诺顿等效电路成为一个电流源，此时对应的戴维南等效电路不存在。通常情况下，两种等效电路同时存在。Req

也有可能为一线性负电阻。

3.4最大功率传输定理1iRequoc–+1'RL线性含源一端口网络A线性含源一端口A，当它两端接上不同负载时，在什么情况下负载能获得最大功率呢？

分析图中负载电阻中电流：线性含源一端口网络A等效为戴维南电路A1iRequoc–+1'RL则负载电阻中电功率：当改变RL时，要PL使最大，则：当Req=RL时，若用诺顿定理等效，则

最大功率传输定理的内容为：线性含源一端口A，外接可变负载RL，当RL=Req（含源一端口A的等效电阻）时，负载可获得最大功率，此最大功率为或

满足上述条件称为负载电阻与一端口的等效电阻匹配。在匹配工作状态下

，h=50％

。例3-9如图(a)所示含源一端口外接可调电阻R，当R等于多少时，可以从电路中获得最大功率？并求此最大功率。解

先求开路电压uoc。

(a)3A20Ω5Ω10V–+16ΩR(b)20Ω4V+-uocRReq20Ω5Ω16Ω(c)求戴维南等效电阻Req。

当R=20W时，R可获得最大功率，3.5特勒根定理

特勒根定理是电路理论中最普遍定理之一，其可以应用于集总参数二端元件所构成的任何电路，而不管元件的性质如何。1.具有相同拓扑结构（特征）的电路两个电路，支路数和结点数都相同，而且对应支路与结点的联接关系也相同。R5R4NR1R3R2R6+–us11234NR5'R4'R1'R3'R6'us6is2+–1243读作“N拔”两个电路支路与结点联接关系相同：假设两个电路中对应支路电压方向相同，支路电流均取和支路电压相同的参考方向。2．特勒根定理1该定理是功率守恒的具体体现，其表明任何一个电路的全部支路所吸收的功率之和恒等于零。对于一个具有n个结点和b条支路的电路，假定各支路电压和支路电流取关联参考方向，并设支路电压和支路电流分别为（u1，u2，…，ub），（i1，i2，…，ib

），则对任何时间t，有0③②①243516证明：对①、②、③结点列KCL方程为

所以：证毕！证明可推广到任何具有n个结点和b条支路的电路。

0③②①2435163.特勒根定理2：说明：

如果有两个具有n个结点和b条支路的电路，它们具有相同的拓扑图，但由内容不同的支路构成，假定各支路电压和支路电流取关联参考方向，并分别用(u1,u2,…,ub)，(i1,i2,…,ib)，()

，表示两电路中b条支路电压和支路电流，则对任何时间t，有，1、特勒根定理2不能用功率守恒解释，但它具有功率之和的形式，所以有时又称为“似功率定理”。2、它适用于任何集总电路，对支路内容也没有要求。证明：设有两个电路的G图都如右图：电路N对①、②、③结点列KCL方程为：

电路对①、②、③结点列KCL方程为：

则：则：0③②①243516补例1：(1)R1=R2=2,Us=8V时,I1=2A,U2=2V(2)R1=1.4,R2=0.8,Us'=9V时,I1'=3A,求U2'。解：利用特勒根定理由(1)得：U1=4V,

I1=2A,U2=2V,I2=U2/R2=1A无源电阻网络

P

–+U1+–UsR1I1I2–+U2R2补例2：解：U1=10V,I1=5A,U2=0,I2=1AP–+U1–+U2I2I1P–+–+2利用特勒根定理例3-10如图所示电路中，N为仅含电阻的网络。证明：

–+u222'Ni2–+u111'i1–+22'N–+11'证明

：由特勒根定理2有：

N为仅含电阻的网络，有k=3，…，b证毕！所以：

3.6互易定理(ReciprocityTheorem)对一个仅含线性电阻的电路，在单一激励的情况下，当激励和响应互换位置时，响应不变。此即互易定理第一种形式:电压源激励，电流响应－－电流互易

给定任一仅由线性电阻构成的网络(见下图)，设支路j中有唯一电压源uj，其在支路k中产生的电流为ikj(图a)；若支路k中有唯一电压源uk，其在支路j中产生的电流为ijk(图b)。cd线性电阻网络Nijk+–ukab(b)ikj线性电阻网络N+–ujabcd(a)当uk

=

uj

时，ikj

=

ijk

。则两个支路中电压电流有如下关系：ikj线性电阻网络N+–ujabcd(a)cd线性电阻网络Nijk+–ukab(b)证明:用特勒根定理。由特勒根定理：(设a-b支路为支路1,c-d支路为支路2,其余支路为3~b)。图(a)与图(b)有相同拓扑特征，(a)中用uk

、ik表示支路电压，电流，(b)中用

。即：两式相减，得将图(a)与图(b)中支路1，2的条件代入，即即：证毕！当uk

=

uj

时，ikj

=

ijk

。cd线性电阻网络Nijk+–ukab(b)ikj线性电阻网络N+–ujabcd(a)第二种形式:电流源激励，电压响应。－－电压互易

在任一线性电阻网络的一对结点j，j'间接入唯一电流源ij，它在另一对结点k，k'产生电压ukj(见图a)；若改在结点k，k'间接入唯一电流源ik，它在结点j，j'间产生电压ujk(图b)，则上述电压、电流有如下关系：当ik

=

jj

时，ukj

=

ujk

。ukjij+–jj'k'k(a)ik+–ujkjj'k'k(b)

如果按在端子a，b的为电流源Is，而端子c，d的短路电流为i2,当在端子c，d按入电压源us,且有us=is（量值上），而在端子a，b的开路电压为,则互易定理说明应用互易定理时要注意电压和电流的参考方向。

通用的表达关系式：c+–d

NR+–usab(b)isNR(a)i2abdc第三种形式:

：－－数值互易(1)

互易定理适用于线性网络在单一电源激励下，两个支路电压电流关系。(2)

激励为电压源时，响应为电流激励为电流源时，响应为电压电压与电流互易。(3)

电压源激励，互易时原电压源处短路，电压源串入另一支路；电流源激励，互易时原电流源处开路，电流源并入另一支路的两个结点间。(4)

互易要注意电源与电压(电流)的方向。(5)

含有受控源的网络，互易定理一般不成立。应用互易定理时应注意：例3-12互易网络如图所示，已知us1=1V，i2=2A，求电流由互易定理得

代入已知条件可得

形式一解i2线性电阻网络N+–us1(a)线性电阻网络N+–(b)例3-13

对于虚框内所包含的网络N′（仍为电阻网络，见图动画），利用互易定理有所以

如图(a)所示电路中，已知u2=6V，求图(b)中（网络N仅由电阻组成）。形式二解u24A+–NR(a)R1R22A+–U'1NR(b)R1R2补例：求电流I。解：利用互易定理I1=I'2/(4+2)=2/3AI2=I'2/(1+2)=4/3AI=I1-I2=-2/3A2124+–8V2IabcdI1I2I'解毕！2124+–8V2Iabcd2124+–8V2Iabcd先再3.7对偶原理(DualPrinciple)1电路中某些元素之间的关系（或方程），用它们的对偶元素对应地置换后，所得到的新关系（或新方程）也一定成立，这个新关系（或新方程）与原有的关系（方程）互为对偶，这就是对偶原理。（1）对偶元素有：u----i

R----G

us----is

L----C

uoc----isc（2）对偶关系有：u=Ri-----i=Gu

us=R1i+R2i----is=G1u+G2u