理论力学第十五章课件

动力学第15章拉格朗日方程7/24/20231第十五章拉格朗日方程

§15–1动力学普遍方程

§15–2拉格朗日方程

§15–3拉格朗日方程的首次积分2

动力学本章在达朗伯原理和虚位移原理的基础上，进一步导出动力学普遍方程和拉格朗日第二类方程（简称拉格朗日方程）。动力学普遍方程和拉格朗日方程是研究动力学问题的有力手段，在解决非自由质点系的动力学问题时，显得十分简捷、规范。3

设质点系有n个质点，第i个质点

若质点系受有理想约束，将作为主动力处理，则：解析式：§15-1动力学普遍方程动力学普遍方程。在理想约束的条件下，质点系的各质点在任一瞬时受到的主动力与惯性力在任意虚位移上所作的虚功之和为零。4[例1]

已知：在图示滑轮系统中，动滑轮上悬挂重为W1的重物，绳子绕过定滑轮后悬挂重为W2的重物，设滑轮和绳子的重量不计，求：重为W1的重物的加速度。解：1，研究对象：整体系统2，分析主动力3，分析运动，虚加惯性力，如图所示，其中运动学关系：动力学54，任给系统一组虚位移如图示，有5，由动力学普遍方程求解：将惯性力和虚位移关系代入上式，有因为δr1是独立变量，解得

动力学6§15-2拉格朗日方程设质点系有n个质点，受s个完整约束且系统所受的约束是理想约束，自由度k=3n-s。下面推导以广义坐标表示的动力学普遍方程的形式。质点。若取系统的一组广义坐标为，则称

为广义速度。7

动力学代入质点系动力学普遍方程，得：称为广义力

广义惯性力完整系统中，是彼此独立的，可得：8

动力学广义惯性力可改变为：为简化计算,需要用到以下两个关系式：下面来推导这两个关系式：9动力学因为qj是彼此独立的，所以

所以式（2）的证明：式（1）的证明：10动力学拉格朗日方程。Ek表示质点系的动能广义惯性力代入式（f），并移项，得：11

动力学如果作用于质点系的力是有势力，则广义力可用质点系的势能来表达。代入拉氏方程,有上式变换为：令，称为拉氏函数，可得：保守系统的拉氏方程12动力学[例2]已知：质量为m长度为l的均质杆AB，A端与钢性系数为C的弹簧相连并限制在铅垂方向运动，AB杆还可以绕过A的水平轴摆动，如图所示，求：AB杆的运动微分方程，解：1，研究对象：整体，广义坐标x,θ2，分析运动，计算动能AB杆作平面运动13

3，分析主动力，计算势能，并写出拉氏函数动力学设平衡时A点的位置为坐标原点O，并设平衡位置为弹力和重力的零势能点，有：其中代入上式，整理后得：拉氏函数14动力学4，计算偏导数，代入拉氏方程

15动力学5，整理(a),(b)两式，得：16

[例3]如图所示的系统中轮A沿水平面纯滚动,轮心以水平弹簧联于墙上,质量为m1的物块C以细绳跨过定滑轮B联于点A,A，B两轮皆为均质圆盘,半径为R,质量为m2,弹簧刚度为k质量不计.当弹簧较软,在细绳能始终保持张紧的条件下,求此系统的运动微分方程.动力学17解：此系统具有一个自由度以物块平衡位置为原点取x为广义坐标如图以平衡位置为重力零势能点取弹簧原长处为弹性力零势能点系统在任意位置x处的势能为其中为平衡位置处弹簧的伸长量由运动学关系式当物块速度为时轮B角速度为轮A质心速度为角速度亦为此系统的动能为动力学18系统的动势能为代入拉格朗日方程得注意到则系统的运动微分方程为动力学19

＊§15-3拉格朗日方程的首次积分对于保守系统，可以得到拉格朗日方程的某些统一形式的首次积分，从而使得保守系统动力学问题的求解过程进一步简化。保守系统拉格朗日方程的首次积分包括：能量积分、循环积分。一、能量积分设系统所受的主动力是有势力，且拉格朗日函数L=T-U中不显含t，则20

动力学广义能量积分。保守系统的拉格朗日函数不显含时间t时，保守系统的广义能量守恒。可以证明，当系统约束为定常时，上式为=021系统的广义能量积分式就是系统的机械能守恒方程式。

动力学二、循环积分如果拉格朗日函数L中不显含某一广义坐标qr

,则该坐标称为保守系统的循环坐标或可遗坐标。当为系统的循环坐标时，必有于是拉氏方程成为22

动力学积分得：循环积分因L=T-U，而U中不显含，故上式可写成Pr称为广义动量，因此循环积分也可称为系统的广义动量积分。保守系统对应于循环坐标的广义动量守恒。一个系统的能量积分只可能有一个；而循环积分可能不止一个，有几个循环坐标，便有几个相应的循环积分。能量积分和循环积分都是由保守系统拉格朗日方程积分一次得到的，它们都是比拉格朗日方程低一阶的微分方程。23

动力学[例3]楔形体重P，斜面倾角，置于光滑水平面上。均质圆柱体重Q，半径为r，在楔形体的斜面上只滚不滑。初始系统静止，且圆柱体位于斜面最高点。试求：(1)系统的运动微分方程；(2)楔形体的加速度；(3)系统的能量积分与循环积分。解：研究楔形体与圆柱体组成的系统。系统受理想、完整、定常约束，具有两个自由度。取广义坐标为x,s；各坐标原点均在初始位置。24

动力学系统的动能：系统的势能：取水平面为重力势能零点。拉格朗日函数：25

动力学代入保守系统拉氏方程，并适当化简，得到系统的运动微分方程。（d）解得楔形体的加速度为拉格朗日函数L中不显含t，故系统存在能量积分。26

动力学当t=0时，，x=

s=0,代入上式中，得

27

动力学由于拉格朗日函数L中不显含广义坐标x，故x为系统循环坐标，故有循环积分：t=0时，故上式中C2=