正项级数的审敛准则

正项级数的审敛准则2008年12月25日南京航空航天大学理学院数学系1第1页，课件共44页，创作于2023年2月2008年12月25日南京航空航天大学理学院数学系2第4章无穷级数第1节常数项级数第2节函数项级数第3节幂级数第4节Fourier级数第2页，课件共44页，创作于2023年2月2008年12月25日南京航空航天大学理学院数学系3第1节常数项级数1.1常数项级数的概念、性质与收敛原理1.2正项级数的审敛准则1.3变号级数的审敛准则第3页，课件共44页，创作于2023年2月2008年12月25日南京航空航天大学理学院数学系41.2正项级数的审敛准则1.充要条件2.比较法4.比值法5.根值法3.积分审敛法定义:这种级数称为正项级数.第4页，课件共44页，创作于2023年2月2008年12月25日南京航空航天大学理学院数学系5正项级数的特性第5页，课件共44页，创作于2023年2月2008年12月25日南京航空航天大学理学院数学系61.正项级数收敛的充要条件定理1.2注第6页，课件共44页，创作于2023年2月2008年12月25日南京航空航天大学理学院数学系7证明即部分和数列有界2.比较审敛法定理1.3(比较准则I)第7页，课件共44页，创作于2023年2月2008年12月25日南京航空航天大学理学院数学系8不是有界数列定理证毕.比较审敛法:须有参考级数.第8页，课件共44页，创作于2023年2月2008年12月25日南京航空航天大学理学院数学系9例1证明第9页，课件共44页，创作于2023年2月2008年12月25日南京航空航天大学理学院数学系10例2解第10页，课件共44页，创作于2023年2月2008年12月25日南京航空航天大学理学院数学系11由图可知重要参考级数:几何级数,P-级数,调和级数.第11页，课件共44页，创作于2023年2月2008年12月25日南京航空航天大学理学院数学系12再次强调：第12页，课件共44页，创作于2023年2月2008年12月25日南京航空航天大学理学院数学系13例3解第13页，课件共44页，创作于2023年2月2008年12月25日南京航空航天大学理学院数学系143.比较审敛法的极限形式:设å¥=1nna与å¥=1nnb都是正项级数,如果则(1)当时,二级数有相同的敛散性;(2)当时，若收敛,则收敛;(3)当时,若å¥=1nnb发散,则å¥=1nna发散;定理1.4(比较准则II)第14页，课件共44页，创作于2023年2月2008年12月25日南京航空航天大学理学院数学系15证明由比较判别法的推论,得证.第15页，课件共44页，创作于2023年2月2008年12月25日南京航空航天大学理学院数学系16原级数发散.故原级数收敛.解第16页，课件共44页，创作于2023年2月2008年12月25日南京航空航天大学理学院数学系17第17页，课件共44页，创作于2023年2月2008年12月25日南京航空航天大学理学院数学系18第18页，课件共44页，创作于2023年2月2008年12月25日南京航空航天大学理学院数学系19由比较判别法知收敛.反之不成立.例如：收敛,发散.解?第19页，课件共44页，创作于2023年2月2008年12月25日南京航空航天大学理学院数学系204.柯西积分审敛法定理1.5(积分准则)第20页，课件共44页，创作于2023年2月2008年12月25日南京航空航天大学理学院数学系21证明由图可知第21页，课件共44页，创作于2023年2月例5试证级数，当时收敛；当时发散。连续且单调减小（因为）证设则函数在区间上满足当时当时发散第22页，课件共44页，创作于2023年2月2008年12月25日南京航空航天大学理学院数学系23注第23页，课件共44页，创作于2023年2月2008年12月25日南京航空航天大学理学院数学系24第24页，课件共44页，创作于2023年2月2008年12月25日南京航空航天大学理学院数学系25证明第25页，课件共44页，创作于2023年2月2008年12月25日南京航空航天大学理学院数学系26第26页，课件共44页，创作于2023年2月2008年12月25日南京航空航天大学理学院数学系27比值审敛法的优点:不必找参考级数.注第27页，课件共44页，创作于2023年2月2008年12月25日南京航空航天大学理学院数学系28解例5

判别下列级数的收敛性:

第28页，课件共44页，创作于2023年2月2008年12月25日南京航空航天大学理学院数学系29第29页，课件共44页，创作于2023年2月2008年12月25日南京航空航天大学理学院数学系306.根值审敛法(柯西审敛法)

第30页，课件共44页，创作于2023年2月2008年12月25日南京航空航天大学理学院数学系31级数收敛.第31页，课件共44页，创作于2023年2月2008年12月25日南京航空航天大学理学院数学系32(可用比值法)解:类似于例7用根值法!第32页，课件共44页，创作于2023年2月2008年12月25日南京航空航天大学理学院数学系33反之未必!第33页，课件共44页，创作于2023年2月2008年12月25日南京航空航天大学理学院数学系34小结正项级数敛散性的六个判敛散定理第34页，课件共44页，创作于2023年2月2008年12月25日南京航空航天大学理学院数学系352第35页，课件共44页，创作于2023年2月2008年12月25日南京航空航天大学理学院数学系36第36页，课件共44页，创作于2023年2月2008年12月25日南京航空航天大学理学院数学系372证明第37页，课件共44页，创作于2023年2月2008年12月25日南京航空航天大学理学院数学系38二、判敛散性第38页，课件共44页，创作于2023年2月2008年12月25日南京航空航天大学理学院数学系39解第39页，课件共44页，创作于2023年2月2008年12月25日南京航空航天大学理学院数学系40第40页，课件共44页，创作于2023年2月2008年12月25日南京航空航天大学理学院数学系4