最优控制极小值

最优控制极小值第1页，课件共174页，创作于2023年2月本章首先介绍应用哈米尔登函数法求解变分学中的被尔扎问题，然后介绍威尔斯特拉斯E函数，为推导极小值原理做准备；最后介绍极小值原理，包括有控制变量不等式约束的极小值理、有控制变量及状态变量不等式约束的极小值原理，以及离极小值原理。

一、波尔札问题及其解法

这一节研究变分学中的波尔札问题，通过它来介绍求解变分问题的哈米尔登函数法。哈米尔登函数法仍然属于变分法的内容。但是，由它导出的结果在许多方面同极小值原理的结果十分相似，可以把它看成极小值原理的特殊情况，即只存在性约束条件的情况。这正是我们不把这部分内容放在研究经典变分学的第一章的原因。下面，首先讨论固定端点时间的波尔札问题，然后讨论未定终端时间问题。第2页，课件共174页，创作于2023年2月

1．固定端点时间、无不等式约束的波尔札问题本小节研究这样几个问题：(1)应用哈米尔登函数法导出在微分方程等式约束下性能泛函取极值的必要条件；(2)一般条件下的横截条件；(3)哈米尔登函数的一个重要性质；(4)在微分方程等式约束下泛函取极值的充分条件；最后介绍若干应用实例。（1）在微分方程等式约束下性能泛函取极值的必要条件前一章研究过有等式约束的拉格郎问题，其约束方程和性指标具有下列形式：

和

现在研究在一类特殊的等式约束，即系统微分方程(2·3—1)约束下的波尔札问题。其中是维状态矢量，是待选择第3页，课件共174页，创作于2023年2月的m维控制矢量。取决于控制矢量和初始条件矢量。是维矢量函数，它的每个元对和有连续偏导数。给定性能泛函 （2.1—2）式中、和L都是连续可微的纯量函数。假设端点时间和固定。下面我们应用哈米尔登函数法来推导在系统方程(2·1—1)的约束下，使泛函J取极值的必要条件。应用拉格朗日乘子，通过矢量拉格郎乘了把系统微分方程（2·1—1）能泛函(2·1—2)，得到

定义一个纯量函数第4页，课件共174页，创作于2023年2月 （2.1—4）该函数称做哈米尔等函数。利用这个函数，方程(2·1—3)可写成

（2.1—5）取的一次变分，得 （2.1—6）对上式右边积分号下最后一项使用分部积分；得到

第5页，课件共174页，创作于2023年2月把它代入方程(2·1—6)，可得

(2·1一7)泛涵J’取极值的必要条什是。在这里函数、、不受限制，方程(2·1—7)中、、为任意。于是，根据必要条件可得下面一组重要的关系式：

(2·1—8) (2·l—9)

(2·1—10)

（2·1—11）方程(2·1—8)、(2·1—9)和(2·1—10)是利用哈米尔登函数法导出的欧拉方程，分别叫做系统方程和控制方程。方程(2·1—11)是相应的横截条件，式中n维矢量叫做协状态矢量方程(2·1—8)和(2·1—9)一起叫做规范方程。

第6页，课件共174页，创作于2023年2月这里有2n+m个待定函数，，。方程(2·1—8)一(2·1—l0)提供2n+m独立方程，其中有2n个一阶微分方程，它们的解带有2n个积分常数，这2n个常数正好可以利用方程(2·1—11)提供的2n个边界条件来确定。由此可以得出结论；解方程(2．1—8)一(2·1—11)便能确定待求的最优制和最优轨线。

必须指出，要得出控制方程，必须任意。如不是任意的，就不能使用基本预备定理，这样，条件就不一定是使J取极值的条件。第7页，课件共174页，创作于2023年2月

（2）关于横截条件的进一步讨论下面讨论横截条件的一般情况。假设初始状态受方程 (2·1—12)的约束，其中

是r维矢量函数，它的每一个元连续可微、。终端状态受方程 (2·1—13)约束，其中第8页，课件共174页，创作于2023年2月

是维连续可微函数，。在求性能泛函的极值时，方程(2。1—12)、(2·1—13)分别规定了初始状态和终端状态的取值范围。利用矢量拉格郎乘子和，将约束条件(2，1—12)和(2·1—13)结合到函数和；得到(2·1—14)

式中和分别是r维和q维的。根据泛函取极值的必要条件，可求出初始状态和终端状态受约束时的横截条件为第9页，课件共174页，创作于2023年2月

(2·1—15)

(2·1—16)矢量方程(2·1—15)、(2·1—16)包括2n+r+q个方程，可以用来确定规范方程的2n个积分常数和r+q个待定常数。（3）哈米尔登函数的一个重要性质哈米尔登函数有一个重要性质，利用这个性质经常可以使最优控制问题的求解得到简化。已知哈米尔登函数

将上式两瑞对t求全导

利用欧拉方程(2.1—8)一(2.1—10)，沿着最优轨线

第10页，课件共174页，创作于2023年2月

若H不显含t，则由上式可得或常数 (2．1—17)由此得出一条重要结果：如果哈米尔登函数H不显含，那么，它沿着最优轨线等于常数。

（4）在微分方程等式约束下泛函取极值的充分条件假设端点时间、固定，初始状态。考虑微分方程约束（2.1—1）和终端约束（2.1—13）,性能泛函可写成

第11页，课件共174页，创作于2023年2月取J的二次变分，得到

(2·3—18)由此可以得出结论：假设，J的一次变分等于零建立了J取极值的必要条件，那么，J取极小(极大)值的充分条件是n×n矩阵， (2·3—19)和(n十m)×(n十m)矩阵，即 (2·3—20)都是正定或半正定(负定或半负定)的。第12页，课件共174页，创作于2023年2月

上面从理论上导出了有系统微分方程和终端状态方程约束时泛函取极值的充分条件。根据这个条件可以判断求出的极值是极大值还是极小值。然而，对于实际工程问题，极值的性质是明显的比如最短时间问题和最少燃料问题的最优解一定使性能泛函取极小，而最大平飞速度问题的最优解一定使性能泛函取极大。因此对于这样一类实际问题不必计算矩阵(2·l—19)和(2，1—20)，可直接根据问题本身的性质来确定。

小结总结以上讨论，得到如下结果：给定系统微分方程

第13页，课件共174页，创作于2023年2月和性能指标泛函

其中是n维状态矢量，是m维控制矢量。假设、固定，纯量函数、和连续可微，初始状态受r维方程

的约束，终端状态受q维方程

的约束，控制矢量不受限制。如果定义哈米尔登函数为

第14页，课件共174页，创作于2023年2月

那么，使性能指标泛函取极值的控制和轨线必须满足1）系统方程2）伴随方程3）控制方程 4）横截条件

其中、分别是r维和q维待定拉格郎乘子。

5）如果哈米尔等函数不显含，则沿着最优轨线

=常数第15页，课件共174页，创作于2023年2月

例2·1—3试求控制和轨线，把系统

从点转移到直线

且使

取极小。解：这个问题的哈米尔登函数

伴随方程是伴随方程的解是

第16页，课件共174页，创作于2023年2月控制方程是

于是得

将它代入系统方程，然后积分，可得

利用初始条件，可得

于是

第17页，课件共174页，创作于2023年2月这里，终端横截条件是

由后两式得出。把、、、代入终端横截条件，即当

t＝1，有

和

联立求解这两个代数方程，得，于是得到最优控制和最优轨线，即

第18页，课件共174页，创作于2023年2月

例2·1—2已知系统由3个积分环节串联组成，其运动方程式为

，

，

，试将系统转移到终端目标集

且使性能泛函

取极小。

第19页，课件共174页，创作于2023年2月

解：这个问题的哈米尔登函数

伴随方程是

控制方程是 或终端横截条件是

这里，，于是得到

因此要求出最优控制和最优轨线，需要求解下列方程组表示的两点边界值问题： ， ， ，第20页，课件共174页，创作于2023年2月由于终端条件是非线性的，确定积分常数比较复杂，最好利用数字计算机来求解。

例2·1—3

没有推力ma作用在二维空间里运动的质点m上，用坐标x、y定质点的位置。质点的速度分绒分别是u和v，如图2—1所示。假设报力加速度a为常数，重力加速度和空气阻力忽略

图2—1不计。试确定推力方向角的变化规律，使质点在规定终端时间进入平飞状态，离x轴距离为h，且使平飞速度达到最大。第21页，课件共174页，创作于2023年2月第22页，课件共174页，创作于2023年2月

解：这个问题的系统微分方程是 (2·1—21) (2·1—22) (2·1—23) (2·1—24)初始条件是 (2·1—25) (2·l一26) (2·1—27)(2·1—28)

第23页，课件共174页，创作于2023年2月终端约束方程是 ，性能指标是

哈米尔登函数

伴随方程是

伴随方程的解为(2·1—29)(2·1—30)(2·1—31)(2·1—32)第24页，课件共174页，创作于2023年2月控制方程是

(2·1—33)已知 ，由横截条件

和

可得第25页，课件共174页，创作于2023年2月 (2·1—34) (2·1—35) （2·l—36）

(2·l—37)

和 (2·l—38) (2·1—39)

由方程(2．1—29)一(2·1—32)和方程(2，1—34)一(2·1—37)，可得

第26页，课件共174页，创作于2023年2月

将代入控制方程(2·1—33)，可得 (2·1—40)其中

下面，我们用代替作独立变量，解系统方程(2，l—21)一(2。1—24)。对式(2．1—40)两边微分，可得

另一方面，由

可得到

把它代入系统方程组，用线性正切律积分，再利用初始条件(2·—25)一(2·1—28)，可得第27页，课件共174页，创作于2023年2月式中待定常数和。要用尚未使用的两个边界条件即式(2·1—38)和式(2·1—39)来确定。由式(2。1—40)，知当时，有

第28页，课件共174页，创作于2023年2月可得出 (2．1—45)由式(2，I—38)和式(2．1—42)，知当时，有

由此得出，(2·2—46)

由式(2，1—45)和式(2．1—46)，可得(2·1—47)将上式代入式(2·1—40)，得到

(2·1—48)第29页，课件共174页，创作于2023年2月由式(2·1—39)、(2．1—44)、（2·1—45）、(2·1—48)，令，得到 (2·1—49)给定、、，由上式可算出，再将代入式(2·1—48)算出。将代入式(2·1—40)，便求出最优推力方向角随时间变化的规律 （2·1—50）将式(2·1—47)、(2·1—48)代入方程(2·1—41)和(2·1—43)，得到端时间质点的平飞速度和x坐标：和

第30页，课件共174页，创作于2023年2月

请看实例：设

试求终端时间可能达到的最大平飞速度。由给定条件可算出

而

把它们代入式(2·1—49)，得到 0.2133333由上式算出，把它代入方程(2．1—51)，可算出终端时间最大平飞速度，即第31页，课件共174页，创作于2023年2月例2·1—4在高超音速流体中零攻角下旋转体最小阻力外形第32页，课件共174页，创作于2023年2月第33页，课件共174页，创作于2023年2月子弹高速运动产生的激波第34页，课件共174页，创作于2023年2月第35页，课件共174页，创作于2023年2月日本新干线高速列车第36页，课件共174页，创作于2023年2月美国航天飞机试验飞行第37页，课件共174页，创作于2023年2月第38页，课件共174页，创作于2023年2月AF-3Britishmilitaryjetaircraft第39页，课件共174页，创作于2023年2月第40页，课件共174页，创作于2023年2月美国隐形B2战略轰炸机第41页，课件共174页，创作于2023年2月例2·1—4在高超音速流体中零攻角下旋转体(见图2—2)动压J可以精确地表示成

(2·1—53)式中q＝动压；x＝离开最大半径点的轴向距离；r(x)＝旋转体半径，为x的函数； (2．1—54)＝牛顿近似压力系数＝旋转体长度；旋转体最大半径。

图2—2我们的任务是根据给定的、、，酌定r(x)，使D达到最小。第42页，课件共174页，创作于2023年2月第43页，课件共174页，创作于2023年2月解：令

（2·1一55）考虑可能出现钝头情况，将式(2·1—54)代入式(2·3—53)，可得

或 (2·1—56)这个问题的系统方程是

性能指标是

式中

x是独立变量；

r是状态变量；

u是控制变量；

r(0)给定为a；r(l)未规定。第44页，课件共174页，创作于2023年2月

u是控制变量；

r(0)给定为a；r(l)未规定。

由系统方程和性能指标，哈米尔登函数

(2·1—57)伴随方程是

控制方程是 (2·1—58)第45页，课件共174页，创作于2023年2月由横截条件确定两点边界条件为

(2·1—59)哈米尔登函数不显含x，所以H沿最优轨线等于常数。将式(2·1—58)代入式，得 常数 (2·1—60)由式(2·1—58)和(2·1—59)，可得：

由此得出或 (2·1—61)第46页，课件共174页，创作于2023年2月将代入式(2．1—60)，得

由式(2．1—60)和上式得到用斜率表示的旋转体半径表达式，即 （2·1—62）对上式两边求微分，得 (2·1—63)由式(2·1—55)，可求出

dr＝一udx或dx＝一dr／u(2·1—64)将上式代入式(2·1—63)；整理后积分，可得

由此求得 （2·1—65）上式表示x与斜率u之间的关系。方程(2·1—62)和(2·1—65)是旋转体最优形状参数方程。现解第47页，课件共174页，创作于2023年2月

下面这两个超越方程： (2．1—66) (2．1—67)可以确定顶点半径r(l)和x＝0上的斜率u。

图2—3表示固定，为几种不同值时旋转体的几何形状。由式(2·1—62)一(2·1—64)，可得

将上式代入式(2·1—56)，并注意到

和可得

参考面积为。因此，最小阻力系数为

第48页，课件共174页，创作于2023年2月第49页，课件共174页，创作于2023年2月

(2·1—68)假设＝1000mm，＝250mm；形式(2·l—67)除(2·1—66)，

解上述方程得

将代入式(2·1—66)和(2·1—68)，得第50页，课件共174页，创作于2023年2月

例2·1—5给出长为的绳子，连在一根长为2的直线的两端，，试用哈米尔登函数法，求使绳子同直线间面积最大的绳子的形状。解：设绳子与直线间的关系如图2—4所示，由题意可列出如下关系式：

其中是绳子形状函数曲线的斜率。设是从起到处的一段绳长，则第51页，课件共174页，创作于2023年2月第52页，课件共174页，创作于2023年2月

因此有

且

于是，得到这个问题的系统方程是

其中x、y是状态变量；是控制变量，t是独立变量。这个问题的性能指标

初始条件 (2·1一69)第53页，课件共174页，创作于2023年2月哈米尔登函数可表示为 (2·1—71)伴随方程为 (2·1—72)

控制方程为

因此 (2·1—73)第54页，课件共174页，创作于2023年2月哈米尔登函数不显含，因此，沿最优轨线等于常数。由式(2·1—72)和(2·1—73)，可得， (2·1—74)由式(2·1—71)和(2·1—73)，可得 (2·1—75)对(2·1—74)两边取微分，可求得’

因此有 (2·1—76)令。当时，由式(2·1—75)和式(2·1—69)第一式，可得 (2·1—77)由式(2·1—75)和(2·1—70)，当时，有 (2·1—78)第55页，课件共174页，创作于2023年2月由式(2·1—77)、(2·1—78)，可得(2·1—79)由式(2·1—76)，可知

即(2·1—80)因此由式(2。1—79)、(2·1—80)，得到

把和代入式(2·1—76)、(2·1—77)，得到

， (2·1—81)由式(2·1—74)和式(2．1—81)，得

当，有第56页，课件共174页，创作于2023年2月

当，有

比较以上两式知c＝0，于是得到 (2．1—82)由式(2·1—74)、(2。1—75)和式（2。1—81）以及c＝o，可得

和

将上面两式两边平方然后相加，得到绳子最优形状方程，即

第57页，课件共174页，创作于2023年2月这是一段圆弧方程圆心位于，半径为，其中已知，通过求解超越方程(2·1—82)可求出相应的。

例2·1—6把一火箭运载工具从一已知的初始环形轨道在预定时间内发．射值至最大可能的环形轨道。假设火箭发动机的推力大小恒定，即为常数，如图2—5所示，试求推力方向角的变化规律。

解：令

r为宇宙飞船至引力巾心的径向距离；

u为速度的径向分量；

v为速度的切向分量；为运载火箭的质量；为燃料消耗的速率，设为常数；为推力方向角；为引力常数。第58页，课件共174页，创作于2023年2月第59页，课件共174页，创作于2023年2月由题意可列出系统运动方程，即

性能泛函为

初始条件为

终端条件为

于是，可列出哈米尔登函数

伴随方程是第60页，课件共174页，创作于2023年2月

控制方程是

即

在这里

出此可得终端横截条件：第61页，课件共174页，创作于2023年2月出此可得终端横截条件：

于是，得到以下两点边界值问题：

第62页，课件共174页，创作于2023年2月 ， ， ，

，求解上面的非线性、时变两点边界值问题，可求出状态变量，协状态变量，拉格郎乘子、进而由可求出推力方向角随时间的变化规律。第63页，课件共174页，创作于2023年2月

2．未定终端时间、无不等式约束的波尔扎问题前一小节用哈米尔登函数法研究了端点时间固定的波尔札问题现在讨论终端时间未规定的情况。在这里终端约束条件是终端状态和终端时间的函数，而对终端时间未做规定。为方便起见，假设初始时间已知。现在的问题是在系统微分方程 未规定 (2·1—83)约束T，求控制u(t)和轨线x(t)，使性能泛函 (2·1—84)取极小，且在未定终端时间满足下面个终端约束方程： (2·1—85)这个终端约束条件是前一章研究过的终端条件：的更一般情况。使用矢量拉格郎乘子和v，把约束方程(2·1—83)、(2·1—84)第64页，课件共174页，创作于2023年2月·85)结合到性能泛函(2。1—84)，可得到

或 (2·1—86)式中哈米尔登函数H和纯量函数别定义为

和

第65页，课件共174页，创作于2023年2月令

把它们代入式(2·1—86)，构成

再把展开成台劳级数，取它的线性项，得到泛函J的一次变分

为分析方便，式中省去了符号“*”。对上式右边积分号下最后项使用分部积分，并注意列第66页，课件共174页，创作于2023年2月

(2·1—87)得

图2—6是式(2．1—87)的几何说明。上式中各个变分、、图2-6 第67页，课件共174页，创作于2023年2月 、、、互不相关且任意，根据泛函J取极值的必要条件，可以得出如下结果： (2·1—88) (2·1—89) (2·1—90)第68页，课件共174页，创作于2023年2月

(2·1一91)

(2·1—92)(2·1—93)(2·1—94)

方程(2·1—88)一(2·1—90)代表2n个一阶微分方程和m个代数方程，用来确定2n十m个未知函数(i＝1，2，…，n)和(j＝1，2，…，m)。方程(2。1—91)一(2，1—94)代表2n十q十1条件，，用来确定2n个积分常数，q个拉格朗乘子(k＝1，2，…q)和一个最优终端时间。同固定端点时间问题相比，这里增加一个方程，即式(2·1—94)。这个阶加方程正好是确定未知终端时间需要的。第69页，课件共174页，创作于2023年2月

上一小节证明了哈米尔登函数的一个重要性质，即如果它不显含t，则沿最优轨线等于常数。对于未定终端时间问题，可以证明上述性质同样存在，特别是如果函数和都不显含t，则由方程(2。1—94)可得出

由此可以得出结沦：如果终端时间未规定，且函数H、和不显含t，则哈米尔登函数沿最优轨线等于零，即 ，小结总结以上讨论，得到如下结果：给定系统微分方程

和性能指标

其中第70页，课件共174页，创作于2023年2月

是n维状态矢量；是m维控制矢量。假设固定，未规定。纯量函数和L连续可微，初始状态未规定，终端状态受q个方程，即

约束，控制向量不受限制。定义哈米尔登函数

那么，如果、、分别是最优控制、最优轨线和最优终端时间，则它们同一起在区间上必须满足：1）系统方程2）伴随方程3）控制方程第71页，课件共174页，创作于2023年2月4）横截条件

5）如果哈米尔登函数H和函数、都不显含t，则

例2。1—7给定单积分系统

，求控制变量使，并使

第72页，课件共174页，创作于2023年2月

取极小。其中和是给定常数，终端时间未规定。解；这个问题的哈米尔登函数

控制方程是 或伴随方程是

它的解是 常数系统方程的解是

第73页，课件共174页，创作于2023年2月利用边界条件

可得

终端约束方程和附加方程是

和

或

给定和，可由上述方程求出和，进而求出最优控制和最优轨线。例如，假设，则可算出： ， ，第74页，课件共174页，创作于2023年2月例2·1—8对于例2·1—3所描述的系统，假设推力加速度。为常数，重力加速度和空气阻力忽略不计。要求用最短时间把质点送到垂直坐标为的水平轨道上；且使水平速度达到规定值 ，而对x坐标未规定，试求推力方向角的变化规律。解：由题意，可列出这个问题的系数微分方程：

性能指标(2·1—96)终端约束条件

(2·1—96) (2·1—37) (2·I—98)第75页，课件共174页，创作于2023年2月于是得到哈米尔登函数

伴随方程是 (2．I一99) (2·1—100) (2、1一101) (2·1—102)半随方程的解为

(2·1—103) (2·1—104)控制方程

第76页，课件共174页，创作于2023年2月

(2．1—105)这个问题的初始条件是

(2·1—106)(2．1—107)(2．1—108)(2·1—109)终端横截条件是 (2·1—110) (2·1—111)

(2．1—112) (2·1—113)第77页，课件共174页，创作于2023年2月

和(2·1—114)(2．1—115)(2·1—116)这里

因为H和N都不显含t，所以，于是有

利用终端横截条件可确定伴随方程解的积分常数由式(2·1—103)一(2·1—105)及上面求出的积分常数，可得

(2．1—117)其中

解系统方程，得到第78页，课件共174页，创作于2023年2月

(2·1—118) (2·3—119)

(2·1—120)

(2·1—121)由式(2·1—117)，当时，有

因此，。由方程(2·1—115)和(2·1—119)，可得

第79页，课件共174页，创作于2023年2月因此，，于是得到 (2·1—122) (2·1—123)利用式(2·1—114)、(2·1—116)、(2．1—118)、(2．1—120)、(2。1—121)和(2，1—122)，并注意到

可得 （2·1—124） （2·l—125） (2·2—126)由式(2．1—124)、(2·1—125)消去c，可得第80页，课件共174页，创作于2023年2月

(2．1—127)将式(2，1—123)代入(2，1—124)，消去c，可求出 （2·1—128）如果给定a、h和U，则可以式(2·1—127)算出，再由式(2．1—128)和(2．1—126)计算出最短时问和终端时间的x坐标；然后把式(2·1—123)代入(2·l—117)得到最优推力方向角随时间的变化规律。例如，假设

a＝150m／，h＝200m，U＝737m／s第81页，课件共174页，创作于2023年2月那么，利用上面导出的关系式可算出：

例2·1—9在例2·1—8中考虑重力加速度g的影响，试确定1)

初始推力方向角；2)终端推力方向角；3)最短时间；4)终端时间的坐标。解：这个问题的系统方程是 ， ，性能指标泛函是式(2·l—95)，终端约束条件是方程(2·1—96)—(2．1—98)；哈米尔登函数是

伴随方程是方程(2·l—99)一(2·1—102)；初始条件是式(2·1—l06)

一(2．1—209)；终端横截条件是式(2．1—110)一(2．3—116)；控

第82页，课件共174页，创作于2023年2月制方程是方程(2·1—117)。解系统方程，可得

用终端横截条件(2．1—114)一(2·1—116)，可得 (2·l—129) (2·1—130)

(2·1—131)外，当时，有 (2·1—132)第83页，课件共174页，创作于2023年2月

(2·1—133)方程(2·1—130)和(2·1—133)，可得 (2·1—134)方程(2，1—129)一(2．1—131)和方程(2·I—133)，可得

(2．1—135)由方程(2·1—129)一(2。1—133)，可得 (2．1—136)如果给定阿a、h和U，则由式(2·1—134)、(2．1—135)可算出和，然后把它们代入式(2·1—132)、(2·1—136)可算出和。例如，给定 ，h＝200m，U＝737In／s可算出 ，

第84页，课件共174页，创作于2023年2月

问题2·1—1给定系统方程

初姑条件为

终端条件为 未规定试求控制和轨线，使性能泛函

达到极小。问题2·1—2给定系统方程为

端点条件为

未规定试求控制和轨线，使性能泛函

达到极小。

第85页，课件共174页，创作于2023年2月

问题2·1—3给定系统方程

端点条件为 未规定试求控制和轨线，使性能泛函

达到极小。

问题2·1—4试求控制和轨线，把系统

从转移到，且使性能泛函达到极小。

问题2·1—5试在例2·l—4所述最优弹头形状问题中，用式2·1—61)表示的另一结果，导出弹头形状曲线方程，并讨论所得结果。

问题2·1—6给定系统方程为

性能泛函为 ，未规定初始条件为

第86页，课件共174页，创作于2023年2月

终端条件为

试求使J取极小的、和应满足的微分方程式和边界条件。

问题2·1—7试用哈米尔登函数法求解例1·4—3。

问题2·1—8设有一质点在平面上从点向点运动，其瞬时速度是该质点所在位置的函数，即V=V(x，y)，质点运动方程式是

式中是速度方向与x轴间的夹角。试证明当质点沿着最优时间轨线行进时控制变量必须满足下列微分方程：

问题2·1—9试用哈米尔登函数法求在t—x平面上由点到直线具有最短弧长的曲线方程。

第87页，课件共174页，创作于2023年2月

二、充分条件及威尔斯持拉斯E函数本章主要任务是介绍极小值原理。但是，极小值原理的严格证明全十分复杂的，我们只做简单的证明。在推导极小值原理时，要用到泛函取极值的一个充分条件。这个条件是建立在威尔期特拉斯E函数基础上的。这一节的任务是介绍这个充分条件及威尔斯特拉斯E函数。1．极值曲线场在(t，x)平面上，如果对其中的某个域D上的每一点都有曲线族x＝x(t,c)中的一条曲线而且只有一条曲线经过，我们便说曲线族在D域上形成一个场，或更准确地说，形成一个正常场。在曲线族x＝x(t，c)上点(t，x)处切线的斜率，叫做场在该点的斜率，记为p(t，x)。显然，如果x(t，c)连续可微，则p(t，c)在场中每一点上都唯一确定。如果真x(t，c)是分段光滑的，那么，除角点以外，p(t，x)在场中每—点也都唯一确定。例如，在圆域内一切乎行直线形成一个场，这个场的斜率为p(t，x)＝1，如图2—7所示。如果曲线族x＝x(t，c)的全部曲线都通过某一点A(t。，x。)，形成一个曲线束，束中曲线布满整个域D，束心也在其中，并且除束心以外曲线在域D内不再相交，如图2—8所示，我们就说曲线族x＝x(t，c)也形成一个场。为了同前面说的正常场相区别，称它为中心场。第88页，课件共174页，创作于2023年2月第89页，课件共174页，创作于2023年2月

如果正常场或中心场是由某个变分问题的极值曲线族形成D，则称这个场为极值曲线场。在第于章曾经指出，关于某个变分问题的欧拉方程的积分曲线代表一族曲线，这样一族曲线就是所述变分问题的极值曲线族。场的概念也可以由平面情况推广到任意维空间情况。如果对于空间的域D内的每一点，都有曲线族(i＝1，2，…，n)中的一条并且只有一条曲线经过，则曲线族在域D内形成一个场。在点

处函数对t的偏导数，叫做场的斜率函数(i＝1，2，…，n)。如果写成量形式，则有

其中

任意维空间里的中心场也可以用同样方法来定义。第90页，课件共174页，创作于2023年2月

2．威尔斯特拉斯E函数

假设在性能泛函

求p极值问题中，极值曲线起始于，终止于它被包含在斜率等于p(t，x)的极值曲线场内，如图2—9所示。取c是经过A、B两点与邻近的容许曲线，则性能泛函J的增量

(2．2—1)式中积分和分别表示性能泛函 沿着容许曲线c的积分值和沿着极值曲线的积分值。

图2。9第91页，课件共174页，创作于2023年2月第92页，课件共174页，创作于2023年2月勿庸置疑，如果泛函J在任何一条与曲线邻近的曲线上的积分值都不小于(不大于)在曲线上的积分值，也就是，则泛函J在曲线上达到极小(极大)值。由此可见，要确定极值的性质，就要确定的符号，这就需要判断方程(2．2—1)右边的两项中哪一项大，哪一项小。但是由于这两项的积分路线不同，直接进行比较是困难的。为了把它们化成便于比较的形式，可把式(2·2—1)右边第二项沿曲线积分，变成等价的，沿曲线c的积分。为了便于数学上处理，我们引入如下辅助函数 (2·2—2)其中p是极值曲线场在点(t,x)，处的斜率，即通该点的极值曲线线在该点的切线斜率，dx/dt是容许曲线在(t,x)处切线的斜率率。

第93页，课件共174页，创作于2023年2月在图2—10上，点划线表示一族极值曲线，c表示与极值曲线邻近的一条容许曲线，那么，在点处，有

图2—10

下面我们来证明积分(2，2J2)与积分路径无关。由普通微积分学可知，曲线积分

与积分路径无关的充分必要条件是函数N(x，y)和M(x，y)在各点满足关系式： （2。2—3）把函数(2·2—2)改写成第94页，课件共174页，创作于2023年2月第95页，课件共174页，创作于2023年2月

(2·2—4)如果上述积分与积分路径无关，利用关系式(2‘2—3)，就有 (2·2—5)桓等式(2。2-5)两边都是全偏导数，把它展开，可得

或 (2·2—6)第96页，课件共174页，创作于2023年2月容易看出，方程(2。2—6)恰巧是方程

的展开式，这也正是欧拉方程

当时的展开式，而场的斜率就是欧拉方程积分曲线切线的斜率，因此，对所述极值曲线场中的来说，必然满足欧拉方程。这就证明了恒等式(2·2—5)必然成立，从而证实了辅助函数(2·2—4)或(2·2—2)与积分路径无关；因此下式立：

第97页，课件共174页，创作于2023年2月因为在极值曲线场中沿着极值曲线每一点，因此，上式右边变成

于是得到

对于任意选择的，上式都成立。因此，增量方程(2。2—1)可以变换成如下形式：

第98页，课件共174页，创作于2023年2月上式右边的被积函数叫做威尔斯特技斯俄E函数。用符号表示，即

于是J的增量方程可写成显然，如果函数E不为负，则一定有。因此，泛函J在曲线上达到极小值的充分条件是；反之，如果E不为正，则必有。于是，泛函J在曲线上达到极大值的充分条件是。这个根据函数的符号来判断泛函取极小值或极大值条件，叫做威尔斯特拉斯条件。在极值曲线场中，每一点都有一条极值曲线经过，容许曲线c上的每一点(t，x)同时也是经过该点的极值曲线上的点(t，x*)。例如，在图2—10所示的极值曲线场中，容许曲线上的点同样也是通过该点的极值曲线上的点。这个点的纵坐标第99页，课件共174页，创作于2023年2月

对容许曲线而言记为，对极值曲线而言记为。因此，威尔斯特拉斯条件也可以这样说：如果函数

则性能泛函取极小(极大值。这里

上述条件也可以推广到多变量，即函数为矢量的情况。假设性能泛函

其中为一n维矢量，那么，J沿某一容许曲线

c的积分值与沿极值曲线的积之差第100页，课件共174页，创作于2023年2月

如果

或

则性能泛函J取极小(极大)值。其中和3．弱极值和强极值如果对于一切，在同时满足容许曲线上的x值与极第101页，课件共174页，创作于2023年2月值曲线上的点相接近，容许曲线上的值也与极值曲线上的p相接近的条件下，有，则泛函达到的极值称为弱极小（极大）值，具有这样性质的容许曲线如图2—11所示。如果对于一切，在容许曲线上的与极值曲线上的点相接近，对于任意，有，则泛函达到的极值称为强极小(极大)值。在这样的情况下，容许曲线不仅包括图2—11中的那一类，而且也包括图2—12中的那一类。由此可见，如果泛函在上有强极值，那么，它在上也有弱极值；反之，如果它在上有弱极值，那并不一定在上有强极值。

图2—11图2—12在此以前，我们根据泛函的台劳级数展开式的线性项建立极值的必要条件根据它的二次项来判断极值的性质。这就要求和都是微变量。也就是说，要求对于一切，容许曲线及其导数分别接近极值曲线及其导数。这正是弱极值要求的条件，因此，所确定的极值属于弱极值。第102页，课件共174页，创作于2023年2月

小结

总结以上讨论，得到如下结果：给定性能泛函其中是一n维矢量，建立威尔斯特拉斯E函数

或

如果在区间上满足威尔斯特拉斯条件

或

则性能泛品J取极小(极大)值。第103页，课件共174页，创作于2023年2月如果上述条件是在容许曲线上的值与极值曲线上的点相接近，同时容许曲线上的x位也与板位曲线上的p相接近的条件下达到的，那么，泛函达到的极值称为弱极值。如果只要求x接近，而不要求也接近于p，那么，泛函达到的极位称为强极值。例2．2—1给定性能泛函其中a＞0，b＞o。直线族是它的欧拉方程的解。利用端点条件，可求出极值只能在直线

上达到。而且直线形成一。个以点(0，0)为中心，其中包括直线第104页，课件共174页，创作于2023年2月的中心场，如图2—13所示。这个问题的威尔斯特拉斯函数是

在极值曲线上，场的斜率p＝b／a＞0，如果取近似于b／a值，则有，具备了达到弱极值的全部条件。这样，弱极值就在极值曲线上达到了。如果可任意取值，则可以有任意符号，因而E也可以有任意符号。因此，不满足达到强极值的充分条件，泛函J在极值曲线上达到的极值是弱极小值。问题2·2—1试证明当性能泛函

其中为一n维矢量时，E函数可以表示成

第105页，课件共174页，创作于2023年2月

三、极小值原理

在本章第一节讨论了无不等式约束的波尔札问题，引出了求解变